62.03/04 Física II A/B - Trabajo Práctico de Laboratorio - Corriente Alterna
Período: 1er Cuatrimestre 2008
Alumnos:
- Juan José Brusa
- Sebastián García Marra
- Iñaki García Mendive
- Germán Gual
Informe
Compuesto en 
. El texto y las ecuaciones matemáticas están en tipografía Times.
En general, para hacer todo el TP, se consultaron: A beginner's introduction to typesetting with LaTeX y The not so short introduction to LaTeX2e.
Para las ecuaciones matemáticas se consultó: Ecuaciones en LaTeX, por Sebastián Santisi.
Para los vínculos internos se consultó: Hypertext marks in LaTeX: a manual for hyperref.
Los gráficos fueron creados con pst-circ (requiere pstricks).
Para los gráficos con pst-circ se consultó la documentación oficial de pst-circ.
Descargar PS (PostScript): Trabajo Práctico de Laboratorio - Circuitos excitados con corrientes dependientes del tiempo.
(Si no tenés un visor de documentos PostScript, podés verlo online acá, insertando esta dirección:
http://wiki.foros-fiuba.com.ar/_media/materias:62:03:62.03.tp.corriente.alterna.ps?id=materias%3A62%3A03%3Atp_1er_cuat_2008_corriente_alterna&cache=cache en el campo WEB view).
Descargar RAR: Imágenes (se necesitan para compilar el archivo).
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\usepackage{fancyhdr} %manejo copado de encabezado y pie de página
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\usepackage{graphicx} %El paquete graphicx te permite incluir imágenes en el documento
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pdfauthor={Juan José Brusa, Sebastián García Marra, Iñaki García Mendive y Germán Gual}%
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%A continuación, unos macros muy útiles para instertar fórmulas matemáticas comúnmente usadas:
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\newcommand{\modulo}[1]{\left| #1 \right|}
\renewcommand{\sin}[1]{\, \mathrm{sen} \left( #1 \right)}
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\renewcommand{\vec}[1]{\mathbf{#1}}
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%Otros macros
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\newcommand{\autor}[3]{\vspace{5mm}%
{\bf #1}\\%
{\bf Padrón:} #2\\%
\texttt{#3}\\}
\newcounter{problem}
\newcommand{\Problema}{\addtocounter{problem}{1} \subsection{Problema \theproblem} \label{sec:prob\theproblem}}
\newcommand{\Qf}{Quickfield}
\newcommand{\QF}{QuickField}
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%Determinación del estilo de página (encabezado y pie)
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\rhead{\small Física II A}
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%Manejo de contadores (counters)
\setcounter{secnumdepth}{2} %Profundidad en la enumeración de las secciones:
%-1 Part, 0 Chapter, 1 Section, 2 Subsection, 3 Subsubsection, 4 Titled paragraph, 5 Titled subparagraph
\setcounter{tocdepth}{2} %Profundidad de la aparición de las secciones en el índice:
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%Manejo de listas
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\setenumerate[2]{i)}
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\begin{figure}[ht]
\begin{center}
\includegraphics[width=160pt]{logofiuba2}
\end{center}
\end{figure}
\vspace{5mm}
\begin{center}
{\huge{\bf \titulo}}
\end{center}
\vspace{20mm}
{\flushright
\autor{Juan José Brusa}{XXXXX}{dirección de mail}
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}
\vspace{15mm}
\begin{center}
Física II A - Universidad de Buenos Aires - Facultad de Ingeniería
\end{center}
\vspace{7mm}
\begin{center}
{\bf Grupo Nº5}
\vspace{3mm}
{\bf Trabajo Práctico Nº6}
\end{center}
\newpage
%\tableofcontents
\setcounter{page}{1}
%\newpage
%\vspace{\stretch{4}}
%\listoffigures
%\vspace{\stretch{1}}
%\listoftables
%\vspace{\stretch{4}}
%\newpage
\begin{abstract}
\label{resumen}
El presente trabajo práctico consta de cuatro etapas:
%
\begin{itemize}
\item Medidas con voltímetro en un circuito RLC serie.
\item Respuesta en frecuencia de un circuito RLC serie.
\item Transformador.
\item Asociaciones de inductancias y acoplamiento.
\end{itemize}
Para realizar los cálculos nos valdremos de la \emph{ley de Ohm} y de las \emph{reglas de Kirchhoff} en su versión compleja.
Estos temas serán debidamente comentados en la introducción de este informe.
\end{abstract}
\newpage
\section{Introducción}
\begin{description}
\item[Ley de Ohm] Establece que la tensión es igual al producto entre la corriente y la resistencia por la cual circula dicha corriente:
%
\begin{equation}
\imp{V=IZ}.
\label{eq:ohm}
\end{equation}
\item[Reglas de Kirchhoff] \hspace{0pt} \nopagebreak
%
\begin{itemize}
\item Regla de los nodos: La suma de todas las corrientes que entran y salen de un nodo es igual a cero:
%
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n{\imp{I}_k}=0.
\end{equation}
%
\item Regla de las mallas: La suma de todas las caídas de tensión en un circuito cerrado es igual a cero:
%
\begin{equation}
\sum_{k=1}^n{\Delta \imp{V}_k}=0.
\end{equation}
\end{itemize}
\end{description}
La aplicación de la segunda regla de Kirchhoff a un circuito formado por resistencias, capacitores e inductores cuando la tension aplicada varia en forma armónica (senoidal o cosenoidal) lleva a una (o varias) ecuaciones de segundo grado en las corriente que circulan:
%
\begin{equation}
V_0 (t) = \difrac{q(t)}{t}R + \frac{\mathrm{d^2}q(t)}{\mathrm{d}t^2} L + \frac{q(t)}{C}.
