Resultados de la Guía - Análisis Matemático II (61.03)

Resultados de la Guía - Análisis Matemático II (61.03)

Versión de la guía: Agosto 2010

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Pueden descargar la versión pdf desde este link. Sin embargo, puede estar desactualizada puesto que no se edita más.

Es posible buscar cada ejercicio según su numeración, con la excepción de la guía 1. Por ejemplo, en el caso de que quieran ver el resultado del ejercicio 12 de la guía 8, ingresan en el buscador del navegador lo siguiente: $<tex>\text{8.12.}</tex>$ . Para la guía 10 hay que escribir 0 en lugar de 10. Ejemplo de guía 10, ejercicio 16: $<tex>\text{0.16.}</tex>$

1. Geometría del plano y el espacio

(a)	$<tex>2x-y+3z=1</tex>$ ; si
(b)	$<tex>3x-2y-2z=4</tex>$ ; si
(c)	$<tex>x+y-2z=0</tex>$ ; no $<tex>\bigl(\textnormal{recta }L:\mathbf{X}=\lambda\left(1,5,3\right)+\left(0,-4,-2\right)\bigr)</tex>$
(d)	$<tex>-x-6y+5z=-17</tex>$ ; si

(a)

$<tex>\left\{ \begin{array}{l} 6x+7y=0\\ 5x+7z=0 \end{array}\right.</tex>$ ; si

$<tex>\bigl(\text{recta }L:\mathbf{X}=\lambda\left(7,-6,-5\right)\bigr)</tex>$
$<tex>\lambda=\frac{x}{7}=-\frac{y}{6}=-\frac{z}{5}</tex>$

(b)

$<tex>\left\{ \begin{array}{l} x-y=-1\\ x-z=2 \end{array}\right.</tex>$ ; si

$<tex>\bigl(\textnormal{recta }L:\mathbf{X}=\lambda\left(1,1,1\right)+\left(1,2,-1\right)\bigr)</tex>$
$<tex>\lambda=x-1=y-2=z+1</tex>$

(c)

$<tex>\left\{ \begin{array}{l} x-y=0\\ 2x+z=4 \end{array}\right.</tex>$ ; si

$<tex>\bigl(\textnormal{recta }L:\mathbf{X}=\lambda\left(1,1,-2\right)+\left(0,0,4\right)\bigr)</tex>$
$<tex>\lambda=x=y=\frac{4-z}{2}</tex>$

Los tres puntos deben formar una recta (una combinación lineal de dos de ellos debe ser igual al tercer punto).

(a)	$<tex>k=0</tex>$
(b)	$<tex>k=2</tex>$

$<tex>2\dfrac{\vec{u}}{\left\Vert \vec{u}\right\Vert }+\dfrac{\vec{v}}{\left\Vert \vec{v}\right\Vert }</tex>$

$<tex>d\left(\vec{P},\Pi\right)=\dfrac{\left|\vec{N}\cdot\vec{P}+\mathrm{D}\right|}{\left\Vert \vec{N}\right\Vert }</tex>$ ; $<tex>d\left(\vec{P},L\right)=\dfrac{\left\Vert \vec{v}\times\vec{P_{L}P}\right\Vert }{\left\Vert \vec{v}\right\Vert }</tex>$

(a)	$<tex>d=\frac{2}{7}\sqrt{14}\approx1.069</tex>$
(b)	$<tex>d=\frac{7}{10}\sqrt{2}\approx0.98995</tex>$
(c)	$<tex>d=\sqrt{\frac{3}{74}}\approx0.20135</tex>$

$<tex>d=\frac{8}{\sqrt{5}}\approx3.5777</tex>$

(a)	$<tex>\alpha={\color{blue}\arccos\left(\frac{\vec{u}\cdot\vec{v}}{\left\Vert \vec{u}\right\Vert \left\Vert \vec{v}\right\Vert }\right)}=\arccos\left(\frac{4}{9}\right)\approx63.61\text{º}</tex>$
(b)	$<tex>\left\|\vec{u}\right\|=2\breve{i}+\breve{j}+2\breve{k}</tex>$
(c)	$<tex>3\vec{u}-2\vec{v}=\left(2,7,-4\right)</tex>$
(d)	$<tex>\breve{u}={\color{blue}\frac{\vec{u}}{\left\Vert \vec{u}\right\Vert }}=</tex>$ $<tex>\left(\frac{2}{3},\frac{1}{3},-\frac{2}{3}\right)</tex>$

(a)

$<tex>k=-6</tex>$ ; $<tex>\Pi:x+2y+3z=0</tex>$

(b)

$<tex>A=3</tex>$

$<tex>\left\Vert u\times v\right\Vert </tex>$

(c)

$<tex>A=5</tex>$

$<tex>\left|\det\left(u,v,w\right)\right|</tex>$

(a)
(b)
(c)
(d)
(e)	$<tex>\left(x-1\right)^{2}+\left(y-2\right)^{2}/4=18</tex>$
(f)
(g)

10.

(a)	$<tex>x^{2}+y^{2}<4</tex>$
(b)	$<tex>1<x<2</tex>$ ; $<tex>1<y<2</tex>$ ó $<tex>1\leq x\leq2</tex>$ ; $<tex>1\leq y\leq2</tex>$
(c)	$<tex>y>2x^{2}</tex>$
(d)	$<tex>x^{2}+\frac{y^{2}}{4}=4</tex>$ ó $<tex>\frac{x^{2}}{4}+y^{2}=4</tex>$

11.

(a)
(b)
(c)	$<tex>\left(x-1/2\right)^{2}+y^{2}=1/4</tex>$ ; $<tex>x\geq0</tex>$ ; $<tex>y>0</tex>$
(d)	$<tex>\left(x-1\right)^{2}+\left(y-1\right)^{2}=2</tex>$

12.

Fue necesario restringir el dominio de $<tex>\theta</tex>$ en los ítems (e) y (f), porque el radio nunca puede ser negativo ( $<tex>r\geq0</tex>$ )

(a)	$<tex>\frac{1}{\sqrt{3}}x\leq y\leq\sqrt{3}x</tex>$
(b)	$<tex>1\leq x^{2}+y^{2}<4</tex>$
(c)	$<tex>1<x^{2}+y^{2}\leq4</tex>$ ; $<tex>\frac{1}{\sqrt{3}}x\leq y<\sqrt{3}x</tex>$
(d)	$<tex>\begin{cases} x\tan\left(\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right)\geq y & x\neq0\vee y=0\\ y\geq\pi/2 & x=0\wedge y>0\\ y\leq3\pi/2 & x=0\wedge y<0 \end{cases}</tex>$ Gráfico:
(e)	$<tex>\left(x-1\right)^{2}+y^{2}\leq1</tex>$
(f)	$<tex>x^{2}+\left(y-\frac{3}{2}\right)^{2}\leq\frac{9}{4}</tex>$

13.

(a)	$<tex>0\leq r\leq1</tex>$
(b)	$<tex>\left\{ \begin{array}{l} r\leq2\sen\left(\theta\right)\\ \frac{1}{4}\pi<\theta<\frac{3}{4}\pi \end{array}\right.</tex>$
(c)	$<tex>\sen\left(\theta\right)\leq\frac{1}{2}</tex>$
(d)	$<tex>\frac{1}{9.764}\pi\widetilde{<}\theta\leq\frac{1}{4}\pi</tex>$

14.

(a)	$<tex>\text{Int}\left(A\right)=\left\{ \left(x,y\right)\in \Re^{2}\left/0<x^{2}+y^{2}<1\right.\right\} </tex>$ $<tex>\text{Fr}\left(A\right)=\left\{ \left(x,y\right)\in \Re^{2}\left/x^{2}+y^{2}=1\right.\right\} </tex>$
(b)	$<tex>\text{Int}\left(A\right)=\left\{ \left(x,y,z\right)\in \Re^{3}\left/0<x^{2}+y^{2}<1\right.\right\} </tex>$ $<tex>\text{Fr}\left(A\right)=\left\{ \left(x,y,z\right)\in \Re^{3}\left/x^{2}+y^{2}=1\right.\right\} </tex>$
(c)	$<tex>\text{Int}\left(A\right)=\left\{ \left(x,y\right)\in \Re^{2}\left/x>0\wedge y<0\right.\right\} </tex>$ $<tex>\text{Fr}\left(A\right)=\begin{array}[t]{l} \left\{ \left(x,y\right)\in \Re^{2}\left/\left(x=0\wedge y\leq0\right)\right.\right.\\ \left.\vee\left(x\geq0\wedge y=0\right)\right\} \end{array}</tex>$
(d)	$<tex>\text{Int}\left(A\right)=\left\{ \left(x,y\right)\in \Re^{2}\left/x^{2}+y^{2}<1\right.\right\} </tex>$ $<tex>\text{Fr}\left(A\right)=\left\{ \left(x,y\right)\in \Re^{2}\left/x^{2}+y^{2}=1\right.\right\} </tex>$
(e)	$<tex>\text{Int}\left(A\right)=\left\{ \left(x,y\right)\in \Re^{2}\left/0<\left\|x\right\|+\left\|y\right\|<1\right.\right\} </tex>$ $<tex>\text{Fr}\left(A\right)=\left\{ \left(x,y\right)\in \Re^{2}\left/\left\|x\right\|+\left\|y\right\|=1\right.\right\} </tex>$
(f)	$<tex>\text{Int}\left(A\right)=\left\{ \left(x,y\right)\in \Re^{2}\left/1<x^{2}+y^{2}+z^{2}\leq5\right.\right\} </tex>$ $<tex>\text{Fr}\left(A\right)=\begin{array}[t]{l} \left\{ \left(x,y\right)\in \Re^{2}\left/x^{2}+y^{2}+z^{2}=1\right.\right.\\ \left.\vee\left(x\geq0\wedge y=0\right)\right\} \end{array}</tex>$

2. Funciones, límite, continuidad, derivadas

2.1.

