2004 - Tema 4

Enunciado

Sea $<tex>F(x,y,z) = (-x,z^2-y,-9z+1)</tex>$ y sea $<tex>C</tex>$ la curva borde de la superficie parametrizada por $<tex>(u,v) \rightarrow (-3u,v^2,v)</tex>$ , $<tex>u^2+v^2 \leq 1</tex>$ . Calcular la circulación de $<tex>F(x,y,z)</tex>$ a lo largo de $<tex>C</tex>$ , orientada de tal manera de seguir el orden $<tex>(-3,0,0) \rightarrow (0,1,1) \rightarrow (3,0,0)</tex>$ .
Sea, cuando $<tex>y^2+z^2 > 0</tex>$ , $<tex>F(x,y,z)=(0,\frac{z}{\sqrt{y^2+z^2}} - 3xz,x^2 y - \frac{y}{\sqrt{y^2+z^2}})</tex>$ . Mostrar que el flujo de $<tex>F</tex>$ a través de la superficie descripta por $<tex>y^2+z^2 = 25</tex>$ , $<tex>1 \leq x \leq 2</tex>$ es igual al flujo de $<tex>F</tex>$ a través de la superficie descripta por $<tex>x^2+y^2+z^2 = 16</tex>$ , $<tex>1 \leq x \leq 2</tex>$ con la orientación elegida en ambos casos con la normal alejándose del eje $<tex>x</tex>$ .
Dada la región $<tex>R</tex>$ descripta por $<tex>\frac{y^2}{z} - z \leq x \leq 0</tex>$ , $<tex>1 \leq z \leq 2</tex>$ graficar aproximadamente $<tex>R</tex>$ y calcular $<tex>\mathop{\int \!\! \int \!\! \int}_{R} z dx dy dz</tex>$ .
Responder a cada uno de los siguientes problemas, justificando brevemente su respuesta:
1. Graficar aproximadamente la curva en $<tex>\mathbf{R}^2</tex>$ descripta en coordenadas polares por $<tex>\rho=1-\frac{cos(2 \varphi)}{2}</tex>$ , $<tex>\varphi \in (0,2\pi)</tex>$ .
2. Hallar $<tex>c > 0</tex>$ y $<tex>d > 0</tex>$ de manera que el área encerrada por la elipse de ecuación $<tex>c^2 x^2+ d^2 y^2=1</tex>$ que pasa por $<tex>(1,3)</tex>$ sea mínima. (Nota: el área encerrada por una elipse de ecuación $<tex>\frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1</tex>$ es $<tex>ab\pi</tex>$ ).
Hallar todos los puntos de intersección con la recta de ecuación $<tex>x=4</tex>$ de la línea de flujo que pasa por $<tex>(2,3)</tex>$ del campo $<tex>V(x,y)=(-4+3y,2)</tex>$ .