\end{equation}
%
Para evitar la resolución de dichas ecuaciones diferenciales no homogéneas se recurre a una transformacion matematica al campo complejo que conduce al concepto de \emph{impedancia} (número complejo), la que depende del tipo de elemento en el circuito. A una resistencia $R$ se le asocia su propio valor, a un capacitor se le asigna la reactancia capacitiva $X_C=-j/\omega C$ y a una inductancia la reactancia inductiva $X_L=j\omega L$ ($j$ es la unidad imaginaria). En estos casos las impedancias correspondientes a un capacitor o a un inductor resultan imaginarias puras. Cuando se tiene más de una inductancia en un circuito, se deberá tener en cuenta no sólo las autoinductancias ($L$) sino también las inductancias mutuas ($M$).
Con estas transformaciones se obtiene un metodo de resolución de un circuito de corriente alterna que utiliza las mismas herramientas utilizadas para el caso de circuitos de corriente continua, es decir la primera regla de Kirchhoff en los nodos y la segunda en las mallas, solo que ahora las magnitudes (tensiones, corrientes) son complejas. Una vez resuelto el circuito, e invirtiendo la mencionada transformación, es posible retornar al conjunto de variables reales.
La impedancia de un circuito que contenga elementos activos depende de la frecuencia, ya que las reactancias inductiva y capacitiva son directa e inversamente proporcionales, respectivamente, a la frecuencia. Así, un circuito que para una dada frecuencia es, por ejemplo, inductivo, para otra puede pasar a ser capacitivo. Un circuito entrará en resonancia a aquellas frecuencias para las cuales la impedancia sea un numero real; es decir, cuando se anule su parte imaginaria. Como ejemplo, en un circuito RLC serie conectado a un generador sinusoidal y de frecuencia variable, la intensidad de corriente variara con la frecuencia. A la frecuencia en que la impedancia $\imp{Z}$ es mínima, la corriente resulta máxima. En este caso, esta condición corresponde a $X_L=X_C$, donde la frecuencia es:
%
\begin{equation}
f_0 = \frac{1}{2\pi \sqrt{LC}}.
\label{eq:freqres}
\end{equation}
Las tensiones instantáneas entre los bornes del inductor y del capacitor estan desfasadas 180\textdegree\ y, aunque los valores eficaces de cada una pueden ser muy elevados (incluso mucho mas grandes que la tension entregada por el generador) la resultante de la suma algebraica de tensiones sobre el capacitor y la inductancia cuando se produce resonancia es nula en todo instante.
\section{Método Experimental}
\label{sec:metodo}
\begin{description}
\item[Medidas con voltímetro en un circuito RLC serie:] la inductancia $L$ es variable (por cambios en la posición de un núcleo ferromagnético), de 200 vueltas y con el núcleo de forma rectangular con un tornillo de fijación, una bombita $B$ y un capacitor $C$ (fig.~\ref{fig:1parte}).
%
\begin{figure}[hcb]
\centering
\resizebox{!}{4cm}{
\begin{pspicture}(-1.5,-0.5)(4,4)
\large
%\psgrid[subgriddiv=1,griddots=10]
%Defino nodos
\pnode(0,0){A}
\pnode(0,3){B}
\pnode(3,3){C}
\pnode(3,0){D}
%Agrego componentes
\circledipole[labeloffset=0,tensioncolor=white,tensionlabel=$\unit[12]{V}$,tensionlabeloffset=1.1](A)(B){\Huge \raisebox{-12pt}{\AC}}
\lamp[labeloffset=-.85](D)(A){$B$}
\coil[dipolestyle=elektorcurved](C)(D){$L$}
\capacitor[labeloffset=.85](B)(C){$C$}
\end{pspicture}}
\caption{Circuito RLC serie de la primera parte}
\label{fig:1parte}
\end{figure}
Tomamos un voltímetro y medimos las caídas de tensión sobre cada elemento ($V_C$, $V_L$ y $V_B$). Observamos que si sumamos las lecturas no obtenemos $\unit[12]{V}$, es decir $V_C+V_L+V_B \neq V_G$, no verificando la regla de Kirchhoff (la suma de las caídas de tensión en cada elemento debe ser igual a la suministrada por el generador).
Esto se debe a que los voltímetros registran los valores eficaces de las caídas de tensión pero no las respectivas relaciones de fase (sabemos que en un circuito con resistencias, capacitores e inductancias las caídas de tensión varían armónicamente en el tiempo pero con diferentes fases iniciales). El valor obtenido así puede ser mayor o menor del valor nominal (suministrado por el generador).
La solución a nuestro problema está en construir un diagrama vectorial como el que se muestra en la figura~\ref{fig:faso1}. En este diagrama, $V_B$ se dibuja horizontalmente, de modo de tomar como referencia la caída de tensión en la lamparita. Luego, dibujamos $V_L$ verticalmente en el extremo de $V_B$ y desfasada a $+$90\textdegree respecto de este último. Lo propio hacemos con $V_C$, sentido vertical pero a $-$90\textdegree (estas relaciones se obtienen del diagrama de fasores). Luego, hallamos la resultante de este trazado gráfico, la cual debe ser de valor próximo al generador.
%
\begin{figure}[tcb]
\centering
\includegraphics[height=3cm]{faso}
\caption{Diagrama fasorial}
\label{fig:faso1}
\end{figure}
Cabe aclarar que para realizar este método hemos supuesto que tanto la inductancia como el capacitor carecen de resistencias internas.
Ahora aflojamos el tornillo que mantiene unidas las partes del núcleo sobre el que se encuentra la bobina y desplazamos un poco la parte móvil (variamos $L$). Al realizar esto, observamos que el brillo de la bombita varía, pasando por un máximo. Dicho máximo corresponde a la condición de resonancia. Como es difícil establecerlo, desplazamos el núcleo mientras medimos la caída de tensión sobre la bombita. Al alcanzar la resonancia dicha caída es máxima. En teoría, con inductancias y capacitores ideales, dicha caída de tensión debería ser igual a la del generador puesto que se alcanza cuando $\modulo{V_L}=\modulo{V_C}$ (tensión nula en ambos). Esto se cumple en presencia de inductancias y capacitores ideales.
