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Final - 61.06 Probabilidad y Estadística A (no industriales)

Cátedra: Todas
Fecha: 4° Oportunidad - (1º Cuatrimestre 2008)
Día: 30/07/2008

Punto 1

Sean a y b variables aleatorias independientes con distribución U[0,4]. Hallar la probabilidad de que <tex>\mathit{x ^2-2ax+b}</tex> no tenga raíces reales.

Punto 2

En un control de calidad de hormigón se extraen 3 probetas al azar. Cada una es probada para su resistencia a la compresión. Una probeta pasará la prueba si resiste por lo menos una carga axial de 5500kg. La resistencia a la rotura de las probetas puede ser modelada por una distribución normal de media <tex>\mathit{\mu =7340}</tex> y desvío <tex>\mathit{\sigma =1050kg}</tex>. La especificación requiere que las 3 probetas pasen la prueba para que el lote sea aceptado. El contratista prepara un lote cada día.

Punto 3

Lucas apuesta a que en 100 lanzamientos de una moneda honesta la cantidad de “caras” observadas diferirá de 50, en módulo, en 4 o más. ¿Cuál es la probabilidad de que Lucas pierda su apuesta? (Debe obtener un resultado numérico).

Punto 4

En una bodega se desea conocer la proporción p de barriles con el vino estacionado. En base a estudios previos, se le asigna a p la siguiente densidad: <tex>\mathit{f(p)=c(1-p)}</tex>, si 0<p<1; 0 en otro caso. Un empleado prueba el vino de nueve barriles encontrando 5 barriles con el vino estacionado.

Punto 5

Se tiene una población con distribución U(θ, θ+1). Basándose en una muestra de tamaño 1, <tex>\mathit{X_1}</tex>, diseñar una regla de decisión de nivel de significación 0.1, para verificar <tex>\mathit{H_0}</tex>: θ ≤ 5 contra <tex>\mathit{H_1}</tex>: θ >5. Grafique la curva característica operativa.

Resolución

Punto 1

Se presentan dos variables aleatorias independientes a y b con la misma distribución uniforme:

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Como las variables son independientes, la función conjunta viene dada por: <tex>f _{a,b}(a,b)= f _{a}(a) \cdot f _{b}(b)=\frac{1}{16}</tex>

<tex>f _{a,b}(a,b)=</tex> <tex>\ \left\{ \begin{array}{ll} 1/6 & 0<a<4\quad y\quad 0<b<4 , \\ 0 & \forall \ otro\;(a,b). \end{array} \right.</tex>

Se pide hallar la probabilidad de que <tex>x ^{2}-2ax+b</tex>no tenga raíces reales, es decir que: <tex>4a ^{2} -4b \leq 0 \; \Rightarrow \; a^{2}-b\leq 0</tex>

Planteo el cambio de variables: <tex>\ \left\{ \begin{array}{ll} v =& a^{2}-b\; \Rightarrow \;b=w^{2}-v \\ w =& a \end{array} \right.</tex>

<tex>J = \left | \begin{array}{cccc} \partial v/ \partial a & \partial v/ \partial b \\ \partial w/ \partial a & \partial w/ \partial b \end{array} \right | </tex> <tex>=\left | \begin{array}{cccc} 2a & -1\\ 1 & 0\end{array} \right| =1</tex>

<tex> f _{a,b}(a,b)=\frac{f(a,b)}{|J|}=\frac{1}{16}\frac{1}{1}=\frac{1}{16}</tex>

<tex>0<b<4 \Rightarrow 0<w ^{2}-v<4\Rightarrow -w ^{2}<-v<4-w ^{2}\Rightarrow-4+w ^{2}<v<w ^{2}</tex>

<tex>f _{v,w}(v,w)\left\{ \begin{array}{ll} 1/16 & 0<w<4\quad y\quad -4+w ^{2}<v<w ^{2}, \\ 0 & \forall \ otro\;(v,w). \end{array} \right.</tex>

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Procedo a marginar la función hallada para llegar a la expresión de <tex>f_v</tex>.

