Análisis Matemático III - Curso Ing. Murmis

2001 - 2do cuatrimestre - Evaluación integradora - 3a oportunidad

P1) Calcular $<tex> \lim_{z\rightarrow\ 0} (\frac{\sin z}{z})^{(1/z^2)}</tex>$
P2) Resolver $<tex> \left. \begin{array}{ll} u_{xx} = u_{t} \\ x \in [0,1] \end{array} \right.</tex>$ $<tex> \left\{ \begin{array}{ll}u(x,0) = x\\u(0,t) = 1\\u_x (1,t) = 1\\\end{array} \right. </tex>$
P3) Dada $<tex>F(w) = \frac{\sin 3w}{w}</tex>$ hallar su antitransformada de Fourier $<tex>f^*(t)</tex>$ y representarla gráficamente.
T1) Analizar cuántos resultados distintos tiene la integral $<tex>\int_{-1}^{1} \frac{dz}{z} </tex>$ y calcularlos.
T2) Demostrar $<tex> \lim_{z\rightarrow\infty} z.f(z) = 0</tex>$ ⇒ $<tex> \left\{ \begin{array}{cc} \lim_{R\rightarrow\infty} \oint_{\Gamma_R}f(z)dz = 0\\ \Gamma_R: z = Re^{i\phi} ; \phi \in (0,2\pi] \\\end{array} \right. </tex>$

T3) Demostrar: $<tex>H) y'' + py'+ qy = 0</tex>$ $<tex> \left. \begin{array}{lll} y_1 = x^{r_1} H_1(x) & H_1 \in H/V_0 \\ y_2 = x^{r_2} H_1(x) & H_2 \in H/V_0 \\\end{array} \right. </tex>$
- $<tex>T)</tex>$ p(x) tiene a lo sumo polo de $<tex>1^{er}</tex>$ orden en 0.
- q(x) tiene a lo sumo polo de $<tex>2^{do}</tex>$ orden en 0.
T4) A partir de $<tex> J_v (x)</tex>$ probar que $<tex>J_n (x) = (-1)^nJ_{-n}(x)</tex>$
T5) Calcular $<tex>\int_{0}^{t} J_0(u).J_0(t-u)du</tex>$ (Ayuda: usar $<tex>\mathbf L[J_o(t)] = \frac{1}{\sqrt{p^2+1}}</tex>$ )