Luego, desconectamos todo el circuito sin tocar el núcleo, medimos $L$ y $C$ y calculamos la frecuencia de resonancia aplicando la fórmula~(\ref{eq:freqres}).
\item[Respuesta en frecuencia de un circuito RLC serie:] primero medimos con un multímetro la resistencia $R$, luego la inductancia $L$ (utilizando, otra vez, la de 200 vueltas) con y sin núcleo, la resistencia $R_L$ de la inductancia y finalmente la capacitancia $C$ a la que consideramos sin pérdidas. Luego montamos el
circuito de la figura~\ref{fig:2parte}.
\begin{figure}[hcb]
\centering
\includegraphics[height=4cm]{2parte}
\caption{Circuito RLC serie de la segunda parte}
\label{fig:2parte}
\end{figure}
Primero usamos la inductancia $L$ sin núcleo. Con los valores medidos podemos calcular los valores teóricos de la frecuencia de resonancia utilizando la fórmula~(\ref{eq:freqres}), el módulo de la corriente utilizando
%
\begin{equation}
I_0 = \frac{V_G}{\sqrt{{\left(R+R_G+R_L\right)}^2+{\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)}^2}}
\label{eq:cteres}
\end{equation}
%
y el factor numérico utilizando
%
\begin{equation}
Q = \frac{2 \pi f_0 L}{R+R_G+R_L}.
\label{eq:efemerites}
\end{equation}
%
Con el canal 1 del osciloscopio medimos que a la salida del generador aparezca una señal sinusoidal de aproximadamente \unit[2]{V} pico a pico y frecuencia próxima a la de resonancia calculada anteriormente. Medimos ahora en el canal 2 la caída de tensión en bornes de $R$, la cual resultará proporcional a la corriente y variamos la frecuencia de salida del generador hasta encontrar la resonancia. Ésta puede ser determinada o bien buscando la condición de máxima corriente o por la condición de ángulo de fase nulo entre tensión y corriente. Debido a que es difícil apreciar con exactitud la condición para la cual la corriente es máxima, medimos la diferencia de fase entre tensión y corriente y la llevamos a cero ajustando la frecuencia. Una vez obtenida la resonancia, con el osciloscopio medimos el período de la señal.
Luego variamos la frecuencia de la señal de salida del generador por arriba y por debajo de la frecuencia de resonancia (hasta un 30\% por debajo de la máxima) y registramos el valor de la caída de tensión sobre $R$ (la cual se encuentra en la sección de Resultados). Utilizamos las frecuencias $f_1$ (por debajo de $f_0$) y $f_2$ (por encima de $f_0$) para las cuales la señal es el 70\% de la máxima (las cuales son las frecuencias de media potencia). A partir de ellas determinamos el factor de mérito con la fórmula siguiente:
%
\begin{equation}
Q = \frac{f_0}{f_2-f_1}.
\label{eq:fmerito}
\end{equation}
%
Graficamos seguidamente la curva de respuesta en frecuencia teórica y la experimental.
%Por último. repetimos la medida de la frecuencia de resonancia colocando la bobina en el núcleo de forma rectangular.
\item[Transformador:] Armamos el siguiente circuito (fig.~\ref{fig:3parteC}) usando el núcleo en forma de C, (arrollamientos de 200 espiras). La frecuencia la fijamos en $\unit[1]{kHz}$. Luego con el osciloscopio medimos la tensión de entrada $V_1$ (canal 1) y la de salida $V_2$ (canal 2) al mismo tiempo para registrar la tensión en bornes del primario y del secundario. Realizamos el mismo procedimiento colocando ambos arrollamientos en el núcleo en forma de E (fig.~\ref{fig:3parteE}).
%
\begin{figure}[hcb]
\centering
\subfigure[Transformador con el núcleo C]{
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{3parteC}
\label{fig:3parteC}
}
\subfigure[Transformador con el núcleo E]{
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{3parteE}
\label{fig:3parteE}
}
\caption{Transformadores de la tercera parte}
\label{fig:3parte}
\end{figure}
%
Con los valores obtenidos en cada caso calculamos el factor de acoplamiento $k$ como sigue:
%
\begin{equation}
\frac{V_2}{V_1} = k \frac{N_2}{N_1}.
\label{eq:ktrafo}
\end{equation}
\item[Asociaciones de inductancias y acoplamiento:] En esta práctica determinaremos el factor de acoplamiento midiendo la inductancia total de dos arrollamientos conectados en serie con y sin núcleo.
Comenzamos registrando con el medidor LCR los valores de $L_A$ y $L_B$ separadas (sin núcleo) y luego la inductancia total estando conectadas (esto se llevará a cabo en ambos sentidos, permutando los bornes de $L_B$ usados como entrada y salida). A partir de estos datos, calculamos $M$ con la fórmula\footnote{Donde \(L_\mathrm{eq+}=L_A+L_B+2M\) y \(L_\mathrm{eq-}=L_A+L_B-2M\) son las inductancias totales cuando los flujos producidos por las bobinas A y B se suman y se restan, respectivamente.}
%
\begin{equation}
M=\frac{L_\mathrm{eq+}-L_\mathrm{eq-} }{4}\mbox{,}
\label{eq:Minduct}
\end{equation}
%
para luego hallar $k$:
%
\begin{equation}
k=\frac{M}{\sqrt{L_1 L_2}}.
