Tabla de Contenidos

NOTA IMPORTANTE: Los siguientes resultados pueden tranquilamente contener errores. Tómalos como una referencia pero no confie totalmente en ellos. Es por ello que se invita a cualquier persona solidaria a modificarlos en caso de ver algo que no corresponda ^_^, y a agregar lo que falte.

GUÍA 1

Ley de Coulomb

Ejercicio 1

<tex>(a) \\ \\ \overline F _{12} = 5,4N( - \hat x) \\ \overline F _{21} = 5,4N(\hat x) \\ </tex>

<tex>(b) \\ \\ x_0 = 3,8cm</tex>

<tex>(c)\\ \\\overline E = 1.350.000\frac{N}{C}\hat x</tex>

<tex>(d) </tex>

En <tex>x_0.</tex> Para la carga negativa es lo mismo. Se trata de un equilibrio inestable ya que si la carga es desplazada de dicha posición la misma no retorna a su origen.

Ejercicio 2

<tex>(a) \\ \\ q = 4,36.10^{ - 8} C</tex>

<tex>(b) \\ \\ \Delta \alpha = 52,88^0 </tex>

Ejercicio 3

<tex>(a) \\ \\ \ E_x = \frac{\lambda }{{4\pi \varepsilon _0 }}\left[ {\frac{1}{{\sqrt {\left( {x - \frac{L}{2}} \right)^2 + y^2 + z^2 } }} - \frac{1}{{\sqrt {\left( {x + \frac{L}{2}} \right)^2 + y^2 + z^2 } }}} \right]</tex>

<tex>E_y = \frac{\lambda }{{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{y}{{y^2 + z^2 }}\left[ {\frac{{x + \frac{L}{2}}}{{\sqrt {\left( {x + \frac{L}{2}} \right)^2 + y^2 + z^2 } }} - \frac{{x - \frac{L}{2}}}{{\sqrt {\left( {x - \frac{L}{2}} \right)^2 + y^2 + z^2 } }}} \right]</tex>

<tex>E_z = \frac{\lambda }{{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{z}{{y^2 + z^2 }}\left[ {\frac{{x + \frac{L}{2}}}{{\sqrt {\left( {x + \frac{L}{2}} \right)^2 + y^2 + z^2 } }} - \frac{{x - \frac{L}{2}}}{{\sqrt {\left( {x - \frac{L}{2}} \right)^2 + y^2 + z^2 } }}} \right]</tex>

<tex>\overline E (\overline r ) = (E_x ,E_y ,E_z )</tex>

<tex>(b) \\ \\ E_x (z = 0,05m) = 0 \\ E_y (z = 0,05m) = 0 \\ E_z (z = 0,05m) = 5,3.10^6 \frac{N}{C} \\ </tex>

<tex>(c)</tex>

RESOLUCIÓN

<tex>\\ \\ \;L \to \infty \\ \\ \frac{x}{L} \to 0,\frac{y}{L} \to 0,\frac{z}{L} \to 0 \\ \\ \bullet \frac{{x + \frac{L}{2}}}{{\sqrt {\left( {x + \frac{L}{2}} \right)^2 + y^2 + z^2 } }} = \frac{{L(\frac{x}{L} + \frac{1}{2})}}{{\sqrt {L^2 (\frac{x}{L} + \frac{1}{2})^2 + y^2 + z^2 } }}= \\ = \frac{{L(\frac{x}{L} + \frac{1}{2})}}{{L\sqrt {(\frac{x}{L} + \frac{1}{2})^2 + \left( {\frac{y}{L}} \right)^2 + \left( {\frac{z}{L}} \right)^2 } }} \approx 1</tex>

entonces,

<tex> \bullet \frac{{x - \frac{L}{2}}}{{\sqrt {\left( {x - \frac{L}{2}} \right)^2 + y^2 + z^2 } }} \approx - 1</tex>

finalmente,

<tex>\begin{array}{l} E_y = \frac{\lambda }{{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{y}{{y^2 + z^2 }}2 = \frac{\lambda }{{2\pi \varepsilon _0 }}\frac{y}{{y^2 + z^2 }} \\ E_z = \frac{\lambda }{{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{z}{{y^2 + z^2 }}2 = \frac{\lambda }{{2\pi \varepsilon _0 }}\frac{z}{{y^2 + z^2 }} \\ \end{array}</tex>

