Examen Parcial - 61.08. Álgebra II
- - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV

Examen Parcial - 61.08. Álgebra II

Cátedra: Todas
Fecha: 2º Oportunidad - (2º Cuatrimestre 2006)

Punto I

(a)Definir un producto interno en $<tex>P_1</tex>$ que verifique:

$<tex>(1+2t,1)=3</tex>$ , $<tex>(gen \{4-t\})^\perp = gen \{1-3t \}</tex>$ y $<tex>\|2+t\|= \sqrt {11}</tex>$ .

(b) Sea $<tex>T \in \mathcal{L} (P_1)</tex>$ , definida por $<tex>T(p)= P_Sp+2P_{S^ \perp}p</tex>$ , donde $<tex>S=gen \{-1+3t\}</tex>$ y el producto interno que se considera es el definido en (a). Hallar todos los $<tex>p \in P_1</tex>$ que satisfacen la condición: $<tex>\|T(p)\|=\|p\|</tex>$ .

Punto II

(a) Sean $<tex>A \in R^{mx4}</tex>$ y $<tex>B \in R^{3xm}</tex>$ tales que $<tex>rg(A)=2</tex>$ y $<tex>BA= \left[ \begin{array}{cccc} 1 & 1 & 0 & 1\\2 & 0 & 1 & 2\\1 & 1 & 0 & 1\\ \end{array} \right]</tex>$ . Hallar las matrices de proyección sobre el $<tex>Nul(A)</tex>$ y $<tex>Fil(A)</tex>$ .

(b) Sea $<tex>T: R^3 \to R^2</tex>$ definida de la siguiente manera: $<tex>T(u)= \breve x</tex>$ con $<tex>\breve x</tex>$ la única solución por cuadrados mínimos de la ecuación $<tex>Ax=u</tex>$ , donde $<tex>A^T= \left[ \begin{array}{ccc} 1 & 1 & -1\\1 & 1 & 1 \\ \end{array} \right]</tex>$ . Probar que T es una transformación lineal y hallar la representación matricial de T en las bases canónicas.

Punto III

Sea $<tex>f \in \mathcal{L} (P_2,P_3)</tex>$ tal que $<tex>[f]_{BB'}= \left[ \begin{array}{ccc} \alpha & 1 & \alpha +1\\\alpha & 1 & 0 \\0 & 0 & 1 \\2 \alpha & 2 \alpha & \alpha \\ \end{array} \right]</tex>$ con $<tex>B= \{1;t;t^2\}</tex>$ y $<tex>B'= \{1;t;t^2;t^3\}</tex>$ .

(a) Hallar los valores de $<tex>\alpha \in R</tex>$ para los que existen $<tex>p,q \in P_2</tex>$ con $<tex>p \not= q</tex>$ y $<tex>f(p)=f(q)=(\alpha -1)t^2 + (2 \alpha -2)t^3</tex>$ .

(b) Para $<tex>\alpha =1</tex>$ , hallar un subespacio $<tex>S</tex>$ de $<tex>P_2</tex>$ tal que la suma de $<tex>S</tex>$ con $<tex>Nu(f)</tex>$ sea directa y $<tex>f(s)=Im(f)</tex>$ .