$<tex>\bar{x}=\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)</tex>$
Dominio de una función :
conjunto $<tex>U=\left\{ \bar{x}\in\Re^{n}\left/\exists f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)\right.\right\} </tex>$
Imagen de una función :
conjunto $<tex>y=\left\{ f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)\:\forall\bar{x}\in U\right\} </tex>$
Gráfico de un campo escalar :
conjunto $<tex>\left\{ \left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n},y\right)\in\Re^{n+1}\:\forall\bar{x}\in U\right\} </tex>$
Conjunto de nivel de un campo escalar :
conjunto $<tex>C_{k}=\left\{ \bar{x}\in U\left/f\left(x_{1},x_{2},\dots,x_{n}\right)=k,\: k\in\Re\right.\right\} </tex>$
Conjunto abierto :
aquel que todos sus puntos son interiores.
Conjunto cerrado :
contiene a todos sus puntos de acumulación.
Conjunto acotado : cuando se lo puede incluir en una esfera abierta con radio finito.

2.2.

Las curvas azules son las pedidas al final de la consigna

(a)	$<tex>D_{f}=\left\{ \left(x,y\right)\in\Re^{2}\right\} </tex>$ Conjunto abierto y cerrado $<tex>C_{k}=\left\{ \left(x,y\right)\in\Re^{2}\left/3\left(1-\frac{x}{2}-\frac{y}{2}\right)=k\right.\right\} \forall k\in\Re</tex>$
(b)	$<tex>D_{f}=\left\{ \left(x,y\right)\in\Re^{2}\left/x>y^{2}\right.\right\} </tex>$ Conjunto abierto y acotado $<tex>C_{k}=\left\{ \left(x,y\right)\in\Re^{2}\left/\ln\left(x-y^{2}\right)=k\right.\right\} \forall k\in\Re</tex>$ $<tex>\color{red}r=\text{¿?}</tex>$
(c)	$<tex>D_{f}=\left\{ \left(x,y\right)\in\Re^{2}\right\} </tex>$ Conjunto abierto y cerrado $<tex>C_{k}=\left\{ \left(x,y\right)\in\Re^{2}\left/9x^{2}+4y^{2}=k\right.\right\} \forall k\in\Re</tex>$
(d)	$<tex>D_{f}=\left\{ \left(x,y\right)\in\Re^{2}\right\} </tex>$ Conjunto abierto y cerrado $<tex>C_{k}=\left\{ \left(x,y\right)\in\Re^{2}\left/x^{2}-y^{2}=k\right.\right\} \forall k\in\Re</tex>$
(e)	$<tex>D_{f}=\left\{ \left(x,y\right)\in\Re^{2}\left/x^{2}+y^{2}<16\right.\right\} </tex>$ Conjunto abierto y acotado $<tex>C_{k}=\left\{ \left(x,y\right)\in\Re^{2}\left/\frac{1}{\sqrt{16-x^{2}-y^{2}}}=k\right.\right\} \forall k\in\Re</tex>$ $<tex>r=\sqrt{7}</tex>$
(f)	$<tex>D_{f}=\left\{ \left(x,y\right)\in\Re^{2}\right\} </tex>$ Conjunto abierto y cerrado $<tex>C_{k}=\left\{ \left(x,y\right)\in\Re^{2}\left/25-x^{2}=k\right.\right\} \forall k\in\Re</tex>$
(g)	$<tex>D_{f}=\left\{ \left(x,y\right)\in\Re^{2}\right\} </tex>$ Conjunto abierto y cerrado $<tex>C_{k}=\left\{ \left(x,y\right)\in\Re^{2}\left/e^{-x^{2}-y^{2}}=k\right.\right\} \forall k\in\Re</tex>$
(h)	$<tex>D_{f}=\left\{ \left(x,y\right)\in\Re^{2}\left/\left(x-\frac{3}{2}\right)^{2}+y^{2}\leq\frac{9}{4}\right.\right\} </tex>$ Conjunto cerrado y acotado $<tex>C_{k}=\left\{ \left(x,y\right)\in\Re^{2}\left/\sqrt{3x-x^{2}-y^{2}}=k\right.\right\} \forall k\in\Re</tex>$ $<tex>r=3\cos\left(t\right)</tex>$
(i)	$<tex>D_{f}=\left\{ \left(x,y\right)\in\Re^{2}\right\} </tex>$ Conjunto abierto y cerrado $<tex>C_{k}=\left\{ \left(x,y\right)\in\Re^{2}\left/k=\begin{cases} x & x<y\\ y & x\geq y \end{cases}\right.\right\} \forall k\in\Re</tex>$

2.3.

Límite de un campo escalar : $<tex>L=\underset{x\to x_{0}}{\lim}f\left(x\right)</tex>$ si para cualquier $<tex>\varepsilon>0\,\exists\,delta>0\left/x\in B\left(x_{0},\delta\right)\cap U\left(x\neq x_{0}\right)\Rightarrow f\left(x\right)\in B\left(L,\varepsilon\right)\right.</tex>$
Límite de una función vectorial en un punto de acumulación de su dominio : ¿?
Tres propiedades del límite : $<tex>\underset{x\to x_{0}}{\lim}f\left(x\right)=L</tex>$ $<tex>\underset{x\to x_{0}}{\lim}g\left(x\right)=M</tex>$

$<tex>\underset{x\to x_{0}}{\lim}\left(f+g\right)\left(x\right)=L+M</tex>$
$<tex>\underset{x\to x_{0}}{\lim}\left(fg\right)\left(x\right)=L\cdot M</tex>$
si $<tex>M\neq0,\:\underset{x\to x_{0}}{\lim}\left(\frac{f}{g}\right)\left(x\right)=\frac{L}{M}</tex>$

2.4.

2.5.

2.6.

2.7.

(a)	∄ $<tex>\underset{\left(x,y\right)\to\left(0,0\right)}{\lim}\frac{x^{2}+y^{2}}{y}</tex>$
(b)	$<tex>\underset{\left(x,y\right)\to\left(0,0\right)}{\lim}\sqrt{x^{2}+y^{2}}=0</tex>$
(c)	∄ $<tex>\underset{\left(x,y\right)\to\left(0,2\right)}{\lim}\frac{y^{2}\left(x-2\right)^{2}}{x^{2}+\left(y-2\right)^{2}}</tex>$
(d)	$<tex>\underset{\left(x,y\right)\to\left(0,0\right)}{\lim}\frac{x^{3}y}{x^{2}+y^{2}}=0</tex>$
(e)	∄ $<tex>\underset{\left(x,y,z\right)\to\left(0,1,1\right)}{\lim}\frac{y+1}{\sqrt{z^{2}-1}}</tex>$
(f)	$<tex>\underset{\left(x,y\right)\to\left(1,2\right)}{\lim}\frac{x^{2}y-2x^{2}-y+2}{xy-2x+y-2}=0</tex>$
(g)	$<tex>\underset{x\to0^{-}}{\lim}\left(\frac{x}{\left\|x\right\|},\sqrt{x}\right)=\left(-1,0\right)</tex>$ $<tex>\underset{x\to0^{+}}{\lim}\left(\frac{x}{\left\|x\right\|},\sqrt{x}\right)=\left(1,0\right)</tex>$
(h)	∄ $<tex>\underset{\left(x,y\right)\to\left(0,1\right)}{\lim}\left(\left(y-1\right)\cos\left(\frac{1}{x}\right),\frac{\sen\left(3x\right)}{2x},x-y\right)</tex>$

2.8.

Continuidad de un campo escalar en un punto de su dominio : se debe cumplir $<tex>\underset{\left(x,y\right)\to\left(x_{0},y_{0}\right)}{\lim}f\left(x,y\right)=f\left(x_{0},y_{0}\right)</tex>$
Continuidad de una función vectorial en un punto de su dominio : las funciones coordenadas $<tex>f_{i}:U\subseteq\Re^{n}\to\Re,\: i=1,2,\dots,m</tex>$ deben ser continuas

2.9.

2.10.

En las siguientes funciones, $<tex>D_{f}=\left\{ \left(x,y\right)\in\Re^{2}\right\} </tex>$

(a)	$<tex>\left(2,1\right),\left(-\frac{3}{2},-\frac{3}{4}\right)</tex>$
(b)	No hay puntos de continuidad
(c)	No hay puntos de continuidad
(d)	No hay puntos de continuidad

2.11.

(a)	Los gráficos de $<tex>h</tex>$ y $<tex>g</tex>$ son curvas pertenecientes al gráfico de $<tex>f</tex>$
(b)	$<tex>g</tex>$ y $<tex>h</tex>$ serían continuas en $<tex>a</tex>$ y $<tex>b</tex>$ : $<tex>f\left(a,b\right)=g\left(a\right)=h\left(b\right)</tex>$
(c)	$<tex>g\left(x\right)=x^{2}+8</tex>$ ; $<tex>h\left(y\right)=y^{3}+1</tex>$
(d)	¿?