Luego,

<tex> \bullet \frac{1}{{\sqrt {\left( {x \pm \frac{L}{2}} \right)^2 + y^2 + z^2 } }} = \frac{1}{{L\sqrt {(\frac{x}{L} \pm \frac{1}{2})^2 + \left( {\frac{y}{L}} \right)^2 + \left( {\frac{z}{L}} \right)^2 } }} \approx \frac{2}{L}</tex>

entonces:

<tex>\begin{array}{l} E_x = 0 \\ \\ \\ \Rightarrow \bar E(\bar r) = \frac{\lambda }{{2\pi \varepsilon _0 }}\frac{1}{{y^2 + z^2 }}(0,y,z) \\ \end{array} \\</tex>

,en coordenadas polares:

<tex> \begin{array}{l} y = \rho \cos \varphi \\ z = \rho sen\varphi \\ \\ \Rightarrow \bar E(\bar r) = \frac{\lambda }{{2\pi \varepsilon _0 }}\frac{1}{{\rho ^2 }}(0,\rho \cos \varphi ,\rho sen\varphi ) = \frac{\lambda }{{2\pi \varepsilon _0 }}\frac{1}{{\rho ^{} }}(0,\cos \varphi ,sen\varphi ) \\ \end{array} \\</tex>

<tex>;(0,\cos \varphi ,sen\varphi ) = \hat \rho = \frac{{\bar \rho }}{{\left| {\bar \rho } \right|}} \\</tex>

<tex> \Rightarrow \bar E(\bar r) = \frac{\lambda }{{2\pi \varepsilon _0 }}\frac{1}{\rho }\hat \rho </tex>

Ejercicio 4

<tex>(a) \\ \\ E_z = \frac{{\lambda zR}}{{2\varepsilon _0 \left( {R^2 + z^2 } \right)^{\frac{3}{2}} }}</tex>

<tex>Ex = 0</tex>

<tex>Ey = 0</tex>

Ejercicio 5

<tex>(a) \\ \\ Ex = 0</tex>

<tex>Ey = 0</tex>

<tex>E_z = \frac{{\sigma Z}}{{2\varepsilon _0 }}\left[ {\frac{1}{z} - \frac{1}{{\sqrt {R^2 + z^2 } }}} \right]</tex>

<tex>(b)\E(0;0;0,1)= 2568 N/C</tex>

<tex>(c) \\ \\</tex>

Si z < < R, podemos considerar al caso como a un plano infinito y decir que:

<tex> \frac{R}{z} \to \infty \\ \Rightarrow E_z \to \frac{\sigma }{{2\varepsilon _0 }} \\</tex>

Si z > > R:

<tex> \\ \Rightarrow E \to 0 \\ </tex>

Ejercicio 6

Demostrado en la parte <tex>(c)</tex> del ej. anterior.

Ejercicio 7

Las cuentas parece que son un quilombo y ni idea como son. Solo sé que en el apunte de EyM de la cátedra se llega a este resultado (sin mostrar las cuentas) usando coordenadas esféricas:

<tex>\overline E (0,y,0) = (0,\frac{{R^3 \rho _0 }}{{3\varepsilon _0 y}},0)</tex>

luego por simetría, para r=(x,y,z):

<tex>\overline E (\overline r ) = \frac{{R^3 \rho _0 }}{{3\varepsilon _0 r^2 }}\hat r = \frac{{R^3 \frac{Q}{{\frac{4}{3}\pi R^3 }}}}{{3\varepsilon _0 r^2 }}\hat r = \frac{Q}{{4\pi \varepsilon _0 r^2 }}\hat r \\ \\ \\ .</tex>

Ley de Gauss

Ejercicio 8

<tex>\phi_E = 113994\frac{{Nm^2 }}{C}</tex>

Ejercicio 9

<tex>\phi_E = E\pi R^2 </tex>

Ejercicio 10

<tex>(a) \\ \\ \phi_{TOTAL} = 0 \\ Q_{enc} = 0 \\ \rho _0 = 0 \\ </tex>

<tex>(b) \\ \\ \phi _{TOTAL} = E_0 a^3 \\ Q_{enc} = E_0 \varepsilon _0 a^3 \\ \rho _0 = E_0 \varepsilon _0 \\ </tex>

<tex>(c) \\ \\ \phi _{TOTAL} = E_0 a^4 \\ Q_{enc} = E_0 \varepsilon _0 a^4 \\ \rho _0 = E_0 \varepsilon _0 a \\ </tex>

<tex>(d) \\ \\</tex>

Completar

Ejercicio 11

<tex>(a) \\ \\\overline E (\overline r ) = \frac{\lambda }{{2\pi \varepsilon _0 }}\frac{1}{r}\hat r</tex>