\label{eq:kinduct}
\end{equation}
Para el siguiente paso, utilizamos el núcleo de forma rectangular (por lo que el factor de acoplamiento aumentará). El circuito a armar es el de la figura~\ref{fig:4parteC}. De nuevo medimos $L_A$ y $L_B$ individualmente y luego la inductancia total estando conectadas para luego hallar, análogamente al caso anterior, los valores de $M$ y $k$.
%
\begin{figure}[hcb]
\centering
\subfigure[Arrollamientos con el núcleo C]{
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{4parteC}
\label{fig:4parteC}
}
\subfigure[Arrollamientos con el núcleo E]{
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{4parteE}
\label{fig:4parteE}
}
\caption{Arrollamientos de la tercera parte}
\label{fig:4parte}
\end{figure}
Por último, armamos otro circuito (fig.~\ref{fig:4parteE}). Luego calculamos, otra vez, $M$ y $k$, para luego compararlos con los otros valores obtenidos. Los valores hallados se encuentran en la sección~\ref{sec:resultados}.
\end{description}
%\pagebreak
\section{Resultados}
\label{sec:resultados}
\subsection{Respuesta en frecuencia de un circuito RLC serie}
\subsubsection{Valores medidos en el laboratorio}
\begin{itemize}
\item $V_G= \unit[1]{V}$.
\item $R = \unit[390]{\Ohm}$.
\item $R_L= \unit[2.7]{\Ohm}$.
\item $R_G= \unit[50]{\Ohm}$.
\item $L = \unit[3.06]{mH}$.
\item $C = \unit[0.024]{\micro F}$.
\end{itemize}
\subsubsection{Valores teóricos}
\begin{itemize}
\item Frecuencia de resonancia: $f_0 = \unit[18571]{Hz}$.
\item Módulo de la corriente en resonancia: $I_0 = \unit[0.00226]{A} = \unit[2.26]{mA}$.
\item $Q$ calculado con la ecuación~(\ref{eq:efemerites}): $Q_\mathrm{largo} = 0.807$.
\item $Q$ calculado con la ecuación~(\ref{eq:fmerito}): $Q_\mathrm{corto} = 0.791$.
\item Frecuencias (menores y mayores que $f_0$) para las cuales la corriente es un 70\%, 80\% y 90\% de $I_0$ (cuadro~\ref{tab:fteor789}).
\end{itemize}
\begin{table}[hcb]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|r|r|}
\hline
\% & \multicolumn{1}{|c|}{Baja} & \multicolumn{1}{|c|}{Alta}\\
\hline
90 & $13814.90$ & $24966.63$\\
80 & $11846.34$ & $29115.43$\\
70 & $10228.84$ & $33719.50$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Frecuencias teóricas tales que $I$ es un porcentaje de $I_0$}
\label{tab:fteor789}
\end{table}
\subsubsection{Valores experimentales}
\begin{itemize}
\item Frecuencia de resonancia: $f_0 = \unit[18868]{Hz}$.
\item $Q$ calculado con la ecuación~(\ref{eq:fmerito}): $Q_\mathrm{corto} = 0.808$.
\item Frecuencias (menores y mayores que $f_0$) para las cuales la corriente es un 70\%, 80\% y 90\% de $I_0$ (cuadro~\ref{tab:fexp789}).
\end{itemize}
\begin{table}[hcb]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|r|r|}
\hline
\% & \multicolumn{1}{|c|}{Baja} & \multicolumn{1}{|c|}{Alta}\\
\hline
90 & $14285$ & $25000$\\
80 & $11111$ & $27777$\\
70 & $10000$ & $33333$\\
\hline
\end{tabular}
\end{center}
\caption{Frecuencias experimentales tales que $I$ es un porcentaje de $I_0$}
\label{tab:fexp789}
\end{table}
\subsubsection{Diferencias porcentuales}
\begin{itemize}
\item $f_\mathrm{0\ teo} = 98.43\% f_\mathrm{0\ exp}$.
\item $Q_\mathrm{teo} = 97.77\% Q_\mathrm{exp}$.
\end{itemize}
%
\begin{figure}[htc]
\begin{center}
\subfigure[Curvas de corriente versus frecuencia teórica y experimental]{
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{Iversusf}
}
\subfigure[Gráficos de $I$ versus $f$ (azul) y $Z$ versus $f$ (rojo)]{
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{Zversusf}
}
\caption{Gráficos en función de la frecuencia}
\label{fig:versusf}
\end{center}
\end{figure}
\subsection{Transformador}
\begin{itemize}
\item Número de vueltas $N_1 = N_2 = 200$.
\item Cálculo del factor de acoplamiento $k$ entre las inductancias del transformador (ver cuadro~\ref{tab:trafo}) a través de la ecuación~(\ref{eq:ktrafo}).
\item Comparación entre el $k$ de cada núcleo: $k_C = 74.47\% k_E$.
\end{itemize}
\begin{table}[hcb]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|}
\hline
& Núcleo C & Núcleo E\\
\hline
Canal 1 & $4$ & $5.4$\\
\hline
Canal 2 & $2.8$ & $5.1$\\
\hline
$k$ & $0.7$ & $0.94$\\
\hline
\end{tabular}
\caption{Factor de acoplamiento $k$ y amplitud máxima (\unit{V}) de la tensión para núcleos C y E}
\label{tab:trafo}
\end{center}
\end{table}
\subsection{Asociaciones de inductancias y acoplamiento}
\begin{itemize}
\item Cálculo de la inductancia mutua $M$ a través de la ecuación~(\ref{eq:Minduct}).
\item Cálculo del factor de acoplamiento $k$ entre las inductancias (cuadro~\ref{tab:induct}) mediante~(\ref{eq:kinduct}).
