====== Examen Parcial - cbc.28. Análisis Matemático I - 1° Cuatrimestre 2005 ======

**Fecha:** 1° Cuatrimestre 2005\\ 
**Tema:** 3

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===== Enunciado =====

==== Punto I ====

Sea <tex>a_n=(4n+1) {\left[ \frac{3n^2+2}{3n^2+5} \right]}^{\displaystyle 5n^3+7n} </tex>. Calcular <tex>\lim_{n\rightarrow \infty} \frac{1}{2+3a_n}</tex>.

==== Punto II ====

Dadas las funciones <tex>f(x)=8x^2\ln\left( \frac{x}{5} \right)</tex> y <tex>g(x)=4x^2</tex>, encontrar <tex>x_0>0</tex> tal que las rectas tangentes a los gráficos de <tex> f</tex> y de <tex> g</tex> en <tex> x=x_0</tex> sean paralelas. Calcular el valor de la pendiente.

==== Punto III ====

Sea <tex>f(x)={(x-2)}^2 e^{\displaystyle -x/4}</tex>. Hallar intervalos de crecimiento y de decrecimiento y extremos locales de <tex>f</tex>. Hallar todos los <tex> k \in \mathbf{R}</tex> para los cuales <tex>f(x)=k</tex> tiene exactamente tres soluciones.

==== Punto IV ====

Sea <tex>f\colon \mathbf{R}\rightarrow \mathbf{R}</tex> una función dos veces derivable tal que el polinomio de Taylor de orden <tex> 2</tex> en <tex> x_0=-1</tex>, expresado en potencias de <tex> x</tex>, es <tex>p(x)=5-3x-6x^2</tex>. Calcular el polinomio de Taylor de orden <tex>2</tex> en <tex>x_0=1</tex>, expresado en potnecias de <tex>(x+1)</tex>, de <tex>g(x)=\displaystyle e^{\displaystyle 2x+f(x)}</tex>.


===== Resolución =====

==== Punto II ====

Si las rectas tangentes serán PARALELAS, significa que sus pendientes (<tex>m</tex>) serán IGUALES (<tex>m_f = m_g </tex>)

Por definición: <tex>m=f'(xo)</tex>, por lo tanto, en nuestro caso será: <tex>m_f = m_g  = f'(xo)</tex>

Se procede a derivar <tex>f</tex> y <tex>g</tex>...

<tex>f' (xo)=16(xo)\ln \left( {\frac{{xo}}{5}} \right) + 8(xo)^2 \frac{5}{{xo}}=8xo\left( {2\ln \left( {\frac{{xo}}{5}} \right) + 5} \right)</tex>

Por su parte, <tex>g' (xo)=8(xo)</tex>

Entonces, ya que <tex>m_f=m_g</tex> nos queda así:

<tex>8xo\left( {2\ln \left( {\frac{{xo}}{5}} \right) + 5} \right)=8(xo)</tex>

Simplificando <tex>8xo</tex> nos queda:

<tex>2\ln \left( {\frac{{xo}}{5}} \right) + 5 = 1</tex>

<tex>\ln \left( {\frac{{xo}}{5}} \right) =  - 2</tex>

<tex>\frac{{xo}}{5} = e^{ - 2}</tex>

y así nos queda que <tex>**xo = 5e^{ - 2}**</tex>

Para obtener la pendiente, reemplazamos este valor en cualquiera de las 2 derivadas:

<tex>8\left( {5e^{ - 2} } \right) = 40e^{ - 2}  = m</tex>

Por lo tanto, la pendiente es <tex>**m = 40e^{ - 2}**</tex>

===== Discusión =====

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