Examen Final - 61.03. Análisis Matemático II A

Examen Final - 61.03. Análisis Matemático II A

Cátedra: Todas
Fecha: Primera Oportunidad - Primer Cuatrimestre 2006
Día: 04/07/2006

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Enunciado

(Los alumnos del primer cuatrimestre del 2005 deberán resolver los ejercicios 1,2,3,4,6, los restantes los ejercicios 1,2,3,4,5)

Sea $<tex>R</tex>$ la región del espacio descripta por $<tex>{(x-1)}^2 + y^2 <= 4</tex>$ , $<tex>x >= a</tex>$ , $<tex>y >= 0</tex>$ , $<tex>0 <= z <= 2</tex>$ . Hallar $<tex>a</tex>$ de manera que el flujo del campo $<tex>(2x,y,z)</tex>$ hacia el exterior de $<tex>R</tex>$ sea $<tex>16\pi</tex>$ .
Dado $<tex>F(x,y,z) = (zx -1, -zy, 2ax^2 + by^2)</tex>$ hallar $<tex>a</tex>$ y $<tex>b</tex>$ de manera que $<tex>\nabla \times F = 0</tex>$ , y calcular la circulación de $<tex>F</tex>$ a lo largo de la curva descripta por $<tex>z = 0</tex>$ , $<tex>y >= 0</tex>$ , $<tex>x^2 + y^2 = 1</tex>$ , orientada de manera que la coordenada $<tex>x</tex>$ de su tangente sea positiva.
Dado $<tex>F(x,y,z) = (x-z,y-z,-x-y)</tex>$ hallar la circulación de $<tex>F</tex>$ a lo largo del perímetro del cuadrilátero de vértices $<tex>(0,0,0)</tex>$ , $<tex>(1,0,0)</tex>$ , $<tex>(2,1,0)</tex>$ , $<tex>(1,1,0)</tex>$ , recorrido según el orden en que los puntos han sido dados.
Responder a cada uno de los siguientes problemas, justificando brevemente su respuesta:
1. Sea $<tex>D</tex>$ una región de área 3 en el plano de ecuación $<tex>x + y = 1</tex>$ . Hallar el flujo del campo $<tex>F(x,y,z) = (1,0,1)</tex>$ a través de $<tex>D</tex>$ , con el normal de coordenada $<tex>x</tex>$ positiva.
2. Dada $<tex>f(x,y) = x^3y + x^2y^2</tex>$ , hallar la circulación de $<tex>F(x,y) = \nabla(f)(x,y)</tex>$ a lo largo de la curva parametrizada por $<tex>t \rightarrow (\sin{t},2\cos{t})</tex>$ con $<tex>t</tex>$ desde $<tex>0</tex>$ a $<tex>\frac{3\pi}{2}</tex>$ .
Hallar una solución de la ecuación diferencial $<tex>(x+y) dx + (x-y) dy = 0</tex>$ cuyo gráfico pase por el punto $<tex>(2,1)</tex>$ .
Sea $<tex>D</tex>$ la región de $<tex>R^2</tex>$ descripta por $<tex>x^2 + y^2 <= 1</tex>$ , $<tex>x >= 0</tex>$ , $<tex>y >= 0</tex>$ . Hallar el área de la superficie parametrizada por $<tex>(x,y) \rightarrow (x,y,x+2y)</tex>$ , $<tex>(x,y) \in D</tex>$ .

Resolución

Discusión

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