Enunciado

  1. <tex>f(x;y)</tex> es constante en el dominio delimitado por los vértices <tex>(1;2) (2;1) (3;2)</tex>. Calcular las líneas de regresión. Explicar su significado. Graficar.
  2. La cantidad de llamadas recibidas en media hora esta dada por una fdp <tex>Bi(n=2;p=0,8)</tex>. La duración de cada llamada es una exponencial negativa de media un minuto. Si en la última media hora se recibió al menos una llamada, encontrar la fdp de la duración total de las llamadas recibidas en ese intervalo.
  3. Demostrar que si se realiza el cambio de variable <tex>y=kF(X)</tex> entonces <tex>\mu(Y) = \frac{k}{2}</tex>.
  4. En una urna se tienen 3 bolillas blancas y 4 bolillas negras. Encontrar la cantidad esperada de extracciones hasta sacar la segunda bolilla blanca si se sacan:
    1. Con reposición.
    2. Sin reposición.

Resolución

  2. Primero denominamos las variables:

X = “cantidad de llamadas recibidas en media hora”

<tex>X \sim Bi(n=2;p=0,8)</tex>

Y = “duración de cada llamada”

La media es de 1 minuto, como la media de una exponencial negativa es <tex>\frac {1}{\lambda}</tex>, entonces <tex>\lambda = 1</tex>

<tex>Y \sim Exp(\lambda = 1)</tex>

Z = “duración total de las llamadas recibidas en media hora”

<tex>Z = \sum_{\substack{0<i<X}} Y_i</tex>

Lo que nos piden es <tex>f(Z/x\ge1)</tex>

Como la suma de <tex>k</tex> variables exponenciales negativas de parámetro <tex>\lambda</tex> genera una variable Gamma de parámetros <tex>\lambda</tex> y <tex>k</tex>, tenemos que:

<tex>Z \sim Gamma(\lambda = 1, k = x)</tex>