61.03. Análisis Matemático II A

Elementos de topología. Conjuntos de nivel. Funciones vectoriales.

Límite y continuidad para funciones de varias variables.

Diferenciabilidad. Derivadas direccionales. Gradiente.

Polinomio de Taylor. Extremos libres y condicionados.

Integrales múltiples.

Curvas. Integrales de línea.

Superficies. Integrales de superficie.

Teoremas de Green, de Stokes y de Gauss.

Ecuaciones diferenciales.

Espacios n-dimensionales: Conjuntos abiertos y cerrados. Entorno. Frontera. Puntos de acumulación. Conjuntos conexos y simplemente conexos Funciones escalares y vectoriales. Conjuntos de nivel. Límites bidimensionales. Límites radiales. Relación entre ambos. Continuidad de funciones de dos variables.

Diferenciación: Derivada de un campo escalar respecto a un vector. Derivadas parciales. Continuidad y derivabilidad. Derivada direccional. Definición de función diferenciable Campos escalares y vectoriales. Vector gradiente. Teorema del valor medio. Plano tangente y recta normal. Derivada de funciones vectoriales. Matriz Jacobiana. Composición de funciones. Regla de la cadena. Aplicaciones geométricas. Funciones definidas implícitamente. Teorema de existencia. Jacobianos.

Extremos relativos: Derivadas parciales de orden superior. Teorema de Schwarz. Diferenciales totales sucesivas. Fórmula de Taylor. Puntos estacionarios. Extremos absolutos y relativos. Condición necesaria para la existencia de extremos relativos. Condición suficiente. Hessiano. Extremos condicionados. Multiplicadores de Lagrange.

Curvas y superficies: Curvas de Jordan. Puntos singulares. Longitud de arco. Parámetro intrínseco. Triedro de Frenet. Expresiones explícitas de los elementos del triedro. Curvaturas de flexión y de torsión. Fórmulas de Frenet. Vector velocidad. Vector aceleración. Ecuaciones paramétricas de una superficie. Curvas sobre una superficie. Superficies de rotación. Conos y cilindros.

Integrales dobles y triples: Conjuntos de medida nula. Definición de integral doble. Propiedades. Aplicaciones geométricas y físicas. Cambio de variables en integrales dobles. Jacobiano. Transformaciones lineales. Coordenadas Polares. Integrales triples. Cambio de variables. Jacobianos. Coordenadas cilíndricas y esféricas. Aplicaciones geométricas y físicas.

Integrales de línea: Definición de integral de línea de campos escalares y vectoriales. Propiedades. Invariancia por cambio de parámetro. Trabajo. Campos de gradientes. Propiedades. Función potencial. Su determinación. Condición necesaria y suficiente para la existencia de una función potencial. Ecuación diferencial total exacta. Teorema de Green. Su extensión a recintos múltiplemente conexos.

Integrales de superficie: Definición de elemento de área. Área de una superficie en R3. Orientación de una superficie. Flujo de un campo vectorial. Distintas expresiones para la integral de superficie.

Análisis vectorial: Definición de divergencia y rotor de un campo vectorial. Operador nabla. Campos solenoidales e irrotacionales. Funciones armónicas. Teorema de Stokes. Teorema de Gauss. Aplicaciones.

Ecuaciones diferenciales: Ecuaciones diferenciales de primer orden. Ecuaciones a variables separables . Modelos lineales. Ecuaciones diferenciales exactas. Ecuaciones diferenciales de segundo orden. Casos de reducción del orden. Modelos lineales. Sistemas de ecuaciones lineales.