====== Segundo Parcial - Análisis Matemático I - 2005 ======

**Cátedra:** Sede Drago\\
**Fecha:** 2º Cuatrimestre 2005\\

===== Enunciado =====

==== Punto I ====

Sea <tex>f: R \to R</tex> tal que <tex>p(x)= 1+5(x-1)+2 (x-1^2) +1/3 (x-1)^3</tex> es el polinomio de Taylor de F de orden 3 en <tex>x_0=1</tex> y <tex>f^{(4)}(x)= \frac {1}{2+cos^4(\pi x)}</tex>, <tex>x \in R</tex>. Hallar el polinomio de Taylor de <tex>f'(x)</tex> de orden 2 en <tex>x_0=1</tex> y estimar el error que se comete al calcular <tex>f'(1,2)</tex> por medio del polinomio hallado.

==== Punto II ====

Hallar una función f con derivada continua que satisfaga <tex>\int_0^x ln(3+f'(t))dt= \frac {1}{4} x^2</tex>, <tex>f(0)=5</tex>.

==== Punto III ====

Calcular el área de la región comprendida entre el gráfico de <tex>f(x)=5xe^{2x}</tex> y el eje x para <tex>-1 \leq x \leq 2</tex>.



==== Punto IV ====

Encontrar todos los valores de <tex>x \in R</tex> para los cuales la serie <tex>\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(4x-1)^n}{2^n (n+3)}</tex> sea convergente. Indique para qué valores la convergencia es condicional.