====== Examen Parcial - cbc.28. Análisis Matemático I - 1° Cuatrimestre 2006 ======

**Fecha:** 1° Cuatrimestre 2005\\ 
**Tema:** 4

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===== Enunciado =====


==== Punto I ====

Sea <tex> a_n</tex> una sucesión de términos positivos que satisface:\\ <tex> $ \begin{equation} \nonumber na_{n-1} \ln\left( \frac{n-7}{n-4}\right) \leq a_n \leq 3 a_{n-1}  \end{equation} $ </tex>.\\ Demostrar que <tex>\lim_{n\rightarrow\infty}\frac{a_n}{a{n-1}}=3 </tex> y calcular <tex>\lim_{n\rightarrow\infty} \frac{\sen\left( a_n \right)}{a_n}</tex>.

==== Punto II ====

Sea <tex>f\colon \mathbf{R}\rightarrow\mathbf{R}</tex> la función biyectiva definida <tex>f(x)=e^{\displaystyle x^5}-5x{\left(1-x^2 \right)}^{7/2}</tex>. Calcular las rectas tangentes a los gráficos de <tex>f(x) </tex> y de <tex>f^{-1}(x) </tex> en los puntos <tex>\left( 0, f(0) \right) </tex> y <tex>\left( 1, f^{-1}(1) \right) </tex> respectivamente.

==== Punto III ====

Determinar la cantidad de soluciones de la ecuación <tex>3x^4-\frac{12}{x}=20</tex>, indicar cuántas son positivas y cuántas son negativas.

==== Punto IV ====

Dada <tex> g(x)=e^{\left( \displaystyle \frac{\sqrt{4x}}{x+4} \right)}</tex>, hallar el dominio y determinar, si existen el máximo y el mínimo absoluto de <tex>g </tex> y en qué puntos se alcanzan tales extremos.

===== Resolución =====

<!-- ==== Punto I ==== ... -->

===== Discusión =====

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