Examen (Parcial) - 61.07. Matemática Discreta

Cátedra: Todas
Fecha: 1er Oportunidad - (1er Cuatrimestre) 2009
Día: 16/05/2009

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Enunciado

1 Sea $<tex>T</tex>$ la relación definida en $<tex>R^2 - \lbrace (0,0) \rbrace</tex>$ por $<tex> (x,y)T(s,t) \Longleftrightarrow xt = ys </tex>$ .

a) Probar que $<tex>T</tex>$ es una relación de equivalencia.
b) Caracterizar geométricamente las clases de $<tex>T</tex>$ .
c) Si la anterior relación se define en $<tex>R^2</tex>$ , ¿es una relación de equivalencia? ¿Por qué?

2 Sea $<tex> \beta </tex>$ un álgebra de Boole con exactamente $<tex>n</tex>$ átomos que son $<tex> a_1,...,a_n </tex>$ .

a) ¿Cuántas soluciones tiene el siguiente sistema?

$<tex>\left\{ \begin{array}{l}xy = z\\xz = y\\yz = x\\\end{array} \right.</tex>$

b) Si $<tex>a \in \beta </tex>$ es tal que: $<tex> \forall (x \in \beta \Rightarrow (ax = 0 \vee ax= a))</tex>$ , entonces $<tex>(a</tex>$ es un átomo $<tex> \vee \mbox{ }a=0) </tex>$ .
c) Probar: $<tex> 1 = a_1 + ... + a_n </tex>$ .

3 Teniendo en cuenta que todo punto de $<tex>R^2 - \lbrace (0,0) \rbrace</tex>$ se escribe en forma única:

$<tex> (x,y)= r(\cos(\varphi), \sin(\varphi))</tex>$ con $<tex> || (x,y) || = r > 0</tex>$ y $<tex> 0 \le \varphi < 2\pi </tex>$ , se define la siguiente relación en $<tex>R^2</tex>$ :

Si $<tex> (x,y) \ne (0,0) </tex>$ , $<tex> (x,y) = || (x,y) || (\cos(\varphi), \sin(\varphi))</tex>$ y si $<tex> (s,t) \ne (0,0) </tex>$ , $<tex> (s,t) = || (s,t) || (\cos(\theta), \sin(\theta))</tex>$ :

$<tex> (x,y)S(s,t) \Longleftrightarrow ( || (x,y) || < , || (s,t) || ) \lor ( || (x,y) || = || (s,t) || \ne 0 \land \varphi \le \theta ) \lor ((x,y) = (s,t) = (0,0)) </tex>$

a) Probar que $<tex>S</tex>$ es una relación de orden.
b) Probar que es un orden total.
c) ¿Existe un mínimo de $<tex>R^2</tex>$ ?

4 Sea $<tex> 4a_{n+2} + \alpha a_{n+1} + \beta a_n = h(n) </tex>$ con $<tex> 0 \le n </tex>$ una relación de recurrencia de segundo orden con coeficientes constantes .

Sabiendo que $<tex> (a_n) = ( 1 - 2n + 4 \cdot 2^{n-1}</tex>$ y $<tex> (b_n) = (2^{n+1}) </tex>$ son soluciones de la ecuación dada, determine $<tex> \alpha, \beta</tex>$ y $<tex> h(n) </tex>$ .

a) Sean $<tex>p(n) : \mbox{n es primo}</tex>$ y $<tex>q(n) : \mbox{n es par}</tex>$ definidas en $<tex> \mathbf N </tex>$ .

Determinar cuales de las siguientes proposiciones son verdaderas o falsas. Justificar la respuesta.

$<tex> P_1: (\exists m \in \mathbf N ) (\forall n \in \mathbf N ) (q(n) \land p(n + m)) </tex>$

$<tex> P_2: (\forall n \in \mathbf N ) (\exists m \in \mathbf N ) (\neg q(n) \rightarrow q(n + m)) </tex>$

b) $<tex>(\forall n \in \mathbf N) (\mathop{\sum}_{i = 1}^{n} \frac {(i!)^2}{(i - 1)!} = (n+1)! - 1) </tex>$