<tex>f_v=\int_{-00}^{+00}f(v,w)\,dw</tex>

Si<tex>-4<v<0</tex>: <tex>f_v=\int_{0}^{\sqrt{v+4}}\frac{1}{16}dw=\frac{1}{16}\sqrt{v+4}</tex>

Si<tex>\;0<v<16</tex>: <tex>f_v=\int_{\sqrt{v}}^{\sqrt{v+4}}\frac{1}{16}dw=\frac{1}{16}(\sqrt{v+4}-\sqrt{v})</tex>

<tex>\ \left\{ \begin{array}{ll} \frac{1}{16}\sqrt{v+4} & -4<v<0, \\ \frac{1}{16}(\sqrt{v-4}-\sqrt{v})& 0<v<16, \\0 & \forall \ otro\;v. \end{array} \right.</tex>

Como<tex>v=a^{2}-b\;</tex> lo que me pide el problema es <tex>P(v \leq 0)=\int_{-4}^{0}\frac{\sqrt{v+4}}{16}dv=\frac{1}{16}\int_{-4}^{0}\sqrt{v+4}dv=\frac{1}{16}\frac{2}{3}\sqrt{4^3} \approx 0.33</tex>

<tex>P(v \leq 0)\approx 0.33</tex>es el resultado pedido.

Punto 2

La probabilidad de que el lote apruebe es la probabilidad de que cada probeta pase la prueba, es decir:

<tex>P(A)=P(X_1 > 5500\cap X_2 > 5500\cap X_3 > 5500 )</tex>

Como son sucesos independientes: <tex>P(A)=P(X_1 > 5500)\cdot P(X_2 > 5500)\cdot P(X_3 > 5500) </tex>

Como tienen la misma distribución: <tex>P(A)=P(X > 5500)\cdot P(X > 5500)\cdot P(X > 5500) </tex>

Por lo que <tex>P(A)=(P(X > 5500))^3</tex>

<tex>P(X > 5500)=1-P(X < 5500)=1-F\left(z<\frac{5500-7340}{1050} \right)=1-F(z<-1.752)=1-0.0401=0.9599</tex>

<tex>P(A)=(P(X > 5500))^3=0.9599^3=0.884</tex>

La probabilidad de aceptar un lote es <tex>0.844</tex>.

(a)Sabiendo que se preparara un lote por día, se plantea una variable geométrica de p = 1-0,884 = 0,116 donde el “éxito” es el rechazo de la muestra. La probabilidad pedida es <tex>P(5 \mid 0.166)=0.116 \cdot 0.884^4=0.07</tex>

(b)<tex>\mu'=8250kg \qquad \frac{\sigma'}{\mu'}=\frac{\sigma}{\mu}\cdot0.9=0.129</tex>

<tex>\frac{\sigma'}{\mu'}=0.129 \Rightarrow \sigma'=0.129\mu'=0.129\cdot8250kg=1064.5kg</tex>

Por lo tanto <tex>\sigma'=1064.5kg</tex>

<tex>P(X > 5500)=1-P(X < 5500)=1-F\left(z<\frac{5500-8250}{1064.5} \right)=1-F(z<-2.58)=1-0.0049=0.9951</tex>

<tex>P(A)=(P(X > 5500))^3=0.9951^3=0.9854</tex>

Ahora tenemos un proceso de Bernoulli de variable binomial con n = 10 y p = 1-0,9854 = 0,0146. Nos piden la probabilidad de que se rechace “por lo menos” un lote, es decir, un lote o más:

<tex>P(rech)= \mathop{\sum}_{1}^{10}P(r_i \mid 0.0146;10)=\mathop{\sum}_{1}^{10}</tex> <tex>\left( \begin{array}{c} 10 \\ r_i \end{array} \right)</tex> <tex>\cdot0.0146^{r_i}\cdot0.9854^9</tex>

