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61.09. Probabilidad y Estadística B - Guía de Ejercicios Marzo 2006 - 1. Teoría de Probabilidad

Ejercicio 17

Enunciado

Una nave no tripulada se dirige al planeta Venus y tiene una probabilidad 0,7 de descender satisfactoriamente. A su vez, el sistema monitor da la información correcta con probabilidad 0,9 (sea o no satisfactorio el descenso). En la prueba, el monitor informó que el descenso era correcto. ¿Cuál es la probabilidad de que realmente lo haya sido?

Resolución

<tex>c</tex>: descendió correctamente.
<tex>\overline{c}</tex>: descendió incorrectamente.
<tex>dc</tex>: Se informó correctamente el descenso.
<tex>\overline{dc}</tex>: Se informó incorrectamente el descenso.
<tex>E</tex>: Espacio muestral.

La incognita del problema es: <tex>P\left( \frac{c}{dc}\right)</tex>

Se sabe que:

<tex>P \left( \frac{c}{dc} \right) = \frac{ P(c \cap dc) }{ P(dc) } = \frac{ P(c \cap dc) }{ P(dc \cap E) } = \frac{ P(c \cap dc)}{ P( dc \cap (c \cup \overline{c})) } = \frac{ P(c \cap dc) }{ P(dc \cap c) + P(dc \cap \overline{c}) }</tex>

Lo que queda ahora planteado es el teorema de Bayes:

<tex>P \left( \frac{c}{dc} \right) = \frac{ P\left( \frac{dc}{c}\right)P(c)}{ P\left( \frac{dc}{c}\right)+ P\left( \frac{dc}{\bar{c}}\right)P(\bar{c})} = \frac{0,9 \times 0,7}{0,9 \times 0,7 + 0,1 \times 0,3}= 0,9 \hat{45}</tex>

Con esto, la probabilidad de que realmente haya sido correcto el descenso es de <tex>94.\hat{54} \%</tex>