Exámen Coloquio - 61.07 Matemática Discreta
Fecha: 22 de julio, 2014
Enunciado
Resolución
Resolución Alternativa
Ejercicio 1
a)
Por ser reflexiva R, se cumple que:
por reflexión.
por simetría.
por transitividad.
Tenemos que probar ![<tex>[a]=\{x\in A : xRa\}=\{x\in A : xRb\}=[b]</tex>](lib/plugins/latex/images/c32447ef2783789e58b46e384e2e61ac0ba78626_0.png "<tex>[a]=\{x\in A : xRa\}=\{x\in A : xRb\}=[b]</tex>")
.
Sea 
un elemento cualquiera de [a] entonces 
, y sabemos por hipotesis 
entonces por transitividad 
, por lo que ![<tex>c \in [b]</tex>](lib/plugins/latex/images/ed28060c594a6814641f5f4721a352734d887357_0.png "<tex>c \in [b]</tex>")
. Entonces cualquier elemento de [a] esta incluido en [b], por lo tanto podemos decir que [a]=[b].
b)
Para ser de equivalencia se debe cumplir que la relación cumpla reflexibidad, simetría y transitividad:
La implicación será verdadera si el valor de verdad de h es verdadero y además que el valor de verdad de alguno de los dos términos de t sea verdadero.
Reflexibidad:
Suponiendo h verdadero, 
, entonces 
lo cual es verdadero. Entonces 
. T es reflexiva.
Simetría:
Si 
entonces se cumple que (
ó 
). Por simetría de la igualdad y conmutación de la suma podemos decir que también se cumple (
ó 
) que sería la condición para que exista yTx . Por lo que 
es simétrica.
Transitividad:
Si 
y 
se cumple que (
ó 
) y que (
ó 
).
si y , entonces . Lo cual hace que exista .
si y , entonces . Lo cual hace que exista .
si y , entonces . Lo cual hace que exista .
si y , restando ambas igualdades queda que . Lo cual hace que exista .
Entonces es transitiva.
Conjunto cociente:
No existen clases con 3 elementos y existe una con 1 elemento cuando 
.