\end{itemize}
\begin{table}[htb]
\begin{center}
\begin{tabular}{|c|c|c|c|}
\hline
& Sin Núcleo & Núcleo C & Núcleo E\\
\hline
Flujos Sumados & $1.35$ & $38$ & $169$\\
\hline
Flujos Restados & $1.32$ & $8.65$ & $8.35$\\
\hline
$M$ & $0.0075$ & $7.34$ & $40.16$\\
\hline
$k$ & $1.7 \cdot 10^{-5}$ & $1.05 \cdot 10^{-2}$ & $0.057$\\
\hline
\end{tabular}
\caption{Valores de $M$ (en $\unit{mH}$) y de $k$ para distintas configuraciones geométricas}
\label{tab:induct}
\end{center}
\end{table}
\section{Discusión}
\begin{description}
\item[Medidas con voltímetro en un circuito RLC serie] En la primera experiencia vimos que sumando las caídas de tensión eficaces en cada elemento del circuito no se obtenía cero. Esto se debía, efectivamente, a las diferencias de fase entre cada una de ellas, lo cual se soluciona con el uso del formalismo complejo y del método gráfico de los fasores. Cabe destacar que en este caso no vale la segunda regla de Kirchhoff (si se trabaja con los módulos de dichas caídas que nos provee el voltímetro) pues estamos en presencia de campos eléctricos no conservativos (inducidos por el flujo magnético cambiante en la bobina involucrada), y entonces:
%
\begin{equation}
\oint \vec{E} \cdot \+\vec{l} = -\difrac{\phi}{t} \neq 0.
\end{equation}
\item[Respuesta en frecuencia de un circuito RLC serie] En cuanto a la segunda experiencia verificamos que, efectivamente, no hay diferencias significativas entre el valor teórico y el experimental de la frecuencia de resonancia $f_0$. Sin embargo, sí se notan diferencias entre las magnitudes calculadas y las medidas conforme nos alejamos de dicha frecuencia (buscando aquellas para las cuales la corriente es un porcentaje de la máxima). Esto último lo asociamos a la incertidumbre del observador al intentar determinar los susodichos porcentajes de corriente con el osciloscopio, sumado a las fallas en los empalmes de los cables del instrumento (que provocaban alteraciones momentáneas de la amplitud de la onda mostrada en la pantalla).
En cuanto al $Q$, se vislumbra una diferencia entre el valor calculado y el medido que, si bien no muy significativa, no es despreciable. Suponemos que dicha discrepancia se debe a la desigualdad entre frecuencias tratada en el párrafo anterior.
\item[Transformador] Como el número de vueltas era igual en ambos arrollamientos, esperábamos encontrar valores similares a la entrada y a la salida. Ello no ocurrió tan marcadamente en el caso del núcleo C, por razones que atribuimos a la dispersión de flujo: en efecto, como el arrollamiento primario se encuentra enfrentado al secundario y entre ellos no hay continuidad del material ferromagnético,\footnote{No hay continuidad del material ferromagnético porque el núcleo C tiene una abertura diseñada, justamente, para poder enhebrar ambos arrollamientos en el mismo.} es admisible que no todo el flujo producido por el primario sea captado por el secundario y viceversa.
Por el contrario, en el caso del núcleo E ambos arrollamientos se encuentran sobre el mismo huso: vemos entonces que la fundamentación que acabamos de explicitar para el núcleo C no hace sino reforzarse al ver lo ocurrido aquí: el flujo disperso se minimiza notoriamente o, en otras palabras, el flujo producido por el arrollamiento secundario es (casi) completamente captado por el secundario, y a la inversa.
\item[Asociaciones de inductancias y acoplamiento] Por razones análogas a las del caso anterior, vemos que en presencia de un núcleo C la inductancia mutua es mucho menor que si consideramos un núcleo E. Otro tanto ocurre si comparamos $M$ sin núcleo con el $M$ obtenido si usamos el núcleo C: esto último es por la falta de material ferromagnético que ~---\emph{ceteras paribus}~--- tiene como consecuencia que el campo magnético $B$ (y por lo tanto el flujo magnético $\phi$) involucrado sean considerablemente menores.
\end{description}
\section{Conclusiones}
\label{sec:conclus}
\begin{description}
\item[Transformador:] Lo que se pudo comprobar en este experimento es que la fem inducida por un arrollamiento sobre otro arrollamiento cualquiera tiene relación con la configuración que se elija para vincularlos.
En este caso se emplearon dos arrollamientos con el mismo número de vueltas con el fin de obtener una relación uno a uno en la inducción de la fem. Lo anterior se deduce de la fórmula:
%
\begin{equation}
\frac{V_1}{V_2}=\frac{N_1}{N_2}.
\end{equation}
Lo que pudimos comprobar es que para el núcleo en forma de C se produce una fem inducida menor que para el núcleo en forma de E. Esto se debe a que en el primer caso hay una mayor pérdida de flujo magnético, dada la naturaleza de la configuración, lo que provoca que la inducción mutua $M$ sea menor entre los bobinados. Por lo tanto, para tener el mayor rendimiento de transformación, es conveniente una configuración de núcleo E; incluso es más conveniente aún que los bobinados se encuentren arrollados uno encima del otro, pues esto también contribuye a una menor pérdida de flujo.
\item[Asociaciones de inductancias y acoplamiento:] Como resultado de esta prueba pudimos observar dos fenómenos interesantes a tener en cuenta siempre que se deba emplear la inducción magnética como parte de un desarrollo.
Como habíamos podido probar en forma teórica, la inductancia mutua entre dos arrollamientos acoplados magnéticamente (es decir, no unidos eléctricamente), respecto del cálculo de la fem inducida total, se suma cuando ambos elementos están bobinados en el mismo sentido y la corriente ingresa por el borne $(+)$ y se restan si están arrollados en sentidos contrarios, o en el mismo sentido pero las corrientes entran una por el borne $(+)$ y la segunda por el borne $(-)$.
