2003 - Tema 1

Enunciado

Sea $<tex>F(x,y,z) = ( P(x,y,z) - 3x, -x (z - 2) Q(x,y,z), xy Q(x,y,z))</tex>$ un campo vectorial $<tex>C^2</tex>$ en la región $<tex>R \subset \mathbf{R}^3</tex>$ descripta por $<tex>x^2+y^2+z^2 < 100</tex>$ . Suponiendo que $<tex>\mathop{\int \!\!\!\! \int \!\!\!\! \int}_{D} \nabla . F dx dy dz = 3</tex>$ , siendo $<tex>D</tex>$ la región descripta por $<tex>z \geq \sqrt{x^2+y^2}</tex>$ , $<tex>y^2+z^2-4z \leq 0</tex>$ , calcular el flujo de $<tex>F</tex>$ a través de $<tex>S</tex>$ , siendo $<tex>S</tex>$ la superficie descripta por $<tex>z = \sqrt{x^2+y^2}</tex>$ , $<tex>y^2+z^2-4z \leq 0</tex>$ , orientada de manera que la componente $<tex>z</tex>$ de su vector normal sea positiva.
Sea $<tex>F(x,y,z) = ( P(x,y,x) , Q(x,y,z) , xy+1)</tex>$ un campo vectorial $<tex>C^2</tex>$ en la región $<tex>D \subset \mathbf{R}^3</tex>$ descripta por $<tex>x^2+y^2+z^2 < 100</tex>$ . Suponiendo que $<tex>\nabla \times F = (1,0,0)</tex>$ en $<tex>D</tex>$ , calcular la circulación de $<tex>F</tex>$ a lo largo de la curva en el plano $<tex>x=y</tex>$ , parametrizada por $<tex>(\sin(t),\sin(t),\cos(t))</tex>$ , con $<tex>t</tex>$ variando desde $<tex>0</tex>$ hasta $<tex>\pi</tex>$ .
Sea $<tex>D \subset \mathbf{R}^3</tex>$ la región descripta por $<tex>0 \leq z \leq 1</tex>$ , $<tex>x^2+4y^2-z^2 \leq 1</tex>$ . Hallar el área de la proyección de $<tex>D</tex>$ sobre el plano $<tex>yz</tex>$ . Ilustrar graficamente.
Responder a cada uno de los siguientes problemas, justificando brevemente su respuesta:
1. Hallar una ecuación del plano tangente en $<tex>(1,2,4)</tex>$ a la superficie de ecuación $<tex>f(x,y,z)=3</tex>$ , sabiendo que la funcion $<tex>C^2</tex>$ $<tex>w = f(x,y,z)</tex>$ tiene, sujeta a la condición $<tex>y^2 - 4x^2 = 0</tex>$ , máximo relativo $<tex>3</tex>$ en $<tex>(1,2,4)</tex>$ , y que $<tex>\nabla f(1,2,4)</tex>$ es no nulo.
2. Calcular la circulación del campo $<tex>(x^2,y)</tex>$ a lo largo de la curva definida por $<tex>x=2y^3</tex>$ , desde $<tex>(0,0)</tex>$ hasta $<tex>(-2,-1)</tex>$ .
Un corcho flota en la superficie de un río estacionario (es decir que la velocidad $<tex>V(x,y)</tex>$ del fluído en cada punto $<tex>(x,y)</tex>$ de la superficie depende de su posición $<tex>(x,y)</tex>$ pero no del tiempo). El río fluye según el campo de velocidades $<tex>V(x,y)=(1,x)</tex>$ . Si el corcho pasa por el punto $<tex>(1,1)</tex>$ , ¿en qué punto cortará su trayectoria a la recta $<tex>x=2</tex>$ ?