====== Examen Parcial - cbc.28. Análisis Matemático I - 1° Cuatrimestre 2005 ======

**Fecha:** 1° Cuatrimestre 2005\\ 
**Tema:** 4

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===== Enunciado =====

==== Punto I ====

Sea <tex>a_n</tex> la sucesión dada en la forma recurrente por <tex>a_1=1, \ a_{n+a}=\frac{n}{5n+4}a_n</tex> para todo <tex>n\geq1</tex>. Calcule <tex> \displaystyle \lim_{n\rightarrow \infty} \left( 4^na_n+3\sqrt[n]{5} \right)</tex>.

==== Punto II ====

Dada <tex> f(x)=\left\{ \begin{array}{lr}\displaystyle \frac{\displaystyle 5x\ln(6x+1)}{\displaystyle e^{\displaystyle 8x-1}} & x\in\left( -\frac{1}{6},0 \right)\\ 0 & x\in \left[ 0,+\infty \right) \end{array} \right.</tex>, analice, mediante el estudio del cociente incremental, la existencia de <tex> f'(0)</tex>.


==== Punto III ====

Demuestre que la ecuación <tex> -x^2+4=x\cos{x}-\sen{x}</tex> tiene exactamente dos soluciones, una positiva y una negativa.

==== Punto IV ====

Dadas las funciones <tex> f(x)=\displaystyle x^2e^{\displaystyle x-4}-16</tex> y <tex> g(x)=a\sqrt{x-3}+b{\left(x-4\right)}^2-a</tex>, determine <tex> a</tex> y <tex> b</tex> para que los dos polinomios de Taylor de orden <tex> 2</tex> en <tex> x=4</tex> de <tex>f </tex> y de <tex> g</tex> coincidan.

===== Resolución =====

<!-- ==== Punto I ==== ... -->

===== Discusión =====

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