====== Examen Parcial - 27 Álgebra I - 2005 ======

**Cátedra:** Sede Drago\\
**Fecha:** 1º Cuatrimestre 2005\\

===== Enunciado =====

==== Punto I ====

Dados los planos <tex>\Pi_1 : 2x+4y=8</tex>, <tex>\Pi_2: 3y-6z=18 </tex> y <tex>\Pi : 2x+y-z=1</tex>, hallar dos puntos <tex>X \in \Pi</tex> tales que <tex>d(X,\Pi_1)=d(X,\Pi_2)=2\sqrt{5}</tex>.

==== Punto II ====

Sean <tex>A=  \left[ \begin{array}{ccc} 
 1 & 3 & 2\\
 k & 0 & 1\\
 2 & 1 & 1\\
 \end{array} \right]</tex> y <tex>B=  \left[ \begin{array}{ccc} 
 k & 3 & 1\\
 5 & k & 0\\
 7 & k & 1\\
 \end{array} \right]</tex>. Hallar todos los valores de <tex>k \in R</tex> para los cuales el sistema <tex>Ax=b</tex> <tex>(b \in R^{3x1})</tex> tiene solución única y el sistema <tex>(AB)x=0</tex> tiene infinitas soluciones.

==== Punto III ====

Sea <tex>S=\{x \in R^3/ x_1+x_2=x_1-x_2+x_3=0\}</tex>. Hallar una base B de <tex>S</tex> de modo qe la primera coordenada en base B se los vectores de <tex>S</tex> sea cero, y que las coordenadas del vector <tex>(3,-1,1)</tex> en la base B sean <tex>(3,1,-1)</tex>.



==== Punto IV ====

<tex>S=\{x \in R^4/ x_1-2x_2-5x_4=x_3=0\}</tex>, <tex>T=\{x \in R^4 / 2x_1+x_2-3x_3=x_1-x_4=0\}</tex>. Encontrar si es posible un subespacio <tex>W \subset (S \cap T)^\perp</tex> tal que <tex>(S \subset T) \oplus W = S+T</tex>.