Análisis Matemático III - Curso Ing. Murmis

1999 - 2do cuatrimestre - 2do Parcial 1a oportunidad - 27/12/99

P1) Resolver $<tex>(1+x^3)y''+x^2y'-4xy = 0</tex>$ en $<tex>V(0)</tex>$
P2) Resolver $<tex> \left. \begin{array}{ll} u_{t} = u_{xx} \\ x \in [0,\pi] \end{array} \right.</tex>$ $<tex> \left\{ \begin{array}{ll}u(1,t) = 10 \\u(x,0) = 5 \\u_x(0,t) = 0 \\\end{array} \right. </tex>$

P3) Resolver: $<tex>\int_{0}^{+\infty}f(t)\cos wt\mbox{ } dt = \frac{1}{1+w^2}</tex>$
T1) Demostrar: $<tex>H) y'' + py'+ qy = 0</tex>$ $<tex> \left. \begin{array}{ccc} y_1 = x^{r_1} H_1(x) & H_1 \in H/V_0 \\ y_2 = x^{r_2} H_1(x) & H_2 \in H/V_0 \\\end{array} \right. </tex>$
- $<tex>T)</tex>$ p(x) tiene a lo sumo polo de $<tex>1^{er}</tex>$ orden en 0.
- q(x) tiene a lo sumo polo de $<tex>2^{do}</tex>$ orden en 0.
T2) A partir de la función generatriz de las ecuaciones de Bessel $<tex>e^{x/2(t-1/t)} </tex>$ , demostrar: $<tex> \cos (x\sin \theta)= J_0(x) + \sum_{k=1}^{+\infty}2.J_{2k}(x)\cos (2k\theta)</tex>$
T3) Demostrar: $<tex>f(t) \sqsupseteq F(p)</tex>$ ⇒ $<tex>f'(t) \sqsupseteq pF(p) - f(0^+)</tex>$ .
Generalizar para $<tex>f^{(n)}(t)</tex>$