====== Examen (Parcial) - 27. Álgebra I - 19/11/08 ======

**Sede:** Ciudad Universitaria/Turno Tarde\\ 
**Fecha:** Segundo Parcial - Primera Oportunidad - 2º Cuatrimestre 2008\\ 
**Día:** 19/11/2008

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===== Enunciado =====

==== Punto I ====
Sea <tex>f:R^4\rightarrow R^4,\,f(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_2-x_4,-x_1+x_2+x_3,-x_1+x_3+x_4,x_2-x_4)</tex>\\
Definir, si es posible, un proyector <tex>p:R^4\rightarrow R^4</tex> que verifique simultaneamente:\\
<tex>p\circ{f} =0;\,f \circ{p}=0;\,p \neq 0</tex>

==== Punto II ====
Sean <tex>B=\{(1,1,1);(0,1,-1);(0,0,-1)\}</tex> y <tex>B'=\{(1,-1,0);(0,0,1);(0,1,2)\}</tex> y sea <tex>f:R^3\rightarrow R^3</tex> la transformación lineal tal que  <tex>M_{BB'}(f)=\left(\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{2}\\{1}&{2}&{0}\\{-1}&{-1}&{-1}\end{array}\right)</tex>\\
Dados <tex>S=<(1,2,0);(0,-2,1)></tex> y <tex>T=\{x \in R^3/x_2+x_3=0\}</tex>, hallar <tex>f(S) \cap T</tex>

==== Punto III ====
Sea <tex>P(x)=x^2-(1-2i)x-(1+i)</tex>. Hallar un polinomio <tex>Q(x) \in R[X]</tex>, de grado mínimo, que tenga a 3 como raíz doble, y tal que todas las raices de P sean raices de Q.

==== Punto IV ====
Sean <tex>B=\{(1,0,1);(0,-1,1);(1,-1,1)\}</tex> y <tex>f:R^3\rightarrow R^3</tex> la t.l tal que <tex>M_{EB}(f)=\left(\begin{array}{ccc} 4 & -1 & 3\\-4 & 1 & 3\\-1 & 1 & -3\end{array}\right)</tex>\\
Hallar los autovalores y autovectores de <tex>f</tex> y decidir si <tex>f</tex> es diagonalizable.


===== Resolución =====

==== Punto II ====
Busco <tex>f(S)</tex>: uso que <tex>(f(v))_{B'}=M_{BB'}(f)(v)_B</tex>\\
<tex>\Rightarrow (f(1,2,0))_{B'}=\left(\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{2}\\{1}&{2}&{0}\\{-1}&{-1}&{-1}\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{ccc} 1\\ 1 \\ 0\end{array}\right)=\left (\begin{array}{ccc} 1\\ 3 \\ -2\end{array}\right)</tex>\\
porque <tex>(1,2,0)=a(1,1,1) + b (0,1,-1) + c(0,0,-1)</tex>\\
<tex>\left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & 0 & \vdots& 1\\1 & 1 & 0 & \vdots & 2\\1 & -1 & -1 & \vdots& 0\end{array}\right)</tex> triangulo y obtengo <tex>a=1,\; b=1,\; c=0\; \Rightarrow (1,2,0)_B=(1,1,0)</tex>\\
<tex>\Rightarrow (f(1,2,0))_{B'}=(1,3,-2)</tex>\\
<tex>\Rightarrow f(1,2,0)=1(1,-1,0)+3(0,0,1)-2(0,1,2)=(1,-3,-1)</tex>\\
<tex>(f(0,-2,1))_{B'}=\left(\begin{array}{ccc}{1}&{0}&{2}\\{1}&{2}&{0}\\{-1}&{-1}&{-1}\end{array}\right)\cdot \left (\begin{array}{ccc} 0\\ -2 \\ 1\end{array}\right)=\left (\begin{array}{ccc} 2\\ -4 \\ 1\end{array}\right)</tex>\\
porque <tex>(0,-2,1)_B=a(1,1,1)+b(0,1,-1)+c(0,0,-1)</tex>\\
<tex>\left(\begin{array}{ccccc}1 & 0 & 0 & \vdots& 0\\1 & 1 & 0 & \vdots & -2\\1 & -1 & -1 & \vdots& 1\end{array}\right)</tex> triangulo y obtengo <tex>a=0,\; b=-2,\; c=1\; \Rightarrow (0,-2,1)_B=(0,-2,1)</tex>\\
<tex>\Rightarrow (f(0,-2,1))_{B'}=(2,-4,1)</tex>\\
<tex>\Rightarrow f(0,-2,1)=2(1,-1,0)-4(0,0,1)+(0,1,2)=(2,-1,-2)</tex>\\
Busco <tex>f(S)\cap T</tex>\\
<tex>f(S)=<(1,-3,-1),(2,-1,-2)></tex>\\
<tex>s\in f(S)\Rightarrow s=a(1,-3,-1)+b(2,-1,-2)=(a+2b,-3a-b,-a-2b)</tex>\\
Busco que cumpla con la ecuación de <tex>T:\; x_2+x_3=0 \Rightarrow -3a-b-a-2b=0 \Rightarrow -4a-3b=0\Rightarrow a=-\frac{3}{4}b</tex>\\
<tex>\Rightarrow</tex> reemplazando obtengo <tex>s=(\frac{5}{4}b,\frac{5}{4}b,-\frac{5}{4}b)</tex>\\
<tex>\Rightarrow f(S)\cap T=<(\frac{5}{4},\frac{5}{4},-\frac{5}{4})></tex>

