Examen Parcial - 61.08. Álgebra II A - 29 de Octubre de 2005
- Enunciado
  - Punto I
  - Punto II
  - Punto III
  - Punto IV
- Resolución
- Discusión

Examen Parcial - 61.08. Álgebra II A - 29 de Octubre de 2005

Cátedra: Indistinta
Fecha: 1° Oportunidad - 2° Cuatrimestre 2005
Día: 29/10/2005
Tema: 2.

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Enunciado

Punto I

a)

Demostrar que $<tex>\left( a_0+a_1t+a_2t^2,b_0+b_1t+b_2t^2 \right) = 2a_0b_0 + a_0b_1 + a_1b_0 +a_1b_1 + a_2b_2</tex>$ es producto interno en $<tex>\mathcal{P}_2</tex>$ .

Sean $<tex>\mathcal{S} = \left\{ p \in \mathcal{P}_1 : p(1)=0 \land p(-1)=0 \right\}</tex>$ y $<tex>\mathcal{W} = gen \left\{ 1, t, t^2 \right\}</tex>$ . Hallar todos los $<tex>q \in \mathcal{W}</tex>$ tales que $<tex> \mathrm{d} \left( d, \mathcal{S} \right) = \left\| q \right\|</tex>$ , considerando el PI definido en (a).

Punto II

a)

Sean $<tex>A \in \mathbf{R}^{n\times n}</tex>$ una matriz de proyección y $<tex>b \in \mathbf{R}^n</tex>$ . Probar que si $<tex>\hat{x} \in \mathbf{R}^n</tex>$ es solución por cuadrados mínimos de $<tex>Ax=b</tex>$ entonces $<tex>b-\hat{x} \perp \mathrm{Col}(A)</tex>$ .

b)

Sea $<tex>B= \left\{ v_1 ; v_2; v_3 \right\}</tex>$ base de un espacio vectorial $<tex>V</tex>$ y sea $<tex>T \in \mathcal{L} \left( V, \mathbf{R}^3 \right)</tex>$ definida por $<tex>T\left( v_1+v_2+v_3 \right) = \left( \begin{array}{c} 1\\1\\1\\ \end{array} \right)</tex>$ , $<tex>T(v_1 -v_2+v_3) = \left( \begin{array}{c} 1\\1\\-1\\ \end{array} \right)</tex>$ , $<tex>T(v_1-v_3)=\left( \begin{array}{c} 5\\5\\1\\ \end{array} \right)</tex>$ . Justificar la existencia y unicidad de $<tex>T</tex>$ hallar todos los $<tex>v \in V</tex>$ que minimizan $<tex>\left\| w-T(v) \right\|</tex>$ con $<tex>w=\left( \begin{array}{c} 1\\-1\\0 \end{array} \right)</tex>$ . (Considere el PI canónico en $<tex>\mathbf{R}^3</tex>$ ).

Punto III

Sea $<tex> T \in \mathcal{L} \left( \mathbf{R}^{2\times2} \right)</tex>$ definida por $<tex>T \left( X \right) = XN-MX</tex>$ con $<tex>N= \left[ \begin{array}{rr} 0 & 0\\ 0 & 1 \end{array} \right]</tex>$ y $<tex>M = \left[ \begin{array}{rr} \alpha & -1\\ -1 & \alpha \end{array} \right]</tex>$ .

a)

Hallar todos los valores de $<tex>\alpha</tex>$ para los cuales $<tex>T</tex>$ es biyectiva.

b)

Considerando $<tex>\alpha=-1</tex>$ , defina transformaciones lineales $<tex>S \in \mathcal{L} \left( \mathbf{R}^3, \mathbf{R}^{2\times2} \right)</tex>$ y $<tex>R \in \mathcal{L} \left( \mathbf{R}^{2\times2}, \mathbf{R}^3 \right)</tex>$ tales que $<tex>R \circ T \circ S = I</tex>$ donde $<tex>I</tex>$ es la transformación identidad en $<tex>\mathbf{R}^3</tex>$