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Examen (Parcial) - 27. Álgebra I - 08/10/08

Sede: Ciudad Universitaria/turno tarde
Fecha: Primer Parcial, Primera Oportunidad - 2° Cuatrimestre 2008
Día: 08/10/2008

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Enunciado

Punto I

Sean el plano <tex>\Pi=2x+2y+z=0</tex>, la recta <tex>\L_1: \lambda(1,1,0)+(4,3,7)</tex> y <tex>L_2</tex> la recta que pasa por <tex>A=(7,4,4)</tex> y <tex>B=(1,-2,2)</tex>. Hallar, si existe, una recta L que verifique simultaneamente <tex>L \perp L_2</tex>; <tex> L \cap L_2\neq\emptyset</tex>, <tex>d(P,\Pi)=\frac{13}{3}</tex> <tex>\forall{P}\in{L}</tex>

Punto II

Dado el sistema que tiene matriz ampliada <tex>\begin{bmatrix} 1 & -1 & -1 & -k& \vdots & -k \\ 2 & 0 & k+4 & 3k& \vdots & 4k \\ k & -k & -k & k-6& \vdots & 2k \\ 1 & 0 & 1 & k& \vdots & 2k\end{bmatrix}</tex>, hallar todos los valores de <tex>k \in R</tex> para los cuales el sistema tiene infinitas soluciones. Para alguno de los valores hallados resolver completamente el sistema.

Punto III

Sean <tex>B=\{(0,-1,0);(1,1,1);(2,1,0)\}</tex> y <tex>B'=\{(-3,0,1);(1,-1,1);v-(1,0,0)\}</tex> bases de <tex>R^3</tex> Hallar <tex>v \in R^3</tex> sabiendo que <tex>(1,1,-3)</tex> tiene las mismas coordenadas en las dos bases.

Punto IV

Sean <tex>H=\{x \in R^5/x_2=0\}</tex>, <tex> W=<(0,2,1,0,1);(1,2,0,1,0);(0,0,1,1,1)></tex> y <tex> S=<(0,0,1,1,1);(1,2,0,1,0)></tex>. Hallar, si es posible, un subespacio <tex> T \subset R^5</tex> que satisfaga simultáneamente:
<tex>dim(T)=2</tex>; <tex>T\subset H</tex>; <tex>(W \cap\ T)\oplus S=W</tex>

Resolución

Punto I

Busco la recta <tex>L_2</tex> que pasa por los puntos A y B:
<tex>\bar{V}_{L_2} = A-B =(6,6,2)</tex>
<tex>L_2: X=\alpha(6,6,2)+(1,-2,2)</tex>

<tex>L \perp L_1\Rightarrow \bar{V}_L \perp \bar{V}_{L_1}</tex>
<tex>L \cap L_2 \neq \emptyset</tex> entonces ambas rectas se tienen que cortas en algún punto; puedo pedir que <tex>\bar{V}_L \perp \bar{V}_{L_2}</tex>

Además, para que <tex>\forall{P}\in{L} </tex> la distancia a <tex>\Pi</tex> sea constante, <tex> L \perp \Pi\Rightarrow\bar{V}_L \perp N_\Pi</tex> Uso <tex>\bar{V}_{L_1} X N_\Pi = (1,1,0) X (2,2,1) = (1,-1,0)</tex> (cumple con las condiciones anteriores)

Como <tex>d(P.\Pi)=\frac{13}{3}</tex>, si <tex>P(x,y,z)\Rightarrow d(P,\Pi)=\frac{\left|2x+2y+z\right|}{\sqrt{2^2+2^2+1^2}}\Rightarrow \frac{\left|2x+2y+z\right|}{3}=\frac{13}{3}</tex>

Obtengo dos planos: <tex>\Pi_2: 2x+2y+z=13</tex> y <tex>\Pi_3: 2x+2y+z=-13</tex> Esto quiere decir que a la distancia dada de <tex>\Pi</tex> hay dos planos paralelos a este. La recta que busco va a estar incluida en alguno de estos.
Pido que se cumpla <tex> \bar{V}_L \perp \bar{N}_{\Pi_2} </tex> <tex>\Rightarrow (1,-1,0) \cdot (2,2,1)=0</tex> se verifica.
Además necesito un punto de paso de L que cumpla con la ecuación del plano y que me sirva para garantizar <tex>L \cap L_2 \neq \emptyset</tex> Busco <tex>L_2\cap\Pi_2</tex>
<tex>L_2=(6\alpha+1,6\alpha-2,2\alpha+2)</tex> punto genérico de <tex>L_2</tex> que cumpla con la ecuación de <tex>\Pi_2</tex>
<tex>2(6\alpha+1)+2(6\alpha-2)+(2\alpha+2)=13</tex> aplicando distributiva y agrupando
<tex>\alpha=\frac{13}{26}</tex>
Remplazando en el punto genérico obtengo que <tex>L_2\cap\Pi_2=(4,1,3)</tex>
Una posible recta que cumple con todo lo pedido es <tex>L: X=\mu(1,-1,0)+(4,1,3)</tex>

Punto III

<tex>(1,1,-1)_B=(\alpha, \beta, \gamma)</tex>
<tex>(1,1,-1)_{B'}=(\alpha, \beta, \gamma)</tex> ya que las coordenadas en ambas bases son las mismas.