Por otro lado, esta inducción magnetica (aditiva o sustractiva, según el caso) cobra una gran relevancia cuando las bobinas se encuentran montadas sobre núcleos de material magnético, mientras que resulta casi despreciable en el caso en que las bobinas tienen aire como núcleo.
\end{description}
%\addcontentsline{toc}{section}{Referencias}
%\begin{thebibliography}{99}
% \bibitem{nadie}
%\end{thebibliography}
\newpage
\appendix
\section{Problemas adicionales}
\label{pradic}
\Problema
\subsubsection{Enunciado}
En el circuito de la figura~\ref{fig:prob1}, calcular:
%
\begin{enumerate}
\item La caída de tensión producida por cada elemento: ¿se cumple la regla de Kirchhoff?
\item La corriente que circula por cada rama.
\item Realizar el diagrama fasorial correspondiente.
\item ¿Es el circuito capacitivo o inductivo?
\item Deducir la condición de resonancia y determinar, en condiciones de resonancia, los valores de tensión eficaz sobre la resistencia, el capacitor y el inductor.
\item Graficar la corriente eficaz que circula por la resistencia en función de la frecuencia, para valores de la frecuencia en el intervalo $\left[f_0 - 0.9f_0, \ f_0 + 0.9 f_0\right]$ (siendo $f_0$ la frecuencia de resonancia). ¿Cómo cambiaría esta función si la resistencia fuera de $\unit[3000]{\Ohm}$?
\end{enumerate}
\begin{figure}[hcp]
\centering
\resizebox{!}{4cm}{
\begin{pspicture}(-2,-0.5)(6.7,4)
\large
%\psgrid[subgriddiv=1,griddots=10]
%Defino nodos
\pnode(0,0){A}
\pnode(0,3){B}
\pnode(3,3){C}
\pnode(6,3){D}
\pnode(6,0){E}
%Agrego componentes
\circledipole[labeloffset=0,tensioncolor=white,tensionlabel=$\begin{array}{c}\unit[6]{V}\\\unit[5]{kHz}\end{array}$,tensionlabeloffset=1.25](A)(B){\Huge \raisebox{-12pt}{\AC}}
\resistor[dipolestyle=zigzag](B)(C){$\unit[400]{\Ohm}$}
\coil[dipolestyle=elektor](C)(D){$\unit[12]{mH}$}
\capacitor[labeloffset=-40pt](D)(E){$\unit[20]{nF}$}
\wire[intensitywidth=0](E)(A)
\end{pspicture}}
\caption{Circuito RLC serie}
\label{fig:prob1}
\end{figure}
\subsubsection{Resolución}
\begin{enumerate}
\item $\left.\begin{array}{rcl}
\imp{Z}_L \igual j \unit[60]{\Ohm}\mbox{,}\\
\imp{Z}_C \igual -j \unit[10000]{\Ohm}\mbox{,} \\
\imp{Z}_R \igual \unit[400]{\Ohm}.
\end{array} \right\} \Longrightarrow
%
\begin{array}[t]{rcl}
\imp{Z} \igual \unit[400]{\Ohm} - j \unit[9940]{\Ohm}\mbox{,} \\
\imp{Z} \igual \unit[9948]{\Ohm} e^{-j 1.53} \unit{\Ohm}. \\
\end{array}$
\item \begin{eqnarray*}
\imp{I} \igual \frac{\unit[6]{V}}{\unit[9948]{\Ohm} e^{-j 1.53}}\mbox{,}\\
\imp{I} \igual \unit[0.000603]{\Ohm} e^{j 1.53}.\\
\end{eqnarray*}
\[\left\{ \begin{array}{rcl}
i_0 \igual \unit[0.603]{mA} = \unit[603]{\micro A}\mbox{,}\\
\\
i_\mathrm{efic} \igual \unit[0.426]{mA} = \unit[426]{\micro A}\mbox{,}\\
\\
\imp{I} \igual \unit[24.6]{\micro A} + j \unit[602]{\micro A}\mbox{,}\\
\\
i(t) \igual \unit[603]{\micro A} \cos{5000t + 1.53}.\\
\end{array}
\right.\]
\vspace{5mm}
\[\left\{ \begin{array}{rcl}
\imp{V}_L \igual \imp{Z}_L \imp{I} = j \unit[60]{\Ohm} (\unit[24.6]{\micro A} + j \unit[602]{\micro A})\mbox{,}\\
\\
\imp{V}_L \igual \unit[-36.2]{mV} + j \unit[1.476]{mV}\mbox{,}\\
\\
v(t) \igual \unit[0.362]{V} \cdot \cos{5000t +3.10}\mbox{,}\\
\\
v_{L_0} \igual \unit[0.362]{V}\mbox{,}\\
\\
v_{L_\mathrm{efic}} \igual \unit[0.0256]{V}.
\end{array} \right. \]
\vspace{5mm}
\[\left\{ \begin{array}{rcl}
\imp{V}_C \igual -j\unit[10000]{\Ohm} (\unit[24.6]{\micro A} + j \unit[602]{\micro A})\mbox{,}\\
\\
\imp{V}_C \igual \unit[6.02]{V} - j\unit[0.246]{V}\mbox{,}\\
\\
v(t) \igual \unit[6.02]{V} \cdot \cos{5000t - 0.041}\mbox{,}\\
\\
v_{L_0} \igual \unit[6.02]{V}\mbox{,}\\
\\
v_{L_\mathrm{efic}} \igual \unit[4.26]{V}.