<tex>(b) \\ \\\overline E (\overline r ) = \frac{\sigma }{{2 \varepsilon _0 }}\hat n</tex>

<tex>(c) \\ \\\overline E (\overline r ) = \frac{{\rho R^3 }}{{3\varepsilon _0 }}\frac{1}{{r^2 }}\hat r</tex>

<tex>(d) \\ \\\overline E (\overline r ) = \frac{{\sigma R^2 }}{{\varepsilon _0 }}\frac{1}{{r^2 }}\hat r</tex>

<tex>(e) \\ \\\overline E (\overline r ) = \frac{{2\rho _0 a^2 }}{{\varepsilon_0}}\frac{1}{r}\hat r</tex>

<tex>(f) \\ \\\overline E (\overline r ) = \frac{{\rho R^2 }}{{\varepsilon _0 }}\frac{1}{{r^2 }}\hat r</tex>

<tex>(g) \\ \\\overline E (\overline r ) = \frac{{\rho R}}{{\varepsilon _0 }}\frac{1}{r}\hat r \\ \\ .</tex>

Diferencia de potencial y potencial electrostático

Ejercicio 12

<tex>(a) \\ \\W = \frac{{kq_1 q}}{d}</tex>

El trabajo no depende del camino que se tome, porque el campo eléctrico es conservativo.

<tex>(b)</tex>

Para el caso más simple tomamos:

<tex> \overline r = (0,y,0) \\ \\ </tex> (En realidad no se especifica en donde se encuentra la carga).

Como sistema de referencia se eligió al cero entre las dos cargas en la línea que los separa.

<tex>W = \frac{{q(q_1 + q_2 )}}{{4\pi \varepsilon _0 d}}</tex>

<tex>(c)</tex>

Si <tex>q_1 = - q_2 </tex> <tex> \to W = 0 </tex> (para el caso más simple)

Ejercicio 13

<tex>(a) \\ \\\Delta V = -\frac{\lambda }{{2\pi \varepsilon _0 }}\ln \left( {\frac{{r_f }}{{r_i }}} \right)</tex>

No se pude tomar como referencia al infinito el problema diverge, como en cualquier distribución infinita. ¿Cómo hago para alejarme “infinitamente” de algo “infinito”?. Si reemplazo ri por infinito queda un ln 0 —> diverge.

<tex>(b) \\ \\\Delta V = \frac{\sigma }{{2\varepsilon _0 }}\left( {z_i - z_f } \right)</tex>

Tampoco se puede tomar como referencia al infinito.

<tex>(c) \\ \\\Delta V = \frac{{\rho R^3 }}{{3\varepsilon _0 }}\left( {\frac{1}{{r_f }} - \frac{1}{{r_i }}} \right)</tex>

Sí se puede tomar al infinito como referencia.

<tex>(d) \\ \\</tex>

COMPLETAR

<tex>(e) \\ \\</tex>

COMPLETAR

<tex>(f) \\ \\</tex>

COMPLETAR

<tex>(g) \\ \\</tex>

COMPLETAR

Ejercicio 14

Entre los dos planos: <tex>E = 0</tex>

Izquierda del plano izquierdo: <tex>\overline E = \frac{\sigma }{{\varepsilon _0 }}( - \hat x)</tex>

Derecha del plano derecho: <tex>\overline E = \frac{\sigma }{{\varepsilon _0 }}( \hat x)</tex>

Para el potencial lo mejor es tomar como referencia alguno de los 2 planos e integrar….

<tex>(b) \\ \\</tex>

Entre los dos planos: <tex>\overline E = \frac{\sigma }{{\varepsilon _0 }}( \hat x)</tex>

Fuera de los dos planos: <tex>E = 0</tex>

Ejercicio 15

<tex>(a) \\ \\\Delta V = \frac{{\lambda R}}{{2\varepsilon _0 }}\left[ {\frac{1}{{\sqrt {R^2 + z_f^2 } }} - \frac{1}{{\sqrt {R^2 + } z_i^2 }}} \right]</tex>

<tex>(b) \\ \\</tex>

Por definición, el gradiente de una función potencial es igual al campo vectorial:

<tex>\overline E = - \overline \nabla V = - \left( {\frac{{\partial V}}{{\partial x}},\frac{{\partial V}}{{\partial y}},\frac{{\partial V}}{{\partial z}}} \right)</tex>

De acuerdo al ejercicio 4 <tex>(a)</tex>:

<tex>\overline E = \left( {0,0,\frac{{\lambda zR}}{{2\varepsilon _0 \left( {R^2 + z^2 } \right)^{\frac{3}{2}} }}} \right)</tex>

Integrando, se llega al resultado de la parte <tex>(a)</tex>.

