Apunte de Integrales

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\setcounter{secnumdepth}{2}

\begin{document}

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\title{Apunte de Integrales}
\author{}
\date{Enero de 2008}
%\maketitle

\begin{center}
	\Huge{Apunte de Integrales}
\end{center}

\bigskip

\section{Integrales de Línea}

\subsection{Longitud de Arco}

La fórmula que permite calcular la longitud del camino recorrido por una partícula que se mueve sobre una curva $\mathcal{C}$ entre dos puntos $a$  y $b$ de la misma es:

\begin{equation}
	\mathit{l} = \int_a^b \left\| \vec{g}'(t) \right\| dt
\end{equation}

donde $\vec{g}(t)=\left[ x(t), y(t), z(t) \right]$ es una parametrización regular de la curva.

\subsection{Circulación de $\vec{F}$ a través de $\mathcal{C}$}

$\mathcal{C}\colon \vec{g}(t)=\left[ x_1(t), \ldots, x_n(t) \right]$, con $g\colon[a,b] \subset \mathbf{R} \rightarrow \mathbf{R}^n / a \leq t \leq b$ \, (describe un arco de curva regular).

\smallskip

$\vec{F}\vp{x}=\left[ F_1\vp{x}, \ldots, F_n\vp{x} \right]$ un campo vectorial continuo sobre $\mathcal{C}$.

\begin{equation}
\int_\mathcal{C} \vec{F}\vp{x} \cdot d\vec{g}(t) \, dt = \int_a^b \! \! \vec{F}\left(\vec{g}(t)\right) \cdot \vec{g}'(t) \, dt
\end{equation}

\subsection{Independencia del camino de una Integral de Línea}

Cuando $\displaystyle \int_\mathcal{C} \vec{F} \cdot d\vec{g}$ no depende de la trayectoria de $\mathcal{C}$ se la denomina \emph{independiente del camino}, esto sucede cuando el campo vectorial es un campo de gradiente.

Si $U(x,y,z)=U\vp{x}$ un campo escalar con $\grabla U\vp{x}$ continuo y $\vec{A}$ y $\vec{B} \in \mathbf{D}$.\nopagebreak

Si $\mathcal{C}: \vec{g}(t)=\left[ x(t), y(t), z(t) \right], \, a \leq x \leq b / \ \vec{g}(a)=\vec{A}$ y $\vec{g}(b)=\vec{B}$. Entonces: \nopagebreak

\begin{equation}
	\int_{\mathcal{C} \equiv AB} \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! \grabla U\vp{x} \cdot d\vec{g}(t) = U\left(\vec{B}\right)-U\left(\vec{A}\right)
\end{equation}

\section{Cambio de Coordenadas para integrales dobles}

$\vec{h}(u,v)=\left[ x(u,v), y(u,v) \right]$ una función vectorial biyectiva, con $(u,v) \in \mathbf{D}$ y $(x,y) \in \mathbf{B}$

\smallskip

Si $x(u,v),y(u,v),x_u'(u,v),x_v'(u,v),y_u'(u,v),y_v'(u,v)$ son continuas en $\mathbf{D}$;\\
si $\vec{F} \colon \mathbf{B} \subseteq \mathbf{R}^2 \longrightarrow \mathbf{R}, \vec{F} \left[ x(u,v), y(u,v) \right]$ es acotada e integrable en $\mathbf{D}$ tal que $\mathcal{J}(u,v)=\begin{array}{|cc|} x_u' & x_v' \\ y_u' & y_v' \end{array} \neq 0$, entonces

\medskip

\begin{equation}
	\dint_\mathbf{B} \! \! \vec{F}(x,y) \, dx \, dy = \dint_\mathbf{D} \! \! \vec{F} \left[x(u,v),y(u,v)\right] \left| \mathcal{J}(u,v) \right| du \, dv
\end{equation}

\subsection{En coordenadas polares}

\begin{minipage}[c]{0.6\textwidth}
	$ \vec{h}(\rho,\theta)=\left( \rho \cos \theta, \rho \sen \theta \right)$ pues $\left\{ \begin{array}{l} x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sen \theta \end{array} \right.$