\end{array} \right. \]
\vspace{5mm}
\[\left\{ \begin{array}{rcl}
\imp{V}_R \igual \unit[400]{\Ohm} (\unit[24.6]{\micro A} + j \unit[602]{\micro A})\mbox{,}\\
\\
\imp{V}_R \igual \unit[9.84]{mV} + j\unit[241]{mV}\mbox{,}\\
\\
v(t) \igual \unit[0.241]{V} \cdot \cos{5000t +3.10}\mbox{,}\\
\\
v_{R_0} \igual \unit[0.241]{V}\mbox{,}\\
\\
v_{R_\mathrm{efic}} \igual \unit[0.17]{V}.\\
\end{array} \right.\]
\paragraph*{Kirchoff Complejo:}
%
\begin{eqnarray*}
\imp{V} \igual \imp{V}_L+\imp{V}_C+\imp{V}_R\\
\\
\unit[6]{V} \igual (\unit[-36.12]{mV} + j\unit[1.476]{mV}) + (\unit[6.02]{V} - j \unit[-246]{V}) + (\unit[9.84]{mV} + j \unit[246]{mV})\\
\\
\unit[6]{V} \igual \unit[5.99]{V} + j \unit[0.0035]{V}.
\end{eqnarray*}
%
Sí, se cumple la regla.
\begin{eqnarray*}
V_\mathrm{efic} \igual V_{L_\mathrm{efic}}+V_{C_\mathrm{efic}}+V_{R_\mathrm{efic}}\\
\\
\unit[4.243]{V} \igual \unit[0.0256]{V}+\unit[4.26]{V}+\unit[0.17]{V}\\
\\
\unit[4.243]{V} & \neq & \unit[4.456]{V}.
\end{eqnarray*}
%
Para valores de tensiones eficaces no se cumple.
\item \begin{figure}[hcb]
\begin{center}
\resizebox{!}{5cm}{\begin{pspicture}(-1cm,-1cm)(7cm,5cm)
\psset{unit=0.01mm}
%\psgrid[subgriddiv=1,griddots=10]
%Defino nodos
\pnode(6000,0){V}
\pnode(98.4,2410){VR}
\pnode(6020,-246){VC}
\pnode(-361.2,14.76){VL}
\pnode(164,4013.33){I}
%dibujo flechas
\psline[linewidth=0.25mm]{->}(V)
\psline[linewidth=0.5mm]{->}(VR)
\psline[linewidth=0.25mm]{->}(I)
\psline[linewidth=0.5mm]{->}(VL)
\psline[linewidth=0.5mm]{->}(VC)
\uput[90](V){$\imp{V}$}
\uput[0](I){$\imp{I}$}
\uput[0](VR){$\imp{V}_R$}
\uput[90](VL){$\imp{V}_L$}
\uput[0](VC){$\imp{V}_C$}
\end{pspicture}}
\caption{Diagrama fasorial del problema~\theproblem\ (no está a escala)}
\label{fig:faso2}
\end{center}
\end{figure}
\item El circuito es capacitivo pues, como puede apreciarse claramente en el diagrama fasorial, $\varphi_I - \varphi_{\hspace{0.75pt}V} > 0$.
\item $\omega / \imp{Z}=\Re(\imp{Z}) \Leftrightarrow \Im(\imp{Z})=0$.
\begin{eqnarray*}
\Im(\imp{Z})\igual \omega L - \frac{1}{\omega C}=0\\
\\
\omega L \igual \frac{1}{\omega C}\\
\\
\omega \igual \frac{1}{\sqrt{LC}}\\
\\
\omega \igual \unit[64550]{Hz}.
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\imp{Z} \igual \imp{Z}_R = \unit[400]{\Ohm}\mbox{,}\\
\\
\imp{I} \igual \imp{\frac{V}{Z}}=\frac{\unit[6]{V}}{\unit[400]{\Ohm}}.
\end{eqnarray*}
\begin{eqnarray*}
\imp{V} \igual \imp{I}\imp{Z}_R= \unit[6]{V}\\
\\
\imp{V} \igual \imp{I} \imp{Z}_L= j \unit[11.62]{V}\\
\\
\imp{V} \igual \imp{I} \imp{Z}_C= j \unit[-11.62]{V}\mbox{,}\\
\\
\imp{V}_L \igual \imp{V}_C = 0.\\
\\
\imp{V} \igual \imp{V}_R.
\end{eqnarray*}
%
\begin{eqnarray*}
\imp{V}_{L_\mathrm{efic}} \igual \unit[4.2]{V} = \imp{V_\mathrm{efic}}\\
\\
\imp{V}_{L_\mathrm{efic}} \igual \unit[8.22]{V}\\
\\
\imp{V}_{C_\mathrm{efic}} \igual \unit[-8.22]{V}\mbox{,}\\
\end{eqnarray*}
%
\begin{eqnarray*}
i_\mathrm{efic} = \frac{i_0}{\sqrt{2}} \igual \frac{\sqrt{{(\Re(\imp{I}))}^2+{(\Im(\imp{I}))}^2}}{\sqrt{2}}\mbox{,}\\
\\
\imp{I} \igual \frac{\unit[6]{V}}{\sqrt{R^2+ \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right) e^{\arctg \left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)}}}
\\
\imp{I} \igual \frac{\unit[6]{V}}{\sqrt{R^2} + {\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)}^2} \cos{\frac{1}{\arctg \left(\omega L-\frac{1}{\omega C}\right)}}\\
&& \qquad - j \frac{\unit[6]{V}}{\sqrt{R^2} + {\left(\omega L - \frac{1}{\omega C}\right)}^2} \sin{\arctg \left({\omega L-\frac{1}{\omega C}}\right)}\mbox{,}\\
\\
i_\mathrm{efic} \igual \frac{V_\mathrm{efic}}{\modulo{\imp{Z}}}=\frac{1}{\sqrt{R^2+{\left( \omega L-\frac{1}{\omega C} \right)}^2}}\\
\\
i_\mathrm{efic}\igual \frac{\unit[4.24]{V}}{\sqrt{R^2+\left( 2 \pi f L-\frac{1}{2 \pi fC} \right)^2}}.\\
\end{eqnarray*}
\item \begin{figure}[htc]
\begin{center}
\includegraphics[width=0.4\textwidth]{Iversusf2}
\caption{Corriente eficaz en función de la frecuencia, para $R=\unit[400]{\Ohm}$ (rojo) y para $R=\unit[3000]{\Ohm}$ (azul)}
\label{fig:Iversusf2}
\end{center}
\end{figure}
\end{enumerate}
\Problema
\subsubsection{Enunciado}
Teniendo en cuenta el siguiente circuito (fig.~\ref{fig:prob2}), hallar el valor de la capacidad para que el mismo esté en resonancia. Compare los valores de reactancia capacitiva e inductiva. ¿Cuál diría usted que es la condición de resonancia de este circuito? ¿Coincide con la definición de resonancia para el circuito RLC serie?
