====== Examen (Parcial) - CBC 28. Análisis Matemático I - 28/05/08 ======

**Fecha:** 1º Cuatrimestre 2008\\ 
**Día:** 28/05/2008

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===== Enunciado =====

==== Punto I ====

Sea <tex>(a_n)\ n\in N</tex> una sucesión que cumple <tex> a_n \geq \left (\frac{2n^2+7n+2}{2n^2+5n+1}\right)^{3n^3+n^2-1}\ \forall\ n \geq 1 </tex>. Calcular <tex>\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{\sqrt{a_n^4+1}+3a_n^2}{5a_n^2+3a_n-2} </tex>.

==== Punto II ====

Sea <tex>f(x)=\left\{ \begin{array}{lr} \displaystyle \frac{e^{2x-4}-1}{3x-6} & \mbox{ si } x\not= 2 \\ \ \ a & \mbox{ si } x=2 \end{array} \right. </tex>. Determinar <tex>a</tex> de modo tal que <tex>f</tex> sea continua en <tex>x=2</tex>. Para el valor de <tex>a</tex> hallado, calcular <tex>f\prime (2)</tex> mediante el estudio del cociente incremental.

==== Punto III ====

Demostrar que <tex>(x+2)^2\ ln(x+2)> (x+2)^2-\frac{3}{2}\ \ \forall\ x>-2</tex>.

==== Punto IV ====

Entre todos los números positivos <tex>x</tex> e <tex>y</tex> en el intervalo <tex>[0,2]</tex> que satisfacen <tex>x^2+y^2=4</tex>, hallar los que hacen máxima la suma <tex>3x+4y</tex>.

===== Resolución =====

<!-- ==== Punto I ==== ... -->

===== Discusión =====

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