	\smallskip

	$\mathcal{J}(\rho, \theta) = \rho$
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[c]{80pt}
	\setlength{\unitlength}{1pt}
	\begin{picture}(75,55)(-7,-7)
		\put(0,0){\vector(1,0){65}}
		\put(0,0){\vector(0,1){45}}
		\put(0,0){\line(5,3){45}}
		\multiput(0,27)(5,0){9}{\line(1,0){2}}
		\multiput(45,0)(0,5){6}{\line(0,1){2}}
		\qbezier(30,0)(30,7.5)(25,15)
		\put(45,27){\circle*{2}}
		\put(60,-8){$x$}
		\put(-8,39){$y$}
		\put(30,6){$\theta$}
		\put(12,12){$\rho$}
		\put(47,29){P}
	\end{picture}
\end{minipage}

\vfill%\vspace{20pt}

\begin{equation}
	\dint_{\mathbf{R}_{\mathrm{xy}}} \! \! \! \! \! \! \! \vec{F}(x,y) \, dx \, dy = \dint_{\mathbf{D}_{\rho \theta}} \! \! \! \! \! \! \! \vec{F}\left[\rho \cos \theta,\rho \sen \theta\right] \rho \, d\rho \, d\theta
\end{equation}


\section{Función Potencial}

Si $\vec{F}\vp{x}$ es el gradiente de un campo escalar $U\vp{x} \Longrightarrow$ se dice que $U\vp{x}$ es la \emph{función potencial de} $\vec{F}$ o \emph{el potencial de} $\vec{F}$.

Sea $\vec{F}\vp{x} = \vec{F} \left[ x_1, \ldots, x_n \right]= \left[ P_1\vp{x}, \ldots, P_n\vp{x} \right]$ un campo vectorial derivable con continuidad en un conjunto simplemente conexo $\mathbf{D} \in \mathbf{R}^n$.

\medskip

\noindent La condición necesaria para que:

\begin{enumerate}
	\item $\displaystyle \oint_\mathcal{C} \vec{F}\vp{x} \cdot d\vec{g}(t)=0$ sobre toda curva cerrada $\mathcal{C}\subseteq \mathbf{D}$
	\item $\displaystyle \int_{\mathcal{C} \equiv AB} \grabla U\vp{x} \cdot d\vec{g}(t) = U\left(\vec{B}\right)-U\left(\vec{A}\right)$
	\item $\exists \ U\vp{x}$ diferenciable$/ \grabla U\vp{x}=\vec{F}\vp{x} \ \forall \ \vec{x} \in \mathbf{D}$, o sea $\displaystyle \frac{\partial U\vp{x}}{\partial x_k}=P_k \vp{x} \ \forall \ \vec{x} \in \mathbf{D}$
	
	\hfill Con $k=1,\ldots,n$
\end{enumerate}

\noindent Es que:

\begin{equation}
	\frac{\partial P_j \vp{x}}{\partial x_j}=\frac{\partial P_i \vp{x}}{\partial x_i} \qquad \forall \ i,j=1,\ldots,n, \ i\neq j \mbox{ y } \vec{x} \in \mathbf{D}
\end{equation}

\section{Rotor}

Si $\vec{F}\vp{x} = \vec{F} \left( x, y , z \right) = \left[ P_1\vp{x}, P_2\vp{x}, P_3\vp{x} \right]$ es un campo vectorial derivable con continuidad en un conjunto simplemente conexo $\mathbf{D} \in \mathbf{R}^n$ que admite $\vec{F}\vp{x}=\grabla U\vp{x}$.

\begin{equation}
	\mathrm{rot} \vec{F}\vp{x}=\begin{array}{|ccc|} \check{\imath} & \check{\jmath} & \check{k} \\ \partial x & \partial y & \partial z \\ P_1\vp{x} & P_2\vp{x} & P_3\vp{x} \end{array}
\end{equation}

Si el $\mathrm{rot}\vec{F}=\vec{0} \Longrightarrow \vec{F}\vp{x}$ es \emph{irrotacional} o $\vec{F}$ es un campo vectorial \emph{conservativo}.