2.12.

Ir al siguiente enlace para ver un applet que ayuda a la resolución del ejercicio (realizado por Jorge Comas):
http://materias.fi.uba.ar/6103/contribuciones/jc/an2tp.htm

2.13.

$<tex>f\left(x,y\right)=\begin{cases} 0 & x^{2}+y^{2}<1\\ 1 & x^{2}+y^{2}>2\\ x^{2}+y^{2}-1 & 1\leq x^{2}+y^{2}\leq2 \end{cases}</tex>$

2.14.

Derivada parcial de un campo escalar en un punto de su dominio (respecto de $<tex>x_{i}</tex>$ ): $<tex>\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\left(p_{1},p_{2},\dots,p_{i},\dots p_{n}\right)=\underset{h\rightarrow0}{\lim}\frac{f\left(p_{1},p_{2},\dots,p_{i}+h,\dots p_{n}\right)-f\left(p_{1},p_{2},\dots,p_{i},\dots p_{n}\right)}{h}</tex>$

2.15.

(a)	$<tex>\frac{\partial f}{\partial x}\left(2,0\right)=4</tex>$ ; $<tex>\frac{\partial f}{\partial y}\left(2,0\right)=2</tex>$
(b)	$<tex>\frac{\partial f}{\partial x}\left(1,1,1\right)=\frac{1}{2}</tex>$ ; $<tex>\frac{\partial f}{\partial y}\left(1,1,1\right)=-\frac{1}{4}</tex>$ ; $<tex>\frac{\partial f}{\partial z}\left(1,1,1\right)=\frac{1}{4}</tex>$
(c)	$<tex>\frac{\partial f}{\partial x}\left(0,2,0\right)=0</tex>$ ; $<tex>\frac{\partial f}{\partial y}\left(0,2,0\right)=0</tex>$ ; $<tex>\frac{\partial f}{\partial z}\left(0,2,0\right)=e^{4}</tex>$
(d)	$<tex>\frac{\partial f}{\partial x}\left(\frac{1}{3}\pi,4\right)=-1</tex>$ ; $<tex>\frac{\partial f}{\partial y}\left(\frac{1}{3}\pi,4\right)=-\frac{1}{24}\pi</tex>$ (¿fundamentar?)
(e)	$<tex>\frac{\partial f}{\partial x}\left(-3,4\right)=\frac{3}{5}</tex>$ ; $<tex>\frac{\partial f}{\partial y}\left(-3,4\right)=-\frac{4}{5}</tex>$
(f)	¿?
(g)	¿?

2.16.

(a)

$<tex>\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}\left(x,y\right)=\frac{2\left(x^{2}-x+y\right)}{\left(x^{2}+y\right)^{2}}</tex>$
$<tex>\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}\left(x,y\right)=\frac{-1}{\left(x^{2}+y\right)^{2}}</tex>$ $<tex>\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}\left(x,y\right)=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}\left(x,y\right)=\frac{-2x}{\left(x^{2}+y\right)^{2}}</tex>$
$<tex>D_{f}:\left\{ \left(x,y\right)\in\Re^{2}\left/y>-x^{2}\right.\right\} </tex>$

(b)

$<tex>\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}\left(x,y,z\right)=0</tex>$ ; $<tex>\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}\left(x,y,z\right)=-x\sen\left(y\right)</tex>$
$<tex>\frac{\partial^{2}f}{\partial z^{2}}\left(x,y,z\right)=-y\cos\left(z\right)</tex>$
$<tex>\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial x}\left(x,y,z\right)=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial y}\left(x,y,z\right)=\cos\left(y\right)</tex>$
$<tex>\frac{\partial^{2}f}{\partial z\partial x}\left(x,y,z\right)=\frac{\partial^{2}f}{\partial x\partial z}\left(x,y,z\right)=0</tex>$
$<tex>\frac{\partial^{2}f}{\partial z\partial y}\left(x,y,z\right)=\frac{\partial^{2}f}{\partial y\partial z}\left(x,y,z\right)=-\sen\left(z\right)</tex>$

2.17.

Teorema de Schwarz:
$<tex>f:E\subseteq\Re^{n}\rightarrow\Re</tex>$ , $<tex>f\in C^{2}\left(E\right)</tex>$ y $<tex>\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)\in E</tex>$ $<tex>\Longrightarrow\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{i}\partial x_{j}}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)=\frac{\partial^{2}f}{\partial x_{j}\partial x_{i}}\left(x_{1},x_{2},\ldots,x_{n}\right)</tex>$

2.18.

$<tex>L:\mathbf{X}=\lambda\left(-1,1\right)+\left(\frac{R}{\sqrt{2}},\frac{R}{\sqrt{2}}\right)</tex>$

2.19.

(a)	$<tex>L:\mathbf{X}=\lambda\left(1,3,3\right)+\left(4,9,7\right)</tex>$ ; $<tex>\Pi:x+3y+3z=52</tex>$
(b)	$<tex>\text{rapidez }=4\sqrt{19}</tex>$
(c)	$<tex>\overline{\sigma}\left(2\right)=\left(4,9,7\right)</tex>$ ; $<tex>\overline{\sigma}\left(0\right)=\left(0,1,-1\right)</tex>$ $<tex>\rightarrow\overline{\sigma}\left(2\right)-\overline{\sigma}\left(0\right)=4\left(1,2,2\right)=v_{2}</tex>$ $<tex>\left(1,3,3\right)\times v_{2}=\left(0,1,-1\right)=\mathrm{N}{}_{\Pi}</tex>$ $<tex>\rightarrow\mathrm{N}{}_{\Pi}\cdot\mathbf{X}=\mathrm{N}{}_{\Pi}\cdot v_{2}</tex>$ $<tex>\rightarrow\Pi:y-z=2</tex>$ $<tex>\overline{\sigma}\left(t\right)=\bigl(t^{2},\underbrace{t^{3}+1}_{y},\underbrace{t^{3}-1}_{z}\bigr)</tex>$ $<tex>\rightarrow t^{3}-1-t^{3}-1=2\overset{\surd}{=}2</tex>$
(d)	$<tex>C\cap\Pi=\left(1,2,0\right)</tex>$
(e)	$<tex>\overline{\sigma}^{\prime}\left(t\right)=\left(2t,3t^{2},3t^{2}\right)\overset{?}{=}\left(0,0,0\right)\overset{\surd}{=}\sigma^{\prime}\left(0\right)</tex>$ $<tex>\overline{\sigma}\left(t\right)=\left(t,t^{3}+1,t^{3}-1\right)</tex>$ , $<tex>\overline{\sigma}'\left(t\right)=\left(1,3t^{2},3t^{2}\right)\neq\left(0,0,0\right)\ \forall t</tex>$

2.20.

(a)
(b)	$<tex>v=\left(1,-1\right)</tex>$ cuando $<tex>t\in\left[-1,0\right)</tex>$ $<tex>v=\left(1,1\right)</tex>$ cuando $<tex>t\in\left(0,-1\right]</tex>$ $<tex>\text{rapidez}=\sqrt{2}</tex>$ No existe el vector tangente para $<tex>t=0</tex>$

2.21.

Como hay infinitas parametrizaciones, voy a presentar algunas posibles aunque la consigna sólo pida una.

(a)	$<tex>\overline{\sigma}\left(t\right)=\left(t,4-t,4-t^{2}\right)</tex>$ ; $<tex>L:\mathbf{X}=\lambda\left(1,-1,-2\right)+\left(1,3,3\right)</tex>$
(b)	$<tex>\overline{\sigma}\left(t\right)=\left\{ \begin{array}{l} \left(\cos\left(t\right),\sen\left(t\right),1\right)\text{, con }t\in\left[0,2\pi\right]\\ \left(t,\sqrt{1-t^{2}},1\right)\text{, con }t\in\left[-1,1\right] \end{array}\text{o}\right.</tex>$ $<tex>L:\mathbf{X}=\lambda\left(1,0,0\right)+\left(0,1,1\right)</tex>$
(c)	$<tex>\overline{\sigma}\left(t\right)=\left(t^{2},t,2t^{2}\right)</tex>$ ; $<tex>L:\mathbf{X}=\lambda\left(4,1,8\right)+\left(4,2,8\right)</tex>$
(d)	$<tex>\overline{\sigma}\left(t\right)=\left\{ \begin{array}{l} \left(\sqrt{2}\cos\left(t\right),\sqrt{2}\sen\left(t\right),2\right)\text{, con }t\in\left[0,2\pi\right]\\ \left(t,\sqrt{2-t^{2}},2\right)\text{, con }t\in\left[-\sqrt{2},\sqrt{2}\right] \end{array}\text{o}\right.</tex>$ $<tex>L:\mathbf{X}=\lambda\left(-1,1,0\right)+\left(1,1,2\right)</tex>$

2.22.