GUÍA 2

Conductores

(A partir de ahora voy a considerar que a, b, c ,d ,… son radios de menor a mayor en los ejercicios donde aparecen esferas o cilindros con varios radios)

Ejercicio 1

Aplicando la ley de Gauss con una superficie gaussiana de radio r,

-Campo:

r < R:

<tex>E = 0</tex>

r > R:

<tex>\overline E = \frac{Q}{{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{1}{{r^2 }}\hat r</tex>

-Potencial:

<tex>V(\infty ) = 0</tex>

r > R:

<tex>V(\overline r ) = \frac{Q}{{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{1}{r}</tex>

r < R:

<tex>V(\overline r ) = \frac{Q}{{4\pi \varepsilon _0 R}}</tex>

Ejercicio 2

<tex>(a)</tex>

-Campo:

r < a:

<tex>\overline E = \frac{q}{{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{1}{{r^2 }}\hat r</tex>

a < r < b:

<tex>E = 0</tex>

r > b:

<tex>\overline E = \frac{q}{{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{1}{{r^2 }}\hat r</tex>

-Potencial:

r > b:

<tex>V(\overline r ) = \frac{q}{{4\pi \varepsilon _0 r}}</tex>

a < r < b:

<tex>V(\overline r ) = \frac{q}{{4\pi \varepsilon _0 b}}</tex>

r < a:

<tex>V(\overline r ) = \frac{q}{{4\pi \varepsilon _0 b}} + \frac{q}{{4\pi \varepsilon _0 }}\left( {\frac{1}{r} - \frac{1}{a}} \right)</tex>

<tex>(b)</tex>

-Campo:

r < a:

<tex>\bar E = \frac{q}{{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{1}{{r^2 }}\hat r</tex>

a < r < b:

<tex>E = 0</tex>

r > b:

<tex>\bar E = \frac{{\left( {q + q_{cond} } \right)}}{{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{1}{{r^2 }}\hat r</tex>

-Potencial:

r > b:

<tex>V\left( {\overline r } \right) = \frac{{\left( {q + q_{cond} } \right)}}{{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{1}{r}</tex>

a < r < b:

<tex>V\left( {\overline r } \right) = \frac{{\left( {q + q_{cond} } \right)}}{{4\pi \varepsilon _0 b}}</tex>

r < a:

<tex>V\left( {\overline r } \right) = \frac{{\left( {q + q_{cond} } \right)}}{{4\pi \varepsilon _0 b}} + \frac{q}{{4\pi \varepsilon _0}}\left( {\frac{1}{r} - \frac{1}{a}} \right)</tex>

<tex>(c)</tex>

-Campo:

r < a:

<tex>\bar E = \frac{q}{{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{1}{{r^2 }}\hat r</tex>

a < r < b:

<tex>E = 0</tex>

r > b:

<tex>\bar E = \frac{q_{adentro} + q_{cascaron}}{{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{1}{{r^2 }}\hat r</tex>

-Potencial:

r > b:

<tex>V\left( {\overline r } \right) = \frac{q_{adentro} + q_{cascaron}}{{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{1}{r}</tex>

a < r < b:

<tex>V\left( {\overline r } \right) = 10 V</tex>

r < a:

<tex>V\left( {\overline r } \right) = 10V + \frac{q_{adentro}}{{4\pi \varepsilon _0}}\left( {\frac{1}{r} - \frac{1}{a}} \right)</tex>

Ejercicio 3

<tex> \sigma _1 = \frac{{(Q + \sigma A)}}{{2A}} \\ \sigma _2 = \sigma _1 - \sigma \\ </tex>

Ejercicio 4

<tex>(a)</tex>

En la cáscara el potencial respecto de tierra (infinito) es:

<tex>V\left( {\overline r } \right) = \frac{q}{{4\pi \varepsilon _0 c}} > 0</tex>

<tex>(b) \\ \\\sigma _a = \frac{{ - Q}}{{4\pi a^2 \left( {\frac{c}{b} - \frac{c}{a}} \right)}}</tex>

<tex>\sigma _b = \frac{Q}{{4\pi b^2 \left( {\frac{c}{b} - \frac{c}{a}} \right)}}</tex>

<tex>\sigma _c = \frac{Q}{{4\pi c^2 }}</tex>

Ejercicio 5

<tex>(a)</tex>

-Campo:

r < a:

<tex>E = 0</tex>

<tex>Q_{enc} = 0</tex>

a < r < b:

<tex>Q_a = 0 \to \sigma _a = 0</tex>

(Porque el conductor está aislado)

<tex>E = 0</tex>

b < r < c:

<tex>E = 0</tex>

<tex>Q_a + Q_b = 0 \to Q_b = 0 \to \sigma _b = 0</tex>

r > c:

<tex>\overline E = \frac{Q}{{4\pi \varepsilon _0 }}\frac{1}{{r^2 }}\hat r</tex>

<tex>Q_c = Q \to</tex> <tex>\sigma _c = \frac{Q}{{4\pi c^2 }}</tex>

-Potencial:

r > c:

<tex>V(\overline r ) = \frac{Q}{{4\pi \varepsilon _0 r}} = \frac{{V_0 c}}{r}</tex>

b < r < c:

<tex>V(\overline r ) = \frac{Q}{{4\pi \varepsilon _0 c}} = V_0 </tex>

a < r < b:

<tex>V(\overline r ) = V_0 </tex>

r < a:

<tex>V(\overline r ) = V_0 </tex>

<tex>(b)</tex>

Ahora la diferencia de potencial entre la superficie a y el infinito es 0. Y lo mejor sería tomar como referencia al infinito, entonces el potencial en a sería 0. Ahora también la carga en la superficie a es incógnita.

COMPLETAR

Dieléctricos

Ejercicio 6

La condición que debe cumplirse, cosa que ocurre en la mayoría de los materiales lineales e isótropos, es la siguiente:

<tex>\vec P = \varepsilon _0 \chi \vec E_{ext}</tex>

Ejercicio 7

Sabiendo que el campo es uniforme, solo queda trabajar con las diferencias de potencial y las condiciones de frontera.

<tex>E_2 = 1000 N/C \ \hat i + 943,4 N/C \ \hat j \\E_1 = 1000 N/C \ \hat i + 528,3 N/C \ \hat j</tex>

Para D y P se usarían las fórmulas habituales….

Ejercicio 8

<tex>(a) </tex>

Campo:

<tex>\overline E = \frac{{Qr}}{{4\pi \varepsilon R^3 }}\hat r</tex> para r < R

<tex>\overline E = \frac{Q}{{4\pi \varepsilon _0 r^2 }}\hat r{\rm{ }}</tex> para r > R

Potencial:

<tex> V(\infty ) = 0 \\ \\ V(r) = \frac{Q}{{4\pi \varepsilon _0 r}} \\ </tex> para r > R

<tex>V(r) = \frac{Q}{{4\pi \varepsilon _0 R}} - \frac{Q}{{4\pi \varepsilon R^3 }}\left[ {\frac{{r^2 }}{2} - \frac{{R^2 }}{2}} \right]</tex> para r < R

<tex>(b) \\ \\\sigma _P (r = R) = \frac{{Q}}{{4\pi \varepsilon R^2 }} \ (1 - \frac{\varepsilon _0}{\varepsilon})</tex>

<tex>\rho _P = - \frac{Q}{{\frac{4}{3}\pi R^3 }} \ (1 - \frac{\varepsilon _0}{\varepsilon})</tex>

<tex>\rho _L = \frac{Q}{{\frac{4}{3}\pi R^3 }}</tex>

<tex>\sigma _L = 0</tex>

<tex>(c) \\ \\u = \frac{{Q^2 }}{{32\pi ^2 \varepsilon _0 }}\frac{1}{{r^4 }} + \frac{{Q^2 }}{{32\pi ^2 \varepsilon R^6 }}r^2 \\ \\U = \frac{{Q^2 }}{{16\pi ^2 \varepsilon _0 R}} + \frac{{Q^2 }}{{80\pi \varepsilon R}}</tex>

<tex>(d) \\ \\ Q_P^V = \frac{{ - Q(\varepsilon - \varepsilon _0 )}}{\varepsilon } \\ Q_P^S = \frac{{Q(\varepsilon - \varepsilon _0 )}}{\varepsilon } \\ </tex>

<tex>Q_{P,TOTAL} = 0</tex>

Esto debía dar justamente cero, porque un material dieléctrico sin carga libre es (naturalmente) eléctricamente neutro, y al polarizarse con un campo externo las cargas polarizadas no se desprenden del material, entonces el material sigue siendo neutro, pero con un nuevo campo interno que se opone al externo debido a la forma en que se polarizan sus cargas. Por eso, siempre la carga de polarización total debe dar cero.

hasta aquí llegamos por ahora… estás invitado a seguirlo ;-)