<tex>(1,1,-3)=\alpha(0,-1,0)+\beta(1,1,1)+\gamma(2,1,0)</tex>
<tex>(1,1,-3)=(\beta+2\gamma,-\alpha+\beta+\gamma,\beta)</tex> armo la matriz con los vectores como columnas para triangular y resolver el sistema.
Obtengo <tex>\alpha=-2</tex>, <tex>\beta=-3</tex>, <tex>\gamma=2</tex>

Verifico:
<tex>(1,1,-3)=(-2)(0,-1,0)-3(1,1,1)+2(2,1,0) </tex>
<tex>(1,2,-3)=(0,2,0)-(3,3,3)+(4,2,0)</tex>
<tex>(1,1,-3)=(1,1,-3)</tex>

Usando las coordenadas obtenidas y la base B' despejo <tex>v</tex>:
<tex>(1,1,-3)=-2(-3,0,1)-3(1,-1,1)+2(v-(1,0,0))</tex>
<tex>(1,1,-3)=(6,0,-2)-(3,-3,3)+2v-(2,0,0)</tex>
<tex>(1,1,-3)=(1,3,-5)+2v</tex>
<tex>(0,-2,2)=2v</tex>
<tex>(0,-1,1)=v</tex>

Punto IV

Generadores de <tex>H=<(1,0,0,0,0),(0,0,1,0,0),(0,0,0,1,0),(0,0,0,0,1)></tex>
<tex>dim(H)=4</tex>
Los vectores de <tex>W</tex> son l.i, sirven como base <tex>\Rightarrow dim(W)=3</tex>
<tex>S=<(0,0,1,1,1),(1,2,0,1,0)></tex> los vectores de <tex>S</tex> son l.i, sirven como base <tex>\Rightarrow dim(S)=2</tex>

Usando el teorema de la dimensión:
<tex>dim((W \cap T)\oplus S)=dim(W \cap T)+dim(S)=dim(W)</tex>
<tex>dim((W \cap T)\oplus S)=dim(W \cap T)+2=3\Rightarrow dim(W \cap T)=1</tex> <tex>\Rightarrow T</tex> solo va a compartir un vector con <tex>W</tex> para que <tex>dim(W \cap T)=1</tex>
Además como <tex>dim(T)=2</tex> y <tex>T \subset H</tex>, el otro vector de <tex>T</tex> que me falta tiene que estar incluido en <tex>H</tex> y ser l.i con los vectores de <tex>W</tex> para que se siga cumpliendo <tex>dim(W \cap T)=1</tex>

Busco <tex>W \cap H</tex>: los vectores de <tex>W</tex> son de la forma:
<tex>\alpha(0,2,1,0,1)+\beta(1,2,0,1,0)+\gamma(0,0,1,1,1)=(\beta,2\alpha+2\beta,\alpha+\gamma,\beta+\gamma,\alpha+\gamma)</tex>
Tienen que cumplir con la ecuación de <tex>H:x_2=0</tex>
<tex>\Rightarrow 2\alpha+2\beta=0</tex>
<tex>\alpha=-\beta</tex>
<tex>\Rightarrow W \cap H=(\beta,0,-\beta+\gamma,\beta+\gamma,-\beta+\gamma)=\beta(1,0,-1,1,-1)+ \gamma(0,0,1,1,1)</tex> <tex>\Rightarrow W \cap H=<(1,0,-1,1,-1),(0,0,1,1,1)></tex>
Si uso <tex>(1,0,-1,1,-1)</tex> como uno de los vectores de <tex>T</tex> garantizo <tex>(W \cap T)\oplus S= W</tex> ya que es l.i con los vectores de <tex>S</tex>
Si tomo <tex>(0,0,0,0,1) \in H</tex> es l.i con el otro vector de <tex> T</tex> <tex>(1,0,-1,1,-1)</tex> (el cual a su vez está en <tex>W \cap H</tex> y entonces está en <tex>W</tex> y en <tex>H</tex>
<tex>(0,0,0,0,1)\notin W \Rightarrow dim(W \cap T)=1</tex>

Un posible <tex>T</tex> es: <tex>T=<(1,0,-1,1,-1),(0,0,0,0,1)></tex>

Discusión

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