\section{Coordenadas Cilíndricas}

\begin{minipage}[c]{0.55\textwidth}
\subsubsection{Directas}

$\left\{ \begin{array}{rcl} x & = & \rho \cos \theta \\ y & = & \rho \sen \theta \\ z & = & z \end{array} \right.$, \qquad $\left| \mathcal{J} \right|=\rho$

\subsubsection{Inversas}

$\displaystyle \left\{ \begin{array}{rclrcl} \rho & = & \sqrt{x^2+y^2} & & & \\ \theta & = & \arctan \left( \frac{\displaystyle y}{\displaystyle x} \right), & \theta & = & \arcsen \left( \frac{\displaystyle y}{\displaystyle \sqrt{x^2+y^2}} \right) \\ z & = & z & & & \end{array} \right.$
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[t]{100pt}
	\setlength{\unitlength}{1pt}
	\begin{picture}(65,80)(-30,-32)
		\put(0,0){\vector(1,0){65}}
		\put(0,0){\vector(0,1){45}}
		\put(0,0){\vector(-3,-4){25}}
		\put(0,0){\line(4,-3){30}}
		\multiput(30,-23)(0,6){6}{\line(0,1){3}}
		\multiput(0,33)(4,-3){8}{\qbezier(0,0)(2,-1.5)(2,-1.5)}
		\qbezier(-7,-10)(2,-13)(10,-8)
		\put(30,11){\circle*{2}}
		\put(-30,-29){$x$}
		\put(62,-7){$y$}
		\put(-7,42){$z$}
		\put(-2,-20){$\theta$}
		\put(18,-9){$\rho$}
		\put(32,11){P}
	\end{picture}
\end{minipage}

\subsection{Coordenadas Cilíndricas para integrales triples}

\begin{equation}
	\tint_\mathcal{C} f(x,y,z) \, dx \, dy \, dz = \tint_{\mathcal{C}^\ast} f \left[ \rho \cos \theta, \rho \sen \theta, z \right] \left| \mathcal{J} \right| d\rho \, d\theta \, dz
\end{equation}

\begin{flushright}
	\newlength{\varcoord}
	\settowidth{\varcoord}{con $\rho \geq 0, 0 \leq \theta \leq 2 \pi, z \in \mathbf{R}$}
	\parbox{\varcoord}{con $\rho \geq 0, 0 \leq \theta \leq 2 \pi, z \in \mathbf{R}$\\(campo de variación de las coordenadas cilíndricas).}
\end{flushright}

Donde $\mathcal{C}^\ast$ es el sólido incluido en el espacio tridimensional $\rho\theta z$ en el que se transforma el sólido $\mathcal{C}$ incluido en el espacio cartesiano $xyz$.

\section{Coordenadas Esféricas}

\begin{minipage}[c]{0.5\textwidth}
$\begin{array}{ccl}
	x & = & \rho \cos \theta \sen \phi\\
	y & = & \rho \sen \theta \sen \phi\\
	z & = & \rho \cos \phi\\
	\left| \mathcal{J} \right| & = & \rho^2 \sen \phi
\end{array}$
\end{minipage}
\hfill
\begin{minipage}[c]{100pt}
	\setlength{\unitlength}{1pt}
	\begin{picture}(65,95	)(-30,-35)
		\put(0,0){\vector(1,0){65}}
		\put(0,0){\vector(0,1){55}}
		\put(0,0){\vector(-3,-4){25}}
		\put(0,0){\line(4,-3){30}}
		\put(0,0){\qbezier(0,0)(0,0)(30,21)}
		\multiput(30,-23)(0,6){8}{\line(0,1){3}}
		\multiput(0,43)(4,-3){8}{\qbezier(0,0)(2,-1.5)(2,-1.5)}
		\qbezier(11,8)(7,15)(0,20)
		\qbezier(-7,-10)(2,-13)(10,-8)
		\put(30,21){\circle*{2}}
		\put(-30,-29){$x$}
		\put(62,-7){$y$}
		\put(-7,52){$z$}
		\put(-2,-20){$\theta$}
		\put(20,8){$\rho$}
		\put(6,18){$\phi$}
		\put(32,21){P}
	\end{picture}
\end{minipage}

\begin{description}
	\item[Observación:] Conviene utilizar coordenadas cilíndricas cuando el cuerpo presenta un eje de simetría (conos, cilindros, etcétera) y esféricas cuando el cuerpo presenta un centro de simetría (esfera, porciones cónicas de esferas, etcétera).
\end{description}

