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Examen Parcial - 61.09. Probabilidad y Estadística B

Cátedra: Baliña
Fecha: Primer Oportunidad - Segundo Cuatrimestre 2003
Día: 31/10/2003

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Enunciado

Punto I

El control de recepción de una pieza, que se recibe en cajas de 10 unidades, consiste en elegir 2 piezas de cada caja y rechazar la misma si alguna es defectuosa. El proveedor colocó en cada caja un número de unidades defectuosas que depende del resultado de arrojar un dado como sigue:

<tex>\left\{ \begin{array}{ll} 2 & \mbox{ si es par.} \\ 4 & \mbox{ si es impar.}\end{array} \right.</tex>

  1. Hallar la Función de Distribución del número de piezas defectuosas que hay en una caja.
  2. Calcular el porcentaje de cajas rechazadas.

Punto II

Sean

<tex>\left\{ \begin{array}{ll} X & \mbox{ un numero al azar, } X \in [0,1] \\ Y & \mbox{ un numero al azar, } Y \in [0,X]\end{array} \right.</tex>

Calcular la Función de Densidad Incondicional de Y, y su Valor Esperado

Punto III

Un proceso consiste en realizar 4 operaciones. La 1 y la 2 comienzan simultáneamente. Cuando ambas terminan, y tras un día de espera, comienzan la 3 y la 4. Expresar la probabilidad de que el tiempo total de ejecución no supere los 10 días.

Resolución

Punto I

  1. Para hallar la función de distribución se calcula cuál es la probabilidad de que halla 2 o 4 piezas defectuosas en cada caja. La probabilidad de que salga cualquier número del dado es <tex>\frac{1}{6}</tex>. Entonces, la probabilidad de que obtener un número impar equivale a la probabilidad de que salga el 1 o el 3 o el 5 <tex>\Rightarrow P(1)+P(3)+P(5)\underbrace{=}_{\mbox{(*)}}\frac{1}{6}+\frac{1}{6}+\frac{1}{6}=\frac{1}{2}</tex>.

    (*) Sucesos Disjuntos.

    Para el caso de los pares se procede de la misma manera. Por lo tanto:<tex> P(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{2} & \mbox{ si } x=2 \\ & \\ \frac{1}{2} & \mbox{ si } x=4 \end{array} \right.</tex>

  2. Un caja se rechaza cuando la primer o segunda pieza que se saca, de dicha caja, es defectuosa. Vale alcarar que en el caso de ser rechazada en segunda instancia, la primer pieza obtenida es NO defectuosa; de otra forma la caja ya habría sido descartada. Para la resolución del inciso se proponen los sucesos:<tex>x_1 =</tex> primer pieza es defectuosa y <tex>x_2 =</tex> segunda pieza es defectuosa. Entonces, la probabilidad a calcular se puede expresar de la siguiente manera: <tex>P\left(x_1 \cup x_2 \cap \bar{x_1}\right)</tex>

<tex>\Rightarrow P\left(x_1 \cup x_2 \cap \bar{x}_1\right)=P(x_1)+P(x_2 \cap \bar{x}_1)=P(x_1)+P\left(\frac{x_2}{\bar{x}_1}\right)P(\bar{x}_1)</tex>

Para continuar con el ejercicio se definen dos sucesos más: <tex>2=</tex> 2 defectuosas en la caja, y <tex>4=</tex> 4 defectuosas en la caja.

<tex>\Rightarrow P(x_1)=P(x_1\cap E)= P(x_1\cap (2\cup 4))= P(x_1\cap 2)+P(x_1\cap 4)=</tex> <tex>\qquad P\left(\frac{x_1}{2}\right)P(2)+P\left(\frac{x_1}{4}\right)P(4)</tex>

<tex>\Rightarrow P(x_1)=\frac{2}{10}\frac{1}{2}+\frac{4}{10}\frac{1}{2}=\frac{3}{10}</tex>

Para calcular <tex>P\left(\frac{x_2}{\bar{x}_1}\right)</tex> se procede de la misma manera. Sin embargo para este caso se debe tener en cuenta que ya se retiró una pieza sana de la caja.

<tex>\Rightarrow P\left(\frac{x_2}{\bar{x}_1}\right)=\frac{2}{9}\frac{1}{2}+\frac{4}{9}\frac{1}{2}=\frac{1}{3}</tex>

<tex>\Rightarrow P(x_1)=P(x_1)+P\left(\frac{x_2}{\bar{x}_1}\right)P(\bar{x}_1)= \frac{3}{10}+\frac{1}{3}\frac{7}{10}=\frac{16}{30}</tex>

Porcentaje de cajas rechazadas: <tex>53.3</tex>

Punto II

<tex> f\left(\frac{y}{x}\right)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{x} & 0<y<x\\ & \\ 0 & \forall \mbox{ otro } y \end{array} \right.</tex>

<tex> f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} 1 & 0<x<1\\ 0 & \forall \mbox{ otro } x \end{array} \right.</tex>

<tex> f(x,y)=f\left(\frac{y}{x}\right)f(x)=\left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{x} & 0<x<1 \wedge 0<y<x\\ & \\ 0 & \forall \mbox{ otro } x,y \end{array} \right.</tex>

<tex>f(y)=\int f(x,y)\,dx= \int_y^1 \frac{1}{x} \, dx = -\ln (y)</tex>

<tex> f(y)=\left\{ \begin{array}{ll} -\ln(y) & 0<y<1\\ 0 & \forall \mbox{ otro } y \end{array} \right.</tex>

Punto III

Discusión

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