====== Examen (Libre) - CBC 28. Análisis Matemático I - 18/07/08 ======

**Fecha:** 1º Cuatrimestre 2008\\ 
**Día:** 18/07/2008


===== Enunciado =====

==== Punto I ====

Dada la funcion <tex>f(x)=e^{-x^{2}}</tex>, si <tex>y=mx+b</tex> es la ecuacion de una recta tangente a <tex>f</tex>, describir como intervalo o union de intervalos al conjunto de los valores que puede tomar <tex>b</tex>.




==== Punto II ====

<tex>F(x)=\int_0^x cos(t^2)dt</tex>

Aproximar <tex>F(0,01)</tex> por el polinomio de Taylor de orden 1 en <tex>x_0=0</tex>. Probar que el error cometido es <tex>\leq 10^{-10}</tex> (se puede usar que <tex>sen(x)\leq x</tex> para todo <tex>x\geq0</tex> sin demostracion).


==== Punto III ====

<tex>i)</tex> Hallar la cantidad de soluciones de la ecuacion <tex>ln(x)=\frac{x-1}{e-1}</tex> en <tex>[1;e]</tex>.\\
<tex>ii)</tex> Usando el item anterior, calcular el area encerrada por <tex>f(x)=ln(x)</tex> y <tex>g(x)=\frac{x-1}{e-1}</tex> para <tex>1\leq x\leq e</tex>.

==== Punto IV ====

Hallar <tex>f</tex> derivable tal que <tex>\frac{f'(x)}{e^{cos(x)}}=f^2(x)cos(x)sen(x)</tex> y <tex>f(\frac{\pi}{2})=-\frac{1}{2}</tex>


==== Punto V ====

Calcular todos los <tex>p>0</tex> tal que <tex>\sum^{\infty}_{n=1}n^p(\sqrt[2]{n^3+5}-\sqrt[2]{n^3+1})</tex> converge.

===== Resolución =====

<!-- ==== Punto I ==== ... -->

===== Discusión =====