Se trata de una curva de Viviani. La explicación de esta curva y la resolución del ejercicio se encuentra en:
http://materias.fi.uba.ar/6103/contribuciones/viviani/viviani.htm
$<tex>\overline{\sigma}\left(t\right)=\left(2\cos^{2}\left(t\right),\sen\left(2t\right),2\sen\left(t\right)\right)</tex>$ , con $<tex>t\in\left[0,2\pi\right]</tex>$
Otra posible solución: $<tex>\overline{\sigma}\left(t\right)=\left(\cos\left(t\right)+1,\sen\left(t\right),2\sen\left(\frac{t}{2}\right)\right)</tex>$ , con $<tex>t\in\left[-2\pi,2\pi\right]</tex>$

2.23.

Conviene trabajar en polares: $<tex>\left\{ \begin{array}{l} x^{2}+y^{2}=r^{2}\\ x=r\cos\left(\theta\right)\\ y=r\sen\left(\theta\right) \end{array}\right.</tex>$

(a)

$<tex>\overline{\sigma}\left(t\right)=\left(2\cos^{2}\left(t\right)\sen\left(t\right),2\sen^{2}\left(t\right)\cos\left(t\right)\right)</tex>$
Existe el valor tangente para cualquier $<tex>t</tex>$
La parametrización es regular

(b)

$<tex>\overline{\sigma}\left(t\right)=\left(\cos\left(t\right)\left(1-\sen\left(t\right)\right),\sen\left(t\right)\left(1-\sen\left(t\right)\right)\right)</tex>$
No existe el vector tangente para $<tex>t=2k\pi+\frac{\pi}{2},\: k\in Z</tex>$
La parametrización no es regular

(c)

(I)	$<tex>\vec{r}=\left(1,1,41\right)</tex>$
(II)	$<tex>v\left(\pi\left(2n+1\right),2\right)=2</tex>$ con $<tex>n\in Z</tex>$ $<tex>a\left(x,y\right)=1</tex>$ $<tex>\forall x,y\in\Re</tex>$
(III)	$<tex>\vec{v}=\left(2,2\right)</tex>$

3. Diferenciabilidad, tangentes

3.1.

En el siguiente enlace se encuentra un applet para entender a través de un gráfico los conceptos que se ven durante este ejercicio (realizado por Jorge Comas):
http://materias.fi.uba.ar/6103/contribuciones/jc/an2tp.htm

(a)

(I)	$<tex>\vec{\nabla}f\left(1,1\right)=\left(2,2\right)</tex>$ $<tex>C_{2}=\left\{ \left(x,y\right)\in\Re^{2}\left/x^{2}+y^{2}=2\right.\right\} </tex>$ $<tex>L:\mathbf{X}=\lambda\left(-1,1\right)+\left(1,1\right)</tex>$
(II)	$<tex>Q_{0}=\left(1,1,2\right)</tex>$ $<tex>\Pi:2x+2y-z=2</tex>$ $<tex>\vec{N}=\left(2,2,-1\right)</tex>$

(b)

(I)	$<tex>\vec{\nabla}f\left(1,-1\right)=\left(-\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)</tex>$ $<tex>C_{\sqrt{2}}=\left\{ \left(x,y\right)\in\Re^{2}\left/x^{2}+y^{2}=2\right.\right\} </tex>$ $<tex>L:\mathbf{X}=\lambda\left(1,1\right)+\left(1,-1\right)</tex>$
(II)	$<tex>Q_{0}=\left(1,-1,\sqrt{2}\right)</tex>$ $<tex>\Pi:x-y-\sqrt{2}z=0</tex>$ $<tex>\vec{N}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},-\frac{1}{\sqrt{2}},-1\right)</tex>$

(c)

(I)	$<tex>\vec{\nabla}f\left(0,0\right)=\left(2,-3\right)</tex>$ $<tex>C_{5}=\left\{ \left(x,y\right)\in\Re^{2}\left/2x-3y=0\right.\right\} </tex>$ $<tex>L:\mathbf{X}=\lambda\left(3,2\right)+\left(0,0\right)</tex>$
(II)	$<tex>Q_{0}=\left(0,0,5\right)</tex>$ $<tex>\Pi:2x-3y-z=-5</tex>$ $<tex>\vec{N}=\left(2,-3,-1\right)</tex>$

(d)

(I)	$<tex>\vec{\nabla}f\left(0,0\right)=\left(0,0\right)</tex>$ $<tex>C_{1}=\left\{ \left(x,y\right)\in\Re^{2}\left/xy=0\right.\right\} </tex>$ $<tex>L:\mathbf{X}=\lambda\left(a,b\right)+\left(0,0\right)\;\forall a,b\in\Re</tex>$
(II)	$<tex>Q_{0}=\left(0,0,1\right)</tex>$ $<tex>\Pi:z=0</tex>$ $<tex>\vec{N}=\left(0,0,-1\right)</tex>$

3.2.

3.3.

3.4.

(a)	$<tex>\Pi:x-2y+z=2</tex>$
(b)	$<tex>L:\mathbf{X}=\lambda\left(1,-1,-5\right)+\left(0,4,10\right)</tex>$

3.5.

$<tex>L:\mathbf{X}=\lambda\left(0,1,0\right)+\left(4,0,0\right)</tex>$

3.6.

$<tex>P=\left(-\frac{1}{2},\frac{1}{2},\frac{19}{4}\right)</tex>$

3.7.

(a)	$<tex>f\left(1.1,2.99\right)\approx11.64</tex>$ $<tex>f\left(1.1,2.99\right)\approx=11.9</tex>$
(b)	$<tex>f\left(2.05,-0.02\right)\approx2.03e^{2}\approx=15</tex>$

3.8.

(a)	Derivada direccional en un punto <tex>P_{0}</tex> según la dirección de un versor <tex>\breve{v}</tex> : $<tex>\frac{\partial f}{\partial\breve{v}}\left(P_{0}\right)=\underset{h\rightarrow0}{\lim}\frac{f\left(P_{0}+h\breve{v}\right)-f\left(P_{0}\right)}{h}</tex>$
(b)	Justificar: $<tex>f\in C^{1}\rightarrow D_{\breve{v}}f\left(x,y\right)=\vec{\nabla}f\left(x,y\right)\cdot\breve{v}</tex>$

3.9.

Se puede usar la fórmula $<tex>D_{\breve{v}}f\left(x,y\right)=\vec{\nabla}f\left(x,y\right)\cdot\breve{v}</tex>$ porque las funciones son diferenciables:

Suma de funciones $<tex>C^{1}</tex>$
Funciones polinómicas son $<tex>C^{1}</tex>$
Función seno es $<tex>C^{1}</tex>$

(a)	$<tex>D_{\breve{v}}f\left(-1,-1\right)=-\frac{1}{\sqrt{2}}</tex>$ $<tex>\color{blue}\breve{v}=\frac{\breve{i}+\breve{j}}{\sqrt{2}}</tex>$
(b)	$<tex>D_{\breve{v}}f\left(1,-1\right)=-\sqrt{3}-\frac{1}{2}</tex>$ $<tex>\color{blue}\breve{v}=\left(\frac{\sqrt{3}}{2},\frac{1}{2}\right)</tex>$

3.10.

(a)

$<tex>\breve{v}_{\max}=\left(\frac{3}{\sqrt{13}},\frac{2}{\sqrt{13}}\right)</tex>$ ; $<tex>D_{\breve{v}\max}f\left(2,1\right)=\sqrt{13}</tex>$
$<tex>\breve{v}_{\min}=\left(-\frac{3}{\sqrt{13}},-\frac{2}{\sqrt{13}}\right)</tex>$ ; $<tex>D_{\breve{v}\min}f\left(2,1\right)=-\sqrt{13}</tex>$
$<tex>\breve{v}_{\text{nul}}=\left(-\frac{2}{\sqrt{13}},\frac{3}{\sqrt{13}}\right)</tex>$ ; $<tex>D_{\breve{v}\text{nul}}f\left(2,1\right)=0</tex>$

(b)

$<tex>\breve{v}_{\max}=\left(0,1\right)</tex>$ ; $<tex>D_{\breve{v}\max}f\left(0,-1\right)=1</tex>$
$<tex>\breve{v}_{\min}=\left(0,-1\right)</tex>$ ; $<tex>D_{\breve{v}\min}f\left(0,-1\right)=-1</tex>$
$<tex>\breve{v}_{\text{nul}}=\left(1,0\right)</tex>$ ; $<tex>D_{\breve{v}\text{nul}}f\left(0,-1\right)=0</tex>$
$<tex>\breve{v}_{\max}=\left(\frac{2}{\sqrt{5}},\frac{1}{\sqrt{5}}\right)</tex>$ ; $<tex>D_{\breve{v}\max}f\left(1,0\right)=\frac{1}{2}\sqrt{5}</tex>$
$<tex>\breve{v}_{\min}=\left(-\frac{2}{\sqrt{5}},-\frac{1}{\sqrt{5}}\right)</tex>$ ; $<tex>D_{\breve{v}\min}f\left(1,0\right)=-\frac{1}{2}\sqrt{5}</tex>$
$<tex>\breve{v}_{\text{nul}}=\left(-\frac{1}{\sqrt{5}},\frac{2}{\sqrt{5}}\right)</tex>$ ; $<tex>D_{\breve{v}\text{nul}}f\left(1,0\right)=0</tex>$

3.11.

