====== Examen Parcial - cbc.28. Análisis Matemático I - 1° Cuatrimestre 2006 ======

**Fecha:** 1° Cuatrimestre 2006\\ 
**Tema:** 2

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===== Enunciado =====

==== Punto I ====

Sea <tex>a_n </tex> una sucesión de términos positivos definida como\\ <tex> $ \begin{equation}\nonumber a_1=1, \quad a_{n+1}=\frac{\sqrt[n]{n+3}}{2}a_n, \qquad n \in \mathbf{N} \end{equation} $ </tex>\\ Calcular, si existe, el <tex>\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{3+4a_n}{4+3a_n} </tex>.

==== Punto II ====

La recta tangente al gráfico de <tex>f(x) </tex> en  <tex>x=5 </tex> es <tex>y=3x-6 </tex>. Determinar los valores de <tex>f(5) </tex> y <tex>f'(5) </tex> y hallar la ecuación de la recta tangente al gráfico de <tex>g(x)=e^{\sqrt{f(2x-1)}-3} </tex> en <tex>x=3</tex>.

==== Punto III ====

Hallar la cantidad de soluciones de la ecuación <tex>f(x)=125</tex>, siendo\\ <tex>f(x)=\left\{ \begin{array}{lr} \displaystyle \frac{3x^3}{{(x-2)}^2} & \mbox{ si } x\geq \frac{5}{3} \\ |x+1|+5 & \mbox{ si } x<\frac{5}{3} \end{array} \right. </tex>.



==== Punto IV ====

Hallar la distancia mínima del punto <tex>P=\left( \frac{1}{32}, \frac{5}{2} \right) </tex> a la parábola <tex>y=x^2+2</tex>.




===== Resolución =====

<!-- ==== **Punto IV** ==== ... -->

**Punto IV**

Es un problema de Optimización donde se minimizará el cuadrado de la Distancia (<tex>d^2</tex>).

La ecuación de la distancia es la siguiente:

<tex>d = \sqrt {\left( {y - yo} \right)^2  + \left( {x - xo} \right)^2 }</tex>

Luego, reemplazando los datos: <tex>xo=\frac{1}{32}</tex>; <tex>yo=\frac{5}{2}</tex>; <tex>y=x^2+2</tex> desarrollando, queda así:

<tex>d^2  = \left( {x^2  + 2 - \frac{5}{2}} \right)^2  + \left( {x - \frac{1}{{32}}} \right)^2</tex> Luego, 

<tex>d^2  = x^4  - x^2  + \frac{1}{4} + x^2  - \frac{x}{{16}} + \frac{1}{{1024}}</tex>

y ordenando, queda: <tex>d^2  = x^4 - \frac{x}{{16}} + \frac{257}{{1024}}</tex>

Por comodidad, escribimos que <tex>d^2=D</tex>

Derivamos <tex>D</tex> e igualamos a cero para obtener los puntos críticos:

<tex>D'(x)= 4x^3- \frac{1}{16}=0</tex>

<tex>4x^3  = \frac{1}{{16}}</tex> 

<tex>x = \sqrt[3]{\frac{1}{{64}}}</tex>

<tex>x = \frac{1}{{4}}</tex>

Para verificar si es un máximo o un mínimo, lo hacemos con la segunda derivada:

Si <tex>D''(xo)>0</tex>, entonces <tex>xo</tex> es un MÍNIMO

Si <tex>D''(xo)<0</tex>, entonces <tex>xo</tex> es un MÁXIMO

Entonces, siguiendo este criterio, nos queda:

<tex>D''(x)=12x^2</tex>

Reemplazando <tex>\frac{1}{{4}}</tex> en <tex>D''</tex> tenemos:

<tex>12(\frac{1}{{4}})^2= \frac{3}{{4}} >0 </tex>

De esta manera, decimos que <tex>xo= \frac{1}{{4}}</tex> es un MÍNIMO.

Ahora, reemplazando <tex>\frac{1}{{4}}</tex> en <tex>f(x)</tex> obtenemos <tex>y</tex>:

<tex>y= \frac{33}{{16}}</tex>

Por lo tanto, la distancia es:

<tex>d = \sqrt {\left( {\frac{{33}}{{16}} - \frac{5}{2}} \right)^2  + \left( {\frac{1}{4} - \frac{1}{{32}}} \right)^2  = } \frac{{\sqrt {245} }}{{32}} \cong 0,489</tex>

CONCLUSIÓN: "La distancia mínima desde el punto <tex>P=\left( \frac{1}{32}, \frac{5}{2} \right) </tex> hasta <tex>f(x)= x^2+2</tex> es aproximadamente <tex>0,489</tex>"

===== Discusión =====

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