\section{Integrales de Superficie}

\begin{center}
	\setlength{\unitlength}{1pt}
	\begin{picture}(300,100)(-30,-35)
		\put(0,0){\vector(1,0){65}}
		\put(0,0){\vector(0,1){45}}
		\put(60,-8){$u$}
		\put(-8,39){$v$}
		\multiput(0,27)(5,0){7}{\line(1,0){2}}
		\multiput(32,0)(0,5){6}{\line(0,1){2}}
		\put(32,27){\circle*{2}}
		\qbezier(16,27)(27,35)(32,40)
		\qbezier(32,40)(37,45)(45,27)
		\qbezier(45,27)(49,19)(55,25)
		\qbezier(55,25)(61,31)(61,21)
		\qbezier(61,21)(61,-10)(32,14)
		\qbezier(32,14)(22,22)(20,22)
		\qbezier(20,22)(12,23)(16,27)
		\put(40,13){$\mathbf{D}^\circ$}
		
		\qbezier(80,27)(120,35)(160,27)
		\qbezier(160,27)(150,29)(145,32)
		\qbezier(160,27)(150,29)(143,27)
		\put(116,32){$\Phi$}
		%\put(160,27){\vector(4,-1){10}}
		
		\put(200,0){\vector(1,0){65}}
		\put(200,0){\vector(0,1){55}}
		\put(200,0){\vector(-3,-4){25}}
		\put(170,-29){$x$}
		\put(262,-7){$y$}
		\put(193,52){$z$}
		
		\qbezier(185,12)(200,35)(210,35)
		\qbezier(210,35)(230,30)(245,15)
		\qbezier(245,15)(235,10)(220,-8) 
		\qbezier(220,-8)(205,7)(185,12)
		\put(189,12){$\mathcal{S}$}
		\put(228,28){$\Phi(u,v)$}
		
		\put(222,19){\color{green}{\vector(-1,-4){8}}}
		\put(222,19){\color{red}{\vector(4,-3){25}}}
		\put(222,19){\circle*{2}}
		\put(241,5){\color{red}{$\scriptscriptstyle \Phi'_u(u,v)$}}
		\put(216,-15){\color{green}{$\scriptscriptstyle \Phi'_v(u,v)$}}
	\end{picture}
\end{center}

$\Phi (u,v) = \left[ X(u,v), Y(u,v), Z(u,v) \right]$ de clase $C^1$, inyectiva  en $\mathbf{D}^\circ$ y regular en $\mathbf{D}^\circ$, es decir:

\begin{displaymath}
	\frac{\partial \Phi}{\partial u}(u,v) \wedge \frac{\partial \Phi}{\partial v}(u,v) \neq \vec{0} \ \forall \ (u,v) \in \mathbf{D}^\circ
\end{displaymath}

\begin{equation}
	\acute{A}rea (\mathcal{S}) = \dint_\mathcal{S} d\mathcal{S} \stackrel{\stackrel{DEF}{\downarrow}}{=} \dint_\mathbf{D} \left\| \Phi_u'(u,v) \wedge \Phi_v'(u,v) \right\| du \, dv
\end{equation}

\section{Flujo}

Si $\Phi(u,v)$ es la parametrización de la superficie $\mathcal{S}$ en donde queremos calcular el flujo  de $\vec{F}(x,y,z)$ (campo vectorial), siendo $\Phi(u,v)=\left[ X(u,v), Y(u,v), Z(u,v) \right]$, el \emph{flujo de} $\vec{F}(x,y,z)$ \emph{a través de la superficie} $\mathcal{S}$ es:

\begin{equation}
	\dint_\mathcal{S} \vec{F} \cdot \check{n} \, d\mathcal{S} = \dint_\mathbf{D} \vec{F} \left[ \Phi(u,v) \right] \cdot \left( \Phi_u' \wedge \Phi_v' \right) du \, dv
\end{equation}