$<tex>D_{\breve{v}}f\left(0,0\right)=\frac{\breve{y}^{2}}{\breve{x}}</tex>$ (derivadas en todas las direcciones ¿ $<tex>\breve{x}=0</tex>$ ?)
No es diferenciable: $<tex>\underset{\left(x,y\right)\to\left(0,0\right)}{\lim}\frac{\dfrac{xy^{2}}{x^{2}+y^{4}}}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}\neq0</tex>$

3.12.

$<tex>\rlap/\exists D_{\breve{v}}f\left(0,0\right)</tex>$ !¿?!
$<tex>\color{blue}\breve{x}^{2}+\breve{y}^{2}=1</tex>$

3.13.

$<tex>\vec{v}_{\min}=\left(3,1\right)</tex>$
$<tex>D_{\breve{v}_{\min}}=\sqrt{10}</tex>$

3.14.

$<tex>\color{blue}f\text{ es diferenciable en }P_{0}</tex>$

(a)

(I)	$<tex>\vec{\nabla}f\left(P_{0}\right)=\left(1,2\right)</tex>$
(II)	$<tex>\vec{v}_{\max}=\left(1,2\right)</tex>$
(III)	$<tex>\vec{v}_{C_{k}}=\left(-2,1\right)</tex>$
(IV)	$<tex>\vec{v}_{1}=\left(1,0\right)</tex>$ ; $<tex>\vec{v}_{2}=\left(-1,1\right)</tex>$ ; $<tex>\color{blue}x_{\vec{v}}=1-2y_{\vec{v}}</tex>$

(b)

(I)	$<tex>\vec{\nabla}f\left(P_{0}\right)=\left(3,-1\right)</tex>$
(II)	$<tex>\vec{v}_{\max}=\left(3,-1\right)</tex>$
(III)	$<tex>\vec{v}_{C_{k}}=\left(1,3\right)</tex>$

(c)

(I)	$<tex>\vec{\nabla}f\left(P_{0}\right)=\left(2,4\right)</tex>$
(II)	$<tex>\vec{v}_{\max}=\left(1,2\right)</tex>$
(III)	$<tex>\vec{v}_{C_{k}}=\left(-2,1\right)</tex>$
(IV)	$<tex>\vec{v}_{1}=\left(2,0\right)</tex>$ ; $<tex>\vec{v}_{2}=\left(0,1\right)</tex>$ ; $<tex>\color{blue}x_{\vec{v}}=2\left(1-y_{\vec{v}}\right)</tex>$

(d)

(I)	$<tex>\vec{\nabla}f\left(P_{0}\right)=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{3}{\sqrt{2}}\right)</tex>$
(II)	$<tex>\vec{v}_{\max}=\left(1,3\right)</tex>$
(III)	$<tex>\vec{v}_{C_{k}}=\left(-3,1\right)</tex>$
(IV)	$<tex>\vec{v}_{1}=\left(-\sqrt{\frac{5}{2}},0\right)</tex>$ ; $<tex>\vec{v}_{2}=\left(0,-\frac{\sqrt{10}}{6}\right)</tex>$ $<tex>\color{blue}x_{\vec{v}}=-\sqrt{\frac{5}{2}}-3y_{\breve{v}}</tex>$

(e)

(I)	$<tex>\vec{\nabla}f\left(P_{0}\right)=\left(3,1\right)</tex>$
(II)	$<tex>\vec{v}_{\max}=\left(3,1\right)</tex>$
(III)	$<tex>\vec{v}_{C_{k}}=\left(-1,3\right)</tex>$
(IV)	$<tex>\vec{v}_{1}=\left(0,10\right)</tex>$ ; $<tex>\vec{v}_{2}=\left(\frac{10}{3},0\right)</tex>$ ; $<tex>\color{blue}y_{\vec{v}}=10-3x_{\breve{v}}</tex>$

(f)

(I)	$<tex>\vec{\nabla}f\left(P_{0}\right)=\left(0,0\right)</tex>$
(II)	$<tex>\rlap/\exists\vec{v}_{\max}</tex>$ , la función no crece en $<tex>P_{0}</tex>$
(III)	$<tex>\rlap/\exists\vec{v}_{C_{k}}</tex>$ , es un punto
(IV)	No es posible

(g)

(I)	$<tex>\vec{\nabla}f\left(P_{0}\right)=\left(-1,0\right)</tex>$
(II)	$<tex>\vec{v}_{\max}=\left(-1,0\right)</tex>$
(III)	$<tex>\vec{v}_{C_{k}}=\left(0,1\right)</tex>$
(IV)	$<tex>\vec{v}_{1}=\left(0,1\right)</tex>$ ; es la única dirección; $<tex>\color{blue}x_{\breve{v}}=0</tex>$

3.15.

3.16.

(a)

$<tex>f\left(x,y\right)</tex>$ es diferenciable en todo punto ya que sus derivadas parciales son continuas:
$<tex>\frac{\partial f}{\partial x}\left(x,y\right)=2xy^{2}-3y</tex>$ , $<tex>\frac{\partial f}{\partial y}\left(x,y\right)=2x^{2}y-3x</tex>$
$<tex>df=\left(2xy^{2}-3y\right)dx+\left(2x^{2}y-3x\right)dy</tex>$

(b)

$<tex>f\left(x,y\right)=x^{2}y</tex>$ , $<tex>g\left(x,y\right)=y^{2}x^{3}</tex>$ y $<tex>h\left(x,y\right)=x+y</tex>$ son funciones diferenciables por ser producto y suma de funciones diferenciables. Por lo tanto, $<tex>F\left(x,y\right)</tex>$ también lo es para todo punto (incluyendo $<tex>P_{0}</tex>$ ).
$<tex>df=\left(\begin{array}{cc} 2xy & x^{2}\\ 3y^{2}x^{2} & 2yx^{3}\\ 1+y & x+1 \end{array}\right)\cdot\left(\begin{array}{c} dx\\ dy \end{array}\right)</tex>$

3.17.

(a)	$<tex>f\left(x,y\right)=x+2y-1</tex>$
(b)	$<tex>f\left(x,y\right)=x-x^{3}-y</tex>$
(c)	Si f es constante a lo largo de la ecuación $<tex>2x+x^{2}-y=0</tex>$ y el punto $<tex>\left(0,0\right)</tex>$ forma parte de esta ecuación, entonces $<tex>\nabla\left(f\right)\left(0,0\right)=k(\frac{\partial\left(2x+x^{2}\right)}{\partial x},\frac{\partial\left(-y\right)}{\partial y})=k\left(2,-1\right)\neq\left(-1,2\right)</tex>$ .
(d)	$<tex>f\left(x,y\right)=\left(2+\sqrt{2}\right)x-2y-5-\sqrt{2}</tex>$

3.18.

(a)
(b)	Asciende: $<tex>D_{\breve{v}}f\left(10,10\right)=-\frac{150}{e}\sqrt{2}</tex>$ ; $<tex>\color{blue}\breve{v}=\left(\frac{1}{\sqrt{2}},\frac{1}{\sqrt{2}}\right)</tex>$

3.19.

(a)
(b)	$<tex>\vec{v}=\left(-3,-8\right)</tex>$ ; $<tex>-\vec{\nabla}f\left(-1,2\right)=-\left(6,16\right)</tex>$
(c)	$<tex>D_{\breve{v}}f\left(-1,2\right)=-2\sqrt{73}</tex>$ ; $<tex>\color{blue}\breve{v}=\left(-\frac{3}{\sqrt{73}},-\frac{8}{\sqrt{73}}\right)</tex>$
(d)	$<tex>D_{\breve{v}}f\left(-1,2\right)=-\frac{38}{\sqrt{5}}</tex>$ ; $<tex>\color{blue}\breve{v}=\left(-\frac{1}{\sqrt{5}},-\frac{2}{\sqrt{5}}\right)</tex>$

3.20.

3.21.

Ir al siguiente link para ver la resolución del ejercicio con applets incluido (realizado por Jorge Comas):
http://materias.fi.uba.ar/6103/contribuciones/jc/E21.html
Ahí mismo también hay figuras adicionales.

(a)

(I)	$<tex>\left(u_{0},v_{0}\right)=\left(1,1\right)</tex>$
(II)	$<tex>z=3-x-y</tex>$ ; $<tex>0\leq x\leq3</tex>$ ; $<tex>0\leq y\leq3</tex>$
(III)
(IV)	$<tex>\Pi:\begin{array}[t]{l} \mathbf{X}=\left(1,1,1\right)+\lambda\left(1,0,-1\right)+\mu\left(0,1,-1\right)\\ x+y+z=3\text{ (cartesiana)} \end{array}</tex>$

(b)

(I)	$<tex>\left(u_{0},v_{0}\right)=\left(0,2\right)</tex>$
(II)	$<tex>z=x^{2}+y^{2}</tex>$ ; $<tex>z\leq9</tex>$
(III)
(IV)	$<tex>\Pi:\begin{array}[t]{l} \mathbf{X}=\left(0,2,4\right)+\lambda\left(1,0,0\right)+\mu\left(0,1,4\right)\\ 4y-z=4\text{ (cartesiana)} \end{array}</tex>$

(c)

(I)	$<tex>\left(u_{0},v_{0}\right)=\left(2,\frac{\pi}{2}\right)</tex>$
(II)	$<tex>z=x^{2}+y^{2}</tex>$ ; $<tex>z\leq9</tex>$
(III)
(IV)	$<tex>\Pi:\begin{array}[t]{l} \mathbf{X}=\left(0,2,4\right)+\lambda\left(1,0,0\right)+\mu\left(0,1,4\right)\\ 4y-z=4\text{ (cartesiana)} \end{array}</tex>$