\begin{figure}[hcb]
\centering
\resizebox{!}{4cm}{
\begin{pspicture}(-2.2,-0.2)(7.3,4.3)
\large
%\psgrid[subgriddiv=1,griddots=10]
%Defino nodos
\pnode(0,0){A}
\pnode(0,3){B}
\pnode(3,3){C}
\pnode(3,0){D}
%Agrego componentes
\circledipole[labeloffset=0,tensioncolor=white,tensionlabel=$\begin{array}{c}\unit[50]{V}\\\unit[500]{Hz}\end{array}$,tensionlabeloffset=1.4](A)(B){\Huge \raisebox{-12pt}{\AC}}
\resistor[dipolestyle=zigzag,labeloffset=31pt](C)(D){$\unit[2.5]{k\Ohm}$}
\coil[dipolestyle=elektor,parallel,parallelarm=2.2,labeloffset=32pt](C)(D){$\unit[0.25]{mH}$}
\capacitor[labeloffset=1](B)(C){$C$}
\wire[intensitywidth=0](D)(A)
\end{pspicture}}
\caption{Circuito RLC paralelo}
\label{fig:prob2}
\end{figure}
\subsubsection{Resolución}
\begin{eqnarray*}
\frac{1}{\imp{Z}_{RL}} \igual \frac{1}{\imp{Z}_R}+\frac{1}{\imp{Z}_L}\\
\frac{1}{\imp{Z}_{RL}} \igual \frac{1}{\unit[2500]{\Ohm}} + \frac{1}{j \unit[500]{Hz}\cdot 0.25\cdot \unit[10^{-3}]{H}}\\
\frac{1}{\imp{Z}_{RL}} \igual \unitfrac[0.0004]{1}{\Ohm} - j \unitfrac[8]{1}{\Ohm}\\
\frac{1}{\imp{Z}_{RL}} \igual \unit[8]{\Ohm} e^{-j 1.57}\\
\imp{Z}_{RL} \igual \unit[0.125]{\Ohm} e^{j 1.57}\\
\imp{Z}_{RL} \igual \unit[9.95 \cdot 10^{-5}]{\Ohm} + j \unit[0.125]{\Ohm}\mbox{,}
\end{eqnarray*}
%
\begin{eqnarray*}
\imp{Z}_C \igual -j \unit[\frac{0.002}{C}]{\Ohm \cdot F}\mbox{,}
\end{eqnarray*}
%
\begin{eqnarray*}
\imp{Z} \igual 9.95 \unit[\cdot 10^{-5}]{\Ohm} + j \left(0.125 - \unit[\frac{0.002}{C}\right)]{\Ohm \cdot F}\\
\Im(\imp{Z})\igual 0\\
\Im(\imp{Z}) \igual \unit[\frac{0.002}{C}]{\Ohm \cdot F}\\
\unit[\frac{0.002}{0.125}]{F} \igual C\\
\unit[0.016]{F} \igual C.
\end{eqnarray*}
\begin{equation*}
\begin{split}
&X_L=\omega L=\unit[500\cdot 0.25\cdot 10^{-3}]{\Ohm}=\unit[0.125]{\Ohm}\\
\\
&X_C=\frac{1}{\omega C}=\unit[\frac{1}{500\cdot 0.016}]{\Ohm}=\unit[0.125]{\Ohm}\\
\\
&X_L=X_C.
\end{split}
\end{equation*}
\Problema
La condición de resonancia corresponde a ángulo de fase nulo entre tensión y corriente. Esto es equivalente a que la caída de tensión sobre la resistencia sea igual a la tensión entregada por la fuente (con diferencia de fase cero). También es equivalente a que la frecuencia sea tal que la corriente es máxima. ¿Son siempre equivalentes estas tres condiciones?
\bigskip
Estas tres condiciones son siempre equivalentes: la primera implica, por~(\ref{eq:ohm}), que la parte imaginaria de la impedancia total del circuito debe ser nula, o también, que la fase de dicho elemento debe ser cero. En estas condiciones, la impedancia es simplemente una resistencia, con lo cual, efectivamente, la diferencia de tensión entre sus bornes es la misma que se encuentra entre los terminales del generador. Por último, como $I = \frac{V}{Z}$, si la parte imaginaria se aleja de su valor nulo, el módulo de la impedancia no puede sino crecer: encontramos, finalmente, que aquellas tres expresiones son equivalentes.
\Problema
¿Qué relación existe entre los gráficos de corriente versus frecuencia y el de módulo de impedancia versus frecuencia en un circuito RLC serie?
\Problema
¿Por qué se usa hierro laminado en los transformadores?
\bigskip
Porque así se reducen los caminos que pueden tomar las corrientes parásitas, con lo cual disminuye el número de estas, y por ende se pierde menos energía en forma de calor.
%\newpage
%\section{Preguntas}
%
%\begin{enumerate}
% \item
%\end{enumerate}
%\subsection{Respuestas}
%
%\begin{enumerate}
% \item
%\end{enumerate}
\label{pag:ultima}
\end{document}