Examen Parcial - 61.09. Probabilidad y Estadística B
- Enunciado
- Resolución
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
- Discusión

Examen Parcial - 61.09. Probabilidad y Estadística B

Cátedra: Baliña
Fecha: Primera Oportunidad - Segundo Cuatrimestre 2006
Día: 25/10/2006
Tema: 2

Enunciado

Sea $<tex>f(x) = x</tex>$ en $<tex>int (0;1)</tex>$ ; $<tex>f(x) = 2-x</tex>$ en $<tex>int (1;2)</tex>$ ; nula para el resto
Sea $<tex>y = 0</tex>$ si $<tex>0<x<0.5</tex>$ ; $<tex> y = -0.5 + x </tex>$ si $<tex>0.5<x>1.5</tex>$ ; $<tex>y= 1</tex>$ si $<tex>1.5<x<2</tex>$
Encontrar $<tex>E(y)</tex>$ y $<tex>V(y)</tex>$
La cantidad X de penales a favor por partido que se sancionan para determinado equipo tiene distribución $<tex>Bi (2; 0.05)</tex>$ . El DT ha decidido mantener al mismo ejecutante de penales hasta que falle. En ese caso designa a un nuevo ejecutante, reemplazándolo cuando falle y así sucesivamente. La probabilidad de que un jugador (cualquiera) falle un penal vale $<tex>0.20</tex>$ . Si el próximo torneo tiene 19 partidos cual es la probabilidad de que al finalizar el mismo, el DT haya cambiado al menos 1 vez al ejecutatne de penales?
Sea $<tex>f(x;y)</tex>$ constante en el recinto limitado por los vertices de coordenadas $<tex>(1;1);(1;2);(2;3)</tex>$
Encontrar la $<tex>f(w)</tex>$ si $<tex>w = 2x - y</tex>$
La cantidad de personas que suben a un ascensor en PB teine distribución $<tex>Bi (5;0.8)</tex>$ . El peso en Kg de cada persona tiene distribución Gamma con $<tex>\lambda = 0.15</tex>$ y $<tex>k = 9</tex>$ . Si se sabe que el ascensor salio de PB llevando un peso inferior a 200Kg, cual es la probabilidad de que hayan subido menos de 4 personas?

$<tex>f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} x & 0<x<1 \\ 2-x & 1<x<2 \\ 0 & \forall \mbox{ otro } x \\\end{array} \right.</tex>$
$<tex>y(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & 0<x<0.5 \\ -0.5 + x & 0.5<x<1.5 \\ 1 & 1.5<x<2 \\\end{array} \right.</tex>$
Primero voy a hallar el comportamiento de la funcion $<tex>\frac{dy}{dx}</tex>$
$<tex>\frac{dy}{dx} = \left\{ \begin{array}{ll} 0 & 0<x<0.5 \\ 1 & 0.5<x<1.5 \\ 0 & 1.5<x<2 \\\end{array} \right.</tex>$
Los puntos que dividen ramas de $<tex>f(x)</tex>$ son $<tex>0; 1; 2</tex>$
Los puntos que dividen ramas de $<tex>y(x)</tex>$ son $<tex>0; 0.5; 1.5; 2</tex>$
Por lo tanto tendré que analizar por separado los intervalos: $<tex>(0;0.5);(0.5;1);(1;1.5);(1.5;2)</tex>$

Si $<tex>0<x<0.5</tex>$

$<tex>f(x)=x</tex>$ y $<tex>\frac{dy}{dx} = 0</tex>$
En este intervalo como la derivada tiene valor nulo, vamos a tener un punto pesado en $<tex>Y= 0</tex>$
En donde $<tex>P(Y=0)=\int_{0}^{0.5} f(x) \,dx =\int_{0}^{0.5} x \,dx = \left.\frac{x^2}{2} \right|_0^{0.5} = \frac{1}{8} </tex>$
$<tex>\Rightarrow P(Y=0) = \frac{1}{8}</tex>$ si $<tex>y=0</tex>$

Si $<tex>0.5<x<1</tex>$

$<tex>f(x)=x</tex>$ y $<tex>\frac{dy}{dx} = 1</tex>$
$<tex>f(y)= \frac{f(x)}{|\frac{dy}{dx}|} = x = y+0.5</tex>$
$<tex>\Rightarrow f(y) = y+0.5</tex>$ si $<tex>0<y<0.5</tex>$