(d)

(I)	$<tex>\left(u_{0},v_{0}\right)=\left(\frac{\pi}{3},2\right)</tex>$
(II)	$<tex>z=2\sqrt{1-\left(y-2\right)^{2}}</tex>$ ; $<tex>z\leq2</tex>$ ; $<tex>0\leq x\leq4</tex>$ $<tex>\color{blue}\left(y-2\right)^{2}+\frac{z^{2}}{4}=1</tex>$
(III)
(IV)	$<tex>\Pi:\begin{array}[t]{l} \mathbf{X}=\left(2,\frac{3}{2},\sqrt{3}\right)+\lambda\left(1,0,0\right)+\mu\left(0,\frac{2}{\sqrt{3}},1\right)\\ \frac{2}{\sqrt{3}}y-z=0\text{ (cartesiana)} \end{array}</tex>$

(e)

(I)	$<tex>\left(u_{0},v_{0}\right)=\left(\frac{\pi}{2},2\right)</tex>$
(II)	$<tex>z=\sqrt{\frac{y^{2}}{4}-x^{2}}</tex>$ ; $<tex>z\leq3</tex>$ $<tex>\color{blue}x^{2}+z^{2}=\frac{y^{2}}{4}</tex>$
(III)
(IV)	$<tex>\Pi:\begin{array}[t]{l} \mathbf{X}=\left(0,4,2\right)+\lambda\left(1,0,0\right)+\mu\left(0,2,1\right)\\ y-2z=0\text{ (cartesiana)} \end{array}</tex>$

(f)

(I)	$<tex>\left(u_{0},v_{0}\right)=\left(0,1\right)</tex>$
(II)	$<tex>x^{2}-y^{2}=1</tex>$ ; $<tex>0\leq z\leq2</tex>$
(III)
(IV)	$<tex>\Pi:\begin{array}[t]{l} \mathbf{X}=\left(1,0,1\right)+\lambda\left(1,0,1\right)+\mu\left(0,1,0\right)\\ x=1\text{ (cartesiana)} \end{array}</tex>$

3.22.

3.23.

(a)	$<tex>z=\frac{x^{2}}{4}+\frac{y^{2}}{4}</tex>$
(b)	$<tex>\Pi:3x-y-2z=8</tex>$
(c)	$<tex>f\left(3.02,-1.01\right)\approx2.025=\frac{81}{40}</tex>$
(d)	$<tex>d=3\sqrt{14}</tex>$

4. Funciones compuestas y funciones implícitas

4.1.

(a)	$<tex>\overrightarrow{h}\left(u,v\right)=\left(v\sqrt{u}\left(\frac{\sen\left(u\right)}{u}\right)^{4}+\left(v\sqrt{u}\right)^{3}\left(\frac{\sen\left(u\right)}{u}\right)^{2},\ln\left(v\sqrt{u}\right)\right)</tex>$ Dominio: $<tex>D_{f}=\left\{ \left(u,v\right)\in\Re^{2}\left/u>0\wedge v>0\right.\right\}</tex>$
(b)	$<tex>\overrightarrow{w}\left(x,y\right)=\left(\ln\left(x\right)\sqrt{xy^{2}\left(y^{2}+x^{2}\right)},\frac{\sen\left(xy^{2}\left(y^{2}+x^{2}\right)\right)}{xy^{2}\left(y^{2}+x^{2}\right)}\right)</tex>$ $<tex>D_{f}=\left\{ \left(x,y\right)\in\Re^{2}\left/x>0\wedge y\neq0\wedge\left\|x\right\|\neq\left\|y\right\|\right.\right\} </tex>$
(c)	$<tex>h'_{v}(1,e)=(\sen^4(1)+\sen^2(1)\:3e^2,\frac{1}{e})</tex>$
(d)	Las funciones $<tex>f</tex>$ y $<tex>g</tex>$ son diferenciables en $<tex>(1,e)</tex>$ , por la tanto la composición $<tex>h=fog</tex>$ también es diferenciable en $<tex>(1,e)</tex>$ .

4.2.

(a)	$<tex>\vec\nabla z(A)=\left(\frac{1}{2},\frac{1}{2}\right)</tex>$
(b)	$<tex>-2</tex>$

4.3.

Dirección: $<tex> \breve v = \frac{(-11,-9-2e^{-2})}{||(-11,-9-2e^{-2})||}</tex>$ . Valor: $<tex>\approx 14,4</tex>$
FIXME

Falta justificar

4.4.

4.5.

4.6.

(a)	$<tex> z''_{ss}=4z''_{xx}+12z''_{yx}+9z''_{yy}</tex>$
(b)	$<tex> z''_{ts}=6z''_{xx}+5z''_{yx}-6z''_{yy} </tex>$
(c)

4.7.

4.8.

$<tex>x-y-z=0</tex>$
Existe el plano tangente porque la función $<tex>f</tex>$ es diferenciable en $<tex>(0, 1)</tex>$

4.9.

4.10.

(a)	$<tex>C^{*}(u)=\left(u\cdot\cos(u^{2}-1), u\cdot\sen(u^{2}-1),u\right)</tex>$
(b)	-

4.11.

(a)	$<tex>\vec\nabla f (A)=(-1,1) </tex>$ Función: $<tex>f(x,y)=-x+y+1</tex>$
(b)	$<tex>\vec\nabla f (A)=(1,-1)</tex>$ Función: $<tex>f(x,y)=1+x-y</tex>$
(c)	$<tex>\vec\nabla f (A)=\left(\frac{2}{3}\left(1+\sqrt{2}\right),\frac{2}{3}-\frac{4}{3}\sqrt{2}\right)</tex>$ Función: $<tex>f(x,y)=\left(\frac{2}{3}+\frac{4}{3 \sqrt{2}}\right)x+\left(\frac{1}{3}-\frac{4}{3\sqrt{2}}\right)y^2</tex>$
(d)	-

4.12.

(a)	$<tex>v=(1,0)</tex>$
(b)	$<tex>v=(1,0)</tex>$

4.13.

$<tex>L: (x,y)=\lambda(0,3)+(3,2)</tex>$

4.14.

(a)	$<tex>\vec\nabla f(4,5)=\left(-\frac{4}{3},\frac{5}{3}\right)</tex>$
(b)	$<tex>\vec\nabla f(1,2)=\left(-\frac{3}{2},2\right)</tex>$
(c)	$<tex>\vec\nabla f(1,0)=\left(0,-1\right)</tex>$

4.15.

Las derivadas cruzadas resultan iguales porque se cumplen las hipótesis del teorema de Schwarz.

(a)	$<tex>\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}\left(x,y\right)=-\frac{y^{2}}{\left(\sqrt{x^{2}-y^{2}}\right)^{3}}</tex>$ $<tex>\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}\left(x,y\right)=-\frac{x^{2}}{\left(\sqrt{x^{2}-y^{2}}\right)^{3}}</tex>$ $<tex>\frac{\partial^{2}f}{\partial x\,\partial y}\left(x,y\right)=\frac{\partial^{2}f}{\partial y\,\partial x}\left(x,y\right)=\frac{x\, y}{\left(\sqrt{x^{2}-y^{2}}\right)^{3}}</tex>$
(b)	$<tex>\frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}\left(x,y\right)=\frac{9}{\left(3x-y^{2}+z\right)^{2}}</tex>$ $<tex>\frac{\partial^{2}f}{\partial y^{2}}\left(x,y\right)=\frac{2\left(3x+y^{2}+z\right)}{\left(3x-y^{2}+z\right)^{2}}</tex>$ $<tex>\frac{\partial^{2}f}{\partial x\,\partial y}\left(x,y\right)=\frac{\partial^{2}f}{\partial y\,\partial x}\left(x,y\right)=-\frac{6y}{\left(3x-y^{2}+z\right)^{2}}</tex>$
(c)

4.16.

Conjunto de puntos: FALTA
$<tex>T'_{p}=1</tex>$ , $<tex>T'_{V}=\frac{1}{2}</tex>$

4.17.

4.18.

(a)	$<tex>u'_{x}=\frac{1}{6}</tex>$ , $<tex>v'_{x}=\frac{1}{6} </tex>$ , $<tex> u'_{y}=\frac{1}{2}</tex>$ , $<tex>u'_{y}=-\frac{1}{2} </tex>$
(b)	$<tex>x'_{u}=-6</tex>$ , $<tex>y'_{v}=2</tex>$

4.19.

(a)	$<tex>L:\, (x,y)=\lambda(1,-1)+(1,1) </tex>$
(b)	$<tex>L:\, (x,y)=\lambda(1,0)+(1,0) </tex>$
(c)	$<tex>L:\, (x,y)=\lambda(1,e-e^2)+(0,e) </tex>$
(d)	$<tex>L:\, (x,y,z)=\lambda(1,-1,-5)+(1,6,-3) </tex>$

4.20.

$<tex>f'_{r}(x_0,y_0)=(9,-4) \cdot \frac{(6-x_0,5-y_0)}{||(6-x_0,5-y_0)||}</tex>$

4.21.

4.22.

$<tex>z=4</tex>$

4.23.