\section{Teorema de Stokes}

Dada una $\vec{g}(t)$ que parametriza a una curva $\mathcal{C}$ (cerrada), dada una superficie orientable $\mathcal{S}$ que admite un plano tangente en cada punto, y dado un campo vectorial $\vec{F} \colon \mathbf{R}^3\rightarrow \mathbf{R}^3$ de clase $C^1$. Si la función (cuya gráfica es $\mathcal{S}$) es de clase $C^2$ con $\mathcal{C}$ como frontera de $\mathcal{S}$ entonces:

\begin{equation}
	\dint_\mathcal{S} \mathrm{rot} \vec{F} \cdot \check{n} \, d\mathcal{S} = \oint_\mathcal{C} \vec{F} \, d\vec{g}(t) \qquad \scriptstyle \mathrm{donde} \ d\vec{g}(t)=g'(t)\,dt
\end{equation}

Si $\Phi (u,v)$ parametriza a $\mathcal{S} \Longrightarrow \check{n}= \Phi_u' \wedge \Phi_v'$ (el sentido de $\check{n}$ depende de la orientación de $\mathcal{C}$ y se obtiene con la \emph{regla de la mano derecha} o \emph{del tirabuzón}).

\section{Teorema de la Divergencia}

Sea $\vec{F}\colon \mathcal{S}\subseteq\mathbf{R}^3\rightarrow\mathbf{R}^3 / \vec{F}(x,y,z)=\left[ P_1(x,y,z), P_2(x,y,z), P_3(x,y,z) \right]$ de clase $C^1$, con $P_1, P_2$ y $P_3$ admitiendo derivadas parciales continuas en $\mathcal{S}$. Sea $\mathbf{V}$ el sólido limitado por la superficie $\mathcal{S}$ y apunte la normal $\check{n}$ de $\mathcal{S}$ hacia el exterior de $\mathbf{V}$. Entonces:\nopagebreak

\begin{equation}
	\tint_\mathbf{V} \mathrm{div} \vec{F} (x,y,z) \, d\mathbf{V} = \dint_\mathcal{S} \vec{F} \cdot \check{n} \, d\mathcal{S}
\end{equation}
\noindent donde $\mathrm{div} \vec{F} (x,y,z) = \grabla \! \! \cdot \! \vec{F} (x,y,z) = \left( \frac{\partial}{\partial x}, \frac{\partial}{\partial y}, \frac{\partial}{\partial z} \right) \cdot (P_1, P_2, P_3) = P_{1x}' + P_{2y}' + P_{3z}'$

\section{Teorema de Green}

Sea un dominio $\mathbf{D}$ triangulable en $\mathbf{R}^2$ y sea $\vec{F}(x,y) = \left[ P(x,y), Q(x,y) \right]$ de clase $C^1$ en un abierto que contiene a $\mathbf{D} \cup \partial \mathbf{D}$ (siendo $\partial \mathbf{D}$ la frontera de $\mathbf{D}$). Entonces:

\begin{equation}
	\oint_\mathcal{C} \vec{F} \cdot d\vec{g}(t) = \oint_\mathcal{C} P \, dx + Q \, dy = \dint_\mathbf{D} \left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right) dx \, dy
\end{equation}

\subsection{Relación con el Teorema de Stokes}

$\displaystyle \vec{H}(x,y,z)= \left[ P (x,y), Q(x,y), 0 \right], \check{n}=\left[ 0,0,1 \right]$

\medskip

$\displaystyle \mathrm{rot} \vec{H} \cdot \check{n} = Q_x'-P_y'$

\subsection{Relación con el Teorema de la Divergencia}

$\displaystyle \vec{G}(x,y)=\left[ -Q(x,y), P(x,y) \right] = \left[ A(x,y), B(x,y) \right]$

\medskip

$\displaystyle \oint_{\partial \mathbf{D}} \left[ -Q(x,y) + P(x,y) \right] = \dint_\mathbf{D} \left(P_x'+Q_y'\right) dx \, dy$

\end{document}