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Examen Parcial - 61.08. Álgebra II

Cátedra: Todas
Fecha: Primera Oportunidad - Primer Cuatrimestre 2013
Día: 18/05/2013

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Enunciado

  1. Determinar si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas (con demostración o contraejemplo respectivamente):
    1. Si <tex>A=\{u_1,u_2,...,u_k\}</tex> y <tex>B=\{v_1,v_2,...,v_k\}</tex> son dos conjuntos incluidos en un espacio vectorial <tex>V</tex> <tex>\Rightarrow gen(A \cap B) = gen(A) \cap gen(B)</tex>.
    2. Sean <tex>V</tex> y <tex>W</tex> <tex>\mathbf{R}</tex>-espacios vectoriales, <tex>T_1: V \to W</tex> y <tex>T_2:V \to W</tex> transformaciones lineales. Si <tex>Nu (T_1) = Nu(T_2)</tex> e <tex>Im(T_1) = Im(T_2) \Rightarrow T_1 = T_2</tex>.
  2. Sea <tex>T \in \mathcal{L}(P_2, \mathbf{R}^4): [T]_{BC} = \begin{pmatrix}1 & k & 0\\ 0 & 1 & k+2\\ -1 & 0 & -1 \end{pmatrix}</tex> con <tex>C=\left \lbrace\begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}-1\\0\\1\end{pmatrix},\begin{pmatrix}0\\1\\1\end{pmatrix}\right \rbrace</tex> base de <tex>\mathbf{R}^4</tex> y <tex>B=\{1,1+t,1+t^2\}</tex> base de <tex>P_2</tex>.
    1. ¿Es posible hallar <tex>k \in \mathbf{R}</tex> de modo que existan <tex>p,q \in P_2</tex> tales que <tex>p \neq q</tex> y <tex>T(p) = T(q)= (1\; 0\; -1)^t</tex>?
  3. Sea <tex>B=\{v_1,v_2\}</tex> base de un espacio vectorial real <tex>V</tex> con producto interno <tex>(\cdot,\cdot)</tex>. Sean <tex>(v_1, 2v_2)=\left \| v_2 \right \|^2 = \left \| v_1 \right \|^2 = 3</tex> y <tex>S=gen \{v_1 -v_2\}</tex>.
    1. Calcular la distancia de <tex>w=3v_1 + 3v_2</tex> al subespacio <tex>S</tex>
    2. Calcular la matriz del producto interno en base <tex>B^\ast=\{v_1+v_2, v_1-v_2\}</tex>.
  4. Sean <tex>A=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 2\\ 1 & 0 & 1 & 2\end{pmatrix}</tex> y <tex>B \in \mathbf{R}^{4\times 2}</tex> una matriz de rango <tex>1</tex> tales que <tex>Col(B)\subseteq Nul(A)</tex> y el vector <tex>(1\; 0\; 0\; 0)^t</tex> pertenece al espacio nulo de <tex>\mathbf{B}^t</tex>.
    1. Sabiendo que <tex>\frac{4}{3} col_1 A + \frac{1}{6} col_4 A = P_{Col(A)} \begin{pmatrix}1 \\0 \\2\end{pmatrix}</tex> hallar todos los <tex>\hat{x} \in \mathbf{R}^4</tex> que minimizan <tex>\left \| A x- \begin{pmatrix}1\\0\\2\end{pmatrix} \right \|, \forall x \in \mathbf{R}^4</tex>.
  5. Sea <tex>V=\{f: \mathbf{R} \to \mathbf{R} / f(x) = a\, g_1(x) + b\, g_2(x),\, a,b \in \mathbf{R}\}</tex>, donde <tex>g_1(x) = e^x</tex> y <tex>g_2(x) = x e^x</tex>, con el producto interno <tex>(f,g)=\int_{-1}^{1} {e^{-2x} f(x) g(x) dx}</tex> Sea <tex> T \in \mathcal(V, \mathbf{R}^{2\times 2})</tex> de modo tal que: <tex>T(g_1 + g_2) = \begin{pmatrix} (g_1, g_2) & 0\\1&3\left\|g_2\right\|^2\end{pmatrix}</tex> y <tex>T(g_1 - g_2) = \begin{pmatrix} 0&(g_1, g_2)\\-\frac{3}{8}\left\|g_1+g_2\right\|^2 & -\frac{1}{2}\left\|g_1\right\|^2\end{pmatrix}</tex>
    1. Hallar el <tex>Nu(T)</tex> y la <tex>Im(T)</tex>.
    2. Elegir una BOG <tex>B_1</tex> y hallar <tex>[T]_{B_1 B_2}</tex> siendo <tex>B_2 = \left \{\begin{pmatrix} 1&0\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0&1\\0&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0&0\\1&0\end{pmatrix},\begin{pmatrix} 0&0\\0&1\end{pmatrix}\right \}</tex> base de <tex>\mathbf{R}^{2\times 2}</tex>

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