Si $<tex>1<x<1.5</tex>$

$<tex>f(x)=2-x</tex>$ y $<tex>\frac{dy}{dx} = 1</tex>$
$<tex>f(y)= \frac{f(x)}{|\frac{dy}{dx}|} = 2-x = 2-(y+0.5)</tex>$
$<tex>\Rightarrow f(y) = 1.5-y</tex>$ si $<tex>0.5<y<1</tex>$

Si $<tex>1.5<x<2</tex>$

$<tex>f(x)=2- x</tex>$ y $<tex>\frac{dy}{dx} = 0</tex>$
En este intervalo como la derivada tiene valor nulo, vamos a tener un punto pesado en $<tex>Y= 1</tex>$
En donde $<tex>P(Y=1)=\int_{1.5}^{2} f(x) \,dx =\int_{1.5}^{2} 2-x \,dx = \left.2x-\frac{x^2}{2} \right|_{1.5}^{2} = \frac{1}{8} </tex>$
$<tex>\Rightarrow P(Y=1) = \frac{1}{8}</tex>$ si $<tex>y=1</tex>$
Por lo tanto la distribucion de $<tex>Y</tex>$ quedaría:
$<tex>f(y) = \left\{ \begin{array}{ll} y+0.5 & 0<y<0.5 \\ 1.5-y & 0.5<y<1 \\ 0 & \forall \mbox{ otro } y \\\end{array} \right.</tex>$
$<tex>P(Y) = \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{8} & y=0 \\\frac{1}{8} & y=1 \\ 0 & \forall \mbox{ otro } y \\\end{array} \right.</tex>$
Entonces ya quedo todo preparado para calcular lo pedido en el enunciado
$<tex>E(Y)=0\times\frac{1}{8} + 1\times\frac{1}{8}+\int_{0}^{0.5} y\times(y+0.5) \,dy + \int_{0.5}^{1} y\times(1.5-y) \,dy </tex>$
$<tex>E(Y)=\frac{1}{8}+\int_{0}^{0.5} (y^2+\frac{1}{2}y) \,dy + \int_{0.5}^{1} (\frac{3}{2}y -y^2) \,dy </tex>$
$<tex>\Rightarrow E(Y) = \frac{1}{2}</tex>$
Luego:
$<tex>V(Y) = E(y^2)-E(y)^2</tex>$
En donde: $<tex>E(y^2)=\frac{1}{8}+\int_{0}^{0.5} (y^3+\frac{1}{2}y^2) \,dy + \int_{0.5}^{1} (\frac{3}{2}y^2 -y^3) \,dy </tex>$
… $<tex>E(y^2)=\frac{33}{64}</tex>$
Asi lo que nos queda es: $<tex>V(Y) = \frac{33}{64}-(\frac{1}{2})^2</tex>$
$<tex>\Rightarrow V(Y) = \frac{17}{64}</tex>$

Punto II

Me están pidiendo la probabilidad de que haya cambiado al menos una vez al ejecutante. Esto lo puedo pensar como $<tex>1 - P(A)</tex>$ en donde $<tex>A = </tex>$ “no cambiar de ejecutante“
Para que no cambie nunca en los 19 partidos, el ejecutante tiene que haber marcado todos los penales a favor.
Planteo una nueva distribucion $<tex>Bi(n'; p')</tex>$ en donde $<tex>n' = 19 \times 2 = 38</tex>$ y $<tex>p' = 0.05 \times 0.2 = 0.01</tex>$ ; esto ultimo sale de la probabilidad de que haya un penal y que lo falle
Por lo tanto la distribucion queda: $<tex>Bi(38; 0.01)</tex>$
Como habia pedido antes… calculo $<tex>P(Y=0)</tex>$ utilizando la distribucion antes dada
$<tex>P(Y=0) = 0.68 </tex>$ Esta sera la probabilidad de que en todo el torneo se conviertan todos los penales
$<tex>1- P(Y=0) = 0.32</tex>$
La probabiliada de que al finalizar el torneo, el mismo DT haya cambiado al menos 1 ve al ejecutatnte de penales es igual a 32%