Punto 3

Se plantea una variable binomial con probabilidad de éxito en un ensayo p = 0,5. como se realizan 100 lanzamientos y además p = 0,5 el problema se puede resolver con una variable normal de media <tex>\mu=np \quad \sigma= \sqrt{np(1-p)}</tex>

:materias:61:06:noindustriales:3.jpg

En el grafico están sombreadas los resultados que difieren de 50 en 4 o más caras. La probabilidad de que Lucas pierda la apuesta es <tex>P(P)=P(x<54)-P(x<46)</tex>

<tex>P(P)=F\left(z< \frac {54-50}{5}\right)-F\left(z< \frac {46-50}{5}\right)=F(z<0.8)-F(z<-0.8)=0.7881-0.2119=0.5762</tex>

Por lo tanto, la probabilidad de que pierda es <tex>P(P)=0.5762</tex>

Punto 4

A priori se tiene <tex>f(p) =</tex> <tex> \left\{ \begin{array}{ll} c(1-p) & 0<p<1, \\ 0 & \forall \;otro\; p . \end{array} \right.</tex>

<tex> \int_0^1 c(1-p)\, dp = c\int_0^1 (1-p)\, dp =c\left(\int_0^1dp -\int_0^1p\, dp\right)=c\left(p\mathop{\mid}_{0}^{1}-\frac{p^2}{2}\mathop{\mid}_{0}^{1}\right)=c\left(1-\frac{1}{2}\right)=\frac{c}{2}=1</tex>

Por lo tanto <tex> c=2</tex>. Entonces nos queda:<tex>f(p) =</tex> <tex> \left\{ \begin{array}{ll} 2(1-p) & 0<p<1, \\ 0 & \forall \;otro\; p . \end{array} \right.</tex>

(a) La cantidad de vinos estacionados está dada por una variable binomial <tex>P(r \mid n,p)={n \choose r}p^r(1-p)^{n-r}</tex>

Esta es la probabilidad de los vinos estacionados dado p. El empleado probó el vino de nueve barriles encontrado 5 con vino estacionado:

<tex>f_{(M/p)}=P(5 \mid 9,p)={9 \choose 5}p^5(1-p)^4=\frac{9!}{4!5!}p^5(1-p)^4=4536 \cdot p^5(1-p)^4</tex>

para <tex>0<p<1</tex>

<tex>f(M,p)=f_{(M/p)}\cdot f(p)=4536 \cdot p^5(1-p)^4\cdot2\cdot(1-p)=9072\cdot p^5(1-p)^5</tex>

para <tex>0<p<1</tex>

<tex>f_{(p/M)}=\frac {f(M,p)}{f(M)}=\frac {9072\cdot p^5(1-p)^5}{f(M)}</tex>

La función f(M) se puede obtener marginando f(M,p) de la siguiente manera:

<tex>f(M)=\int_0^1f(M,p)\ dp</tex>

Como f(M,p) depende de la variable p únicamente, la integral será una constante.

<tex>f_{(p/M)}=\frac {9072\cdot p^5(1-p)^5}{K}=K'\cdot9072\cdot p^5(1-p)^5</tex>

para <tex>0<p<1</tex>

Siendo <tex>K'\in \Re / \; \int_0^1K'\cdotp^5(1-p)^5dp=1</tex>

Por lo tanto, la densidad a posteriori de p en base a los nueve resultados obtenidos es:

<tex>f(p) =</tex> <tex> \left\{ \begin{array}{ll} K'\cdotp^5(1-p)^5 & 0<p<1, \\ 0 & \forall \;otro\; p . \end{array} \right.</tex>

(b) La proporción p puede estimarse hallando la esperanza de su distribución:

<tex>E(p)=\int_{- \infty }^{+ \infty}p\cdot f(p)dp=\int_0^1K'\cdot p^6(1-p)^5dp</tex>