Examen Parcial - 61.09. Probabilidad y Estadística B
- Enunciado
- Resolución
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
- Discusión

Examen Parcial - 61.09. Probabilidad y Estadística B

Cátedra: Baliña
Fecha: Primer Recuperatorio - Segundo Cuatrimestre 2006
Día: 15/11/2006
Tema: 1

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Enunciado

Sea $<tex>f(x)=U(0;1)</tex>$ . Sea $<tex> f(y/x)=U(x;x+3)</tex>$ . Hallar la media de ” $<tex>Y</tex>$ ”.
Una máquina corta un rollo de tela cuando detecta una falla. La probabilidad de detectar cada falla vale $<tex>0,95</tex>$ . Si la tasa de fallas por unidad de longitud del rollo de tela vale $<tex>0,03</tex>$ ; encontrar la función de probabilidad de la cantidad de fallas por rollo.
Determinado tipo de vehículo puede transportar hasta $<tex>12 tn</tex>$ de carga. Si se van a transportar cajas con peso de media $<tex>0,25 tn</tex>$ y desvío de $<tex>0,03 tn</tex>$ , cuántas cajas deberán colocarse por vehículo si se desea una probabilidad menor del 1% de superar la capacidad de carga del camión?
Dada $<tex>f(z)=N(0;1)</tex>$ y sabiendo que $<tex>W=|Z|</tex>$ ; encontrar el resultado numérico de $<tex>P(w>2/w>1)</tex>$ .

Resolución

Punto I

Por definición $<tex> f(x,y) = f(x)\cdot f(y/x)</tex>$

Sean

$<tex>f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{si } 0<x<1 \\ & \\0 & \forall \mbox{otro } x \end{array} \right. \qquadf(y/x) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{3} & \mbox{si } x<y<x+3 \\ & \\0 & \forall \mbox{otro } x \end{array} \right. </tex>$

Se obtiene

$<tex>f(x,y) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{3} & \mbox{si } 0<x<1 \, \wedge \, x<y<x+3\\ & \\0 & \forall \mbox{otro } x,y \end{array} \right. </tex>$

$<tex>f(y) = \int_{-\infty}^\infty f(x,y) \,dx</tex>$

$<tex>f(y) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{y}{3} & \mbox{si } 0<y<1 \\ & \\\frac{1}{3} & \mbox{si } 1<y<3 \\ & \\\frac{4-y}{3} & \mbox{si } 3<y<4 \\ & \\0 & \forall \mbox{otro } y \end{array} \right. </tex>$

$<tex>E[y] = \int_{-\infty}^\infty y f(y) \,dy = 2</tex>$

Punto II

Punto III

Para resolver este problema se supone que la cantidad de cajas es mayor a 30. Esto permite resolver el problema mediante el teorema central del límite; luego si se comprueba la hipotesis la cantidad calculada de cajas será válida.

Se debe calcular $<tex>P(X>12)<0,01</tex>$ donde $<tex>X:N(0,25n</tex>$ ; $<tex>0,03\sqrt{n})</tex>$ y $<tex>n</tex>$ es la cantidad de cajas.

$<tex>\displaystyle P(X>12) = 1 - P(X<12) = 1 - \Phi\left( \frac{12 - 0,25n}{0,03\sqrt{n}}\right) < 0,01 </tex>$

$<tex> 3,33n + 0,0999\sqrt{n} < 12 </tex>$

$<tex> n = 45 </tex>$

Punto IV

Discusión

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