$<tex>d=\sqrt{20}</tex>$

5. Polinomio de Taylor y extremos

5.1.

(a)
(b)

5.2.

$<tex>p(x,y)=2+5(x-1)-4(y-1)+3(x-1)^{2}+(y-1)^{2}-2(x-1)(y-1)+(x-1)^3</tex>$

5.3.

(a)	$<tex>P^{2}=1-\frac{1}{2}x^2-\frac{1}{2}y^2-xy</tex>$
(b)	$<tex>P^{2}=1+(x+1)+(y-1)+\frac{1}{2}(x+1)^2+(x-1)(y-1)</tex>$
(c)	$<tex>P^{2}=2(z-1)+\frac{1}{4}(x-1)(z-1)+\frac{1}{4}(y-4)(z-1)-(z-1)^2</tex>$
(d)	$<tex>P^{2}=2+2(x-1)+y^2</tex>$

5.4.

$<tex>w \approx 9,91 \cdot 10^{-3}</tex>$

5.5.

$<tex>z \approx 0,99</tex>$

5.6.

$<tex>\pi:\, -3x+5y+z=1</tex>$

5.7.

Punto crítico : sea $<tex>f:A\subseteq\Re^{n}\to\Re</tex>$ . A los puntos $<tex>\bar{x}\in A</tex>$ en los que podría haber extremos se los llama puntos críticos.
Hay de dos tipos:

Puntos donde $<tex>f</tex>$ no es diferenciable.
Puntos estacionarios: puntos donde $<tex>f</tex>$ es derivable y $<tex>\vec\nabla f\left(p\right)=0</tex>$ .

# Sea $<tex>f:A\subseteq\Re^{2}\to\Re</tex>$ una función definida en el conjunto abierto $<tex>A</tex>$ de $<tex>\Re^{2}</tex>$ :
Mínimo relativo : se dice que $<tex>f</tex>$ tiene un mínimo relativo en el punto $<tex>x_{0}\in U</tex>$ si $<tex>f\left(x_{0}\right)\leq f\left(x\right)</tex>$ .
Máximo relativo : se dice que $<tex>f</tex>$ tiene un máximo relativo en el punto $<tex>x_{0}\in U</tex>$ si $<tex>f\left(x_{0}\right)\geq f\left(x\right)</tex>$ .
Punto silla : si un entorno de $<tex>\bar{x}</tex>$ contiene puntos $<tex>x</tex>$ tales que $<tex>f\left(x\right)-f\left(\bar{x}\right)>0</tex>$ y puntos $<tex>y</tex>$ tales que $<tex>f\left(y\right)-f\left(\bar{x}\right)<0</tex>$ se dice que $<tex>\bar{x}</tex>$ es un punto silla de la función $<tex>f</tex>$ .

5.8.

Sea $<tex>f:A\subseteq\Re^{2}\to\Re</tex>$ una función definida en el conjunto abierto $<tex>A</tex>$ de $<tex>\Re^{2}</tex>$ :
Mínimo absoluto : se dice que $<tex>f</tex>$ tiene un mínimo absoluto en el punto $<tex>x_{0}\in A</tex>$ si $<tex>\forall x\in A-x_{0}\to f\left(x_{0}\right)<f\left(x\right)</tex>$ .
Máximo absoluto :se dice que $<tex>f</tex>$ tiene un máximo absoluto en el punto $<tex>x_{0}\in A</tex>$ si $<tex>\forall x\in A-x_{0}\to f\left(x_{0}\right)>f\left(x\right)</tex>$ .

5.9.

5.10.

Si.

5.11.

(a)	Punto silla en $<tex>f(0,0)</tex>$
(b)	Mínimo en $<tex>f(1,y)</tex>$ y $<tex>f(x,0)</tex>$
(c)	No existen extremos
(d)	Máximo en $<tex>f(0,0)</tex>$
(e)	Máximo en $<tex>f(0,0)</tex>$ y mínimo en $<tex>x^2+y^2=1</tex>$
(f)	Mínimo en $<tex>f(0,0)</tex>$

5.12.

(a)	Mínimo en $<tex>(2,2)</tex>$ , puntos silla en $<tex>(-2,2)</tex>$ y $<tex>(2,-2)</tex>$ , máximo en $<tex>(-2,-2)</tex>$
(b)	Mínimo en los puntos de la recta $<tex>2x-3y=-4</tex>$
(c)	Mínimo en $<tex>\left(\frac{2}{3}a-\frac{1}{3}b,-\frac{1}{3}a+\frac{2}{3}b\right)</tex>$
(d)	Punto silla en $<tex>(0,0,0)</tex>$
(e)	Mínimo en $<tex>\left(0,\frac{4}{3}\right)</tex>$ , puntos silla en $<tex>(0,0)</tex>$ y $<tex>\left(-2,\frac{2}{3}\right)</tex>$ , máximo en $<tex>(-2,0)</tex>$
(f)	Máximo en $<tex>(0,0)</tex>$ , puntos silla en $<tex>(3,\pm6)</tex>$

5.13.

Ninguna función tiene un máximo en ese punto crítico.

(a)	$<tex>k \in (-\infty,-2) \cup (2,+\infty)</tex>$
(b)	$<tex>k \in [-2,2]</tex>$

5.14.

(a)	Mínimo en $<tex>(2,0)</tex>$ , puntos silla en $<tex>(3,0)</tex>$ y $<tex>(2,-1)</tex>$ , máximo en $<tex>(3,0)</tex>$
(b)	Mínimo en $<tex>(1,-1)</tex>$ , máximo en $<tex>(-1,1)</tex>$
(c)	Mínimo en $<tex>(-1,1,1)</tex>$ , máximo en $<tex>(1,1,-1)</tex>$
(d)	Máximo en $<tex>(1,1)</tex>$ , punto silla en $<tex>(0,0)</tex>$ para $<tex>a>1, b=-3a, c=\frac{3}{2}a</tex>$
(e)	Mínimo en $<tex>(1,\frac{2}{3})</tex>$

FIXME Faltan los ejercicios 16 a 26

6. Ecuaciones diferenciales

En el siguiente enlace se encuentra la guía resuelta en su totalidad (a excepción del ejercicio 17) por Fernando Acero y Jorge Comas:
tpVI.htm
Incluye applets y un archivo pdf para imprimir. Observar que el ejercicio 17 fue agregado en el segundo cuatrimestre del 2010 y por lo tanto los ejercicios 18 y 19 de la guía aparecen como si fuesen los ejercicios 17 y 18, respectivamente.

7. Integrales de línea

7.1.

(a)	$<tex>C(t)=t(1,2,5)+(0,-1,-6)</tex>$ con $<tex>t\in(6/5,\infty)</tex>$ . Es simple.
(b)	$<tex>C(t)=\left(2 \cos(t),2\sen(t),2\right)</tex>$ con $<tex>t\in[0,2\pi)</tex>$ . Es simple.
(c)	$<tex>C(t)=\left(2 \cos(t),2\sen(t),4\cos(t)\right)</tex>$ con $<tex>t\in[0,\pi /2]</tex>$ . Es simple.
(d)	$<tex>C\left(t\right)=\left(4\cos\left(t\right),2\sqrt{3}\sen\left(t\right),1-8\cos\left(t\right)\right)</tex>$ con $<tex>t\in\left[0,2\pi\right]</tex>$ . Es simple.

7.2.

Son las mismas que el ejercicio anterior, invirtiendo el orden del intervalo de t.

(a)	$<tex>C\left(t\right)=\left(-t,-2t-1,-5t-6\right)</tex>$ con $<tex>t\leq1,2</tex>$
(b)	$<tex>C\left(t\right)=\left(2\cos\left(t\right),-2\sen\left(t\right),2\right)</tex>$ con $<tex>t\in\left[0,2\pi\right]</tex>$
(c)	$<tex>C\left(t\right)=\left(2\cos\left(t\right),2\sen\left(-t\right),4\cos\left(t\right)\right)</tex>$ con $<tex>t\in\left[-\frac{\pi}{2},0\right]</tex>$
(d)	$<tex>C\left(t\right)=\left(4\cos\left(t\right),2\sqrt{3}\sen\left(-t\right),1-8\cos\left(t\right)\right)</tex>$ con $<tex>t\in\left[0,2\pi\right]</tex>$

7.3.

(a)	$<tex>c(t)=(\cos(4t),\sen(4t))</tex>$ , con $<tex>t\in[0,\pi /2]</tex>$
(b)	$<tex>c(t)=(\cos(-\frac{t}{2}),\sen(-\frac{t}{2}))</tex>$ , con $<tex>t\in[0,4\pi]</tex>$
(c)	$<tex>c(t)=(\cos(t),\sen(t))</tex>$ con $<tex>t\in [0,2\pi)</tex>$

7.4.

(a)	Longitud: $<tex>2\pi</tex>$ $<tex>\sigma\left(t\right)=\left(\cos\left(t\right),\sen\left(t\right),4\right)</tex>$ con $<tex>t\in\left[0,2\pi\right]</tex>$
(b)	Longitud: $<tex>10\pi</tex>$ $<tex>\sigma\left(t\right)=\left(3\cos\left(\frac{t}{5}\right),3\sen\left(\frac{t}{5}\right),4\frac{t}{5}\right)</tex>$ con $<tex>t\in\left[0,10\pi\right]</tex>$ Recta tangente: $<tex>L:\bar{x}=t(-3/\sqrt{2},3/\sqrt{2},4)+(3/\sqrt{2},3/\sqrt{2},\pi)</tex>$ Plano normal: $<tex>-3/\sqrt{2}(x-3/\sqrt{2})+3/\sqrt{2}(y-3/\sqrt{2})+4(z-\pi)=0</tex>$
(c)	12 ¿?

