Análisis Matemático III - Curso Ing. Murmis

1999 - 2do cuatrimestre - 1er Parcial - 3ra oportunidad - 20/12/1999

P1) Resolver $<tex>\nabla ^2 \Phi = 0</tex>$ en D y encontrar $<tex>\Phi (1,1)</tex>$
P2) Si $<tex>u(x,y)</tex>$ es armónica, hallar su conjugada: $<tex>u(x,y) = \frac {2}{\pi}arctg \frac{1-x^2-y^2}{2y}</tex>$
P3) Analizar convergencia y calcular $<tex>\int_{0}^{+\infty}\frac{dx}{x^2+x+1}</tex>$
Ayuda: usar $<tex>\oint\frac{\ln z}{z^2+z+1}dz</tex>$
T1) Demostrar si es verdadero o falso:
$<tex>f(z)=\sum_{n=-2}^{+\infty}a_n(z-z_0)^n \mbox{ } \land \mbox{ } \gamma_r : z = z_0 + re^{i\varphi} </tex>$ ⇒ $<tex>\lim_{r \to 0}\int_{\gamma_r}f(z)dz=a_{-2}</tex>$ $<tex>\varphi \in [0,\alpha] ; \alpha , 2\pi</tex>$
T2) Analizar: $<tex>\lim_{z \to z_0} f(z)=\infty </tex>$ ⇒ $<tex>z_0 \in </tex>$ polo de $<tex>f(z)</tex>$
T3) Analizar: $<tex>\int_{1}^{+\infty}\frac{|\cos x|}{x}dx \in DV</tex>$