7.5.

(a)	$<tex>\frac{\pi}{2}</tex>$
(b)	$<tex>\frac{20\sqrt{14}}{3}\approx24.944</tex>$

7.6.

(a)	$<tex>2/\sqrt{3}+\sqrt{2}/3</tex>$
(b)	$<tex>\frac{\sqrt{125}-1}{12}</tex>$
(c)	$<tex>32</tex>$
(d)	Masa: $<tex>2\sqrt{2}\pi+\frac{8\sqrt{2}}{3}\pi^{3}</tex>$ Densidad media: $<tex>1+\frac{4\pi^{2}}{3}</tex>$ Centro de masa:
(e)
(f)	3

7.7.

(a)	0
(b)	$<tex>\frac{3}{4}</tex>$

7.8.

(a)	1
(b)	$<tex>\frac{-3\pi}{2}</tex>$

7.9.

(a)	$<tex> C: y=x^{2} \cap z=2x </tex>$ Circulación: $<tex>\frac{76}{3}</tex>$ Punto inicial: (0,0,0) Punto final: (2,4,4)
(b)	$<tex>C: x=z+1 \cap y=2z+1</tex>$ Circulación: 54 Punto inicial: (0,-1,-1) Punto final: (3,5,2)

7.10.

(a)	Si. $<tex>\phi = x^2+y^2sen^2(x)</tex>$
(b)	No.
(c)	Si. $<tex>\phi = yx-zx^2+x+y^2</tex>$
(d)	No.

7.11.

(a)	El jacobiano de F no es simétrico: $<tex>\frac{\partial\bar{F}_{1}}{\partial y}=0\neq1=\frac{\partial\bar{F}_{2}}{\partial x}</tex>$
(b)	$<tex>\frac{3}{2}</tex>$ ó 1/3 (comprobar)

7.12.

(a)	$<tex>\phi = \frac{2x^2+y^2}{z}</tex>$
(b)	Son paraboloides elípticos.
(c)	$<tex>\frac{-3}{2}</tex>$

7.13.

(a)	$<tex>yx^3-\cos(y)=1</tex>$
(b)	$<tex>\frac{x^2}{y^3}+x+y^2=c, c \in R</tex>$
(c)	$<tex>xy^2-\frac{1}{3}x^3=3</tex>$
(d)	$<tex>-4x+\frac{x^2}{2}+xy-\frac{y^2}{2}+3y=c, c \in R</tex>$
(e)	$<tex>xy-\frac{x^2}{2}=2</tex>$
(f)	$<tex>xy^2=4</tex>$
(g)	$<tex>\frac{(xy)^2}{2}+y^2sen(x)=c, c \in R</tex>$

7.14.

(a)	$<tex>a=2, b=3</tex>$ . Dominio: $<tex>z>0</tex>$ Circulación: $<tex>\ln(16)+1</tex>$
(b)	$<tex> \frac{9}{4}</tex>$
(c)	En sentido horario: $<tex>-2\pi</tex>$

7.15.

$<tex>4\pi +15</tex>$

7.16.

7.17.

$<tex>\frac{31}{5}</tex>$

7.18.

(a)	4
(b)	-

7.19.

(a)
(b)

7.20.

(a)	-
(b)	-
(c)	-

7.21.

7.22.

7.23.

(a)	-
(b)	-
(c)	-
(d)	-

7.24.

7.25.

(a)	$<tex> x=c_{1}(y-y_{0})+x_{0} \cap y=c_{2}(z-z_{0})+y_{0}</tex>$
(b)	$<tex>x^2+y^2=c</tex>$
(c)	$<tex> x^2=y+c_{1} \cap x^2=z^2+c_{2}</tex>$

7.26.

(a)	-
(b)	-
(c)	-

7.27.

7.28.

8. Integrales Múltiples

8.1.

(a)	$<tex>\frac{1}{6}</tex>$
(b)	1
(c)	$<tex>\frac{1}{4}</tex>$ ó 1/2 (comprobar)
(d)	32
(e)	3
(f)	$<tex>\frac{1}{3}</tex>$

8.2.

(a)	$<tex>\int_{1}^{2}\int_{1}^{y}f\left(x,y\right)dx\, dy+\int_{2}^{4}\int_{y/2}^{2}f\left(x,y\right)dx\, dy</tex>$
(b)	$<tex>\int_{0}^{1}\int_{0}^{x}f\left(x,y\right)dy\, dx+\int_{1}^{\sqrt{2}}\int_{0}^{\sqrt{2-x^{2}}}f\left(x,y\right)dy\, dx</tex>$
(c)	$<tex>\int_{0}^{1}\int_{-\sqrt{y}}^{0}f\left(x,y\right)dx\, dy+\int_{0}^{1}\int_{0}^{\sqrt{y}}f\left(x,y\right)dx\, dy</tex>$
(d)	$<tex>\int_{0}^{1/e}\int_{-1}^{1}f\left(x,y\right)dx\, dy+\int_{1/e}^{e}\int_{e^{y}}^{1}f\left(x,y\right)dx\, dy</tex>$

8.3.

Masa: $<tex>k</tex>$
Centro de masa: $<tex>\left(0,\frac{1}{2}\right)</tex>$

8.4.

Centro de masa: $<tex>(-\frac{1}{2},\frac{71}{52})</tex>$

8.5.

(a)	$<tex>\frac{4}{3}</tex>$
(b)	0
(c)	$<tex>\frac{1}{2}(e-1)</tex>$
(d)	0

8.6.

(a)	8
(b)	$<tex>3e^{4}</tex>$
(c)	$<tex>ab\pi</tex>$
(d)	$<tex>\frac{9}{2} \ln(4)-\frac{3}{2}</tex>$

8.7.

(a)	$<tex>e-e^{-1}\approx2.35</tex>$ $<tex>\left(u,v\right)=\left(y-x,x+y\right)</tex>$
(b)	$<tex>\frac{\pi ^4}{3}\approx32.47</tex>$ $<tex>\left(u,v\right)=\left(x-y,x+y\right)</tex>$
(c)	$<tex>\frac{255}{4}\approx63.75</tex>$ $<tex>\left(u,v\right)=\left(x-2y,x+y\right)</tex>$

8.8.

(a)	$<tex>\pi(e^{r^2}-1)</tex>$
(b)	2
(c)	$<tex>3\pi a^2</tex>$

8.9.

8.10.

8.11.

(a)	$<tex>\frac{1}{6}</tex>$
(b)	$<tex>\frac{16}{3}</tex>$
(c)	$<tex>\left(1+\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \left(2 \pi\right) \left(\frac{1}{3} 2^{3/2}\right)</tex>$
(d)	$<tex>16\pi</tex>$
(e)	$<tex>\frac{7}{10}</tex>$
(f)	$<tex>\frac{63}{2}\pi</tex>$
(g)

8.12.

(a)	$<tex>\pi</tex>$
(b)	$<tex>+\infty</tex>$
(c)	$<tex>+\infty</tex>$
(d)	$<tex>\frac{\pi}{6}</tex>$
(e)	$<tex>36\pi</tex>$

8.13.

(a)	$<tex>\frac{32}{3}\pi</tex>$
(b)	$<tex>18\pi(-1-\frac{1}{\sqrt{2}})</tex>$
(c)	Faltan datos en el enunciado
(d)	$<tex>\frac{8}{9}\pi</tex>$
(e)	$<tex>\frac{128}{3}\pi</tex>$

8.14.

8.15.

$<tex>k\pi(\frac{\pi}{4}-\frac{2}{5})</tex>$

8.16.

8.17.

8.18.

8.19.

Conviene con esféricas. Integral: $<tex>2\pi</tex>$

8.20.

$<tex>k=2</tex>$ , puntos silla en $<tex>(2,1);(-2,-1)</tex>$ , máximo en $<tex>(-2,1)</tex>$ , mínimo en $<tex>(2,-1)</tex>$

8.21.

(a)	0
(b)	$<tex>\frac{32}{3}</tex>$
(c)	$<tex>\pi</tex>$

9. Integrales de Superficie

9.1.

(a)	$<tex>A=8\pi</tex>$
(b)	$<tex>A=\frac{8}{3} \left(4+\sqrt{5}+\sqrt{3}\right)</tex>$
(c)	$<tex>A=8a^2</tex>$
(d)	$<tex>A=8 \sqrt{2} \pi</tex>$

9.2.

$<tex> m = \frac{2\sqrt{5}}{3} k\pi</tex>$

9.3.

$<tex>m_{y}= 42 \sqrt{2} k \pi </tex>$ (No estoy segura) FIXME

9.4.

9.5.

9.6.

(a)	$<tex>F=\frac{4}{15}</tex>$ , con normal saliente
(b)	$<tex>F=24</tex>$
(c)	$<tex>F=\frac{8}{3}</tex>$
(d)	$<tex>F \approx 0,07</tex>$ , con normal saliente, no estoy segura