==== Punto III ====
Primero busco las raices de <tex>P(x)=x^2-(1-2i)x-(1+i)</tex>\\

<tex>a=1\\
b=-(1-2i)\\
c=-(1+i)\\</tex>\\
<tex>\Rightarrow x=\frac{-b+w}{2a}/w^2=b^2-4ac</tex>\\
<tex>x=\frac{1-2i+w}{2}/w^2=(-1+2i)^2+4(1+i)=1-4i+(2i)^2+4+4i=1-4i-4+4+4i\\
\Rightarrow w^2=1 \Rightarrow |w|=\sqrt{1} \Rightarrow w=+-1</tex>\\
<tex>\Rightarrow x_1=\frac{1-2i+1}{2}=1-i</tex> y <tex>x_2=\frac{1-2i-1}{2}=-i</tex>\\
<tex>\Rightarrow</tex> Raices de <tex>P(x)=\{1-i,-i\}</tex> que a su vez tienen que ser raices de <tex>Q(x)</tex>.\\
Como <tex>Q(x) \in R[X]</tex>, si <tex>Q(x)</tex> tiene una raíz compleja, entonces, el conjugado de esta también es raíz de <tex>Q(x)</tex>\\
<tex>\Rightarrow</tex> raices de <tex>Q(x)=\{1-i,1+i,-i,i\}</tex>\\

Además, 3 tiene que ser raíz doble.\\
<tex>\Rightarrow Q(x)=(x-3)^2(x-(1-i))(x-(1+i))(x+i)(x-i)</tex> 

==== Punto IV ====
Primero busco la matríz de la t.l expresada en una sola base\\
<tex>M_E(f)=C_{BE}\cdot M_{EB}(f)=\left (\begin{array}{ccc} 1 & 0 & 1\\0 & -1 & -1\\1 & 1 & 1\end{array}\right)\cdot \left (\begin{array}{ccc} 4 & -1 & 3\\-4 & 1 & 3\\-1 & 1 & -3\end{array}\right)=\left (\begin{array}{ccc} 3 & 0 & 0\\5 & -2 & 0\\-1 & 1 & 3\end{array}\right)</tex>\\
Busco los autovalores de f, para eso necesito <tex>P(\alpha)\Rightarrow</tex> busco <tex>\left|\begin{array}{c} M(f)-\alpha I\end{array}\right |=0</tex>\\
<tex>\Rightarrow \left |\begin{array}{ccc} 3-\alpha & 0 & 0\\5 & -2-\alpha & 0\\-1 & 1 & 3-\alpha\end{array}\right |=(3-\alpha)(-2-\alpha)(3-\alpha)=0</tex> (desarrollando el determinante por la primer fila)\\
<tex>\Rightarrow</tex> autovalores de <tex>f=\{3,-2\}</tex>\\
Si <tex>\alpha = 3 \Rightarrow</tex> busco <tex>v/(M(f)-3I)v=0</tex>\\
<tex>\Rightarrow \left (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\5 & -5 & 0\\-1 & 1 & 0\end{array}\right)\cdot v=0</tex>\\
<tex>\Rightarrow \left (\begin{array}{ccc} 0 & 0 & 0\\5 & -5 & 0\\-1 & 1 & 0\end{array}\right)</tex> <tex>F_3\Leftrightarrow{F_1}</tex> <tex>\left (\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 0\\5 & -5 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right)</tex> <tex>F_2+5F_1\rightarrow F_2</tex> <tex>\left (\begin{array}{ccc} -1 & 1 & 0\\0 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\end{array}\right )</tex>

<tex>\Rightarrow</tex> Busco <tex>(x,y,z)/-x+y=0\Rightarrow x=y\Rightarrow (x,y,z)=y(1,1,0)+z(0,0,1)</tex> <tex>y,z \in R</tex>\\
<tex>\Rightarrow S_3=<(1,10),(0,0,1)></tex>\\

Como <tex>\alpha=-2</tex> es raíz simple <tex>\Rightarrow dim(S_{-2})=1</tex> ya puedo asegurar que <tex>f</tex> es diagonalizable.\\
Si <tex>\alpha=-2\Rightarrow</tex> busco <tex>v/(M(f)+2I)v=0</tex>\\
<tex>\Rightarrow \left (\begin {array}{ccc} 5 & 0 & 0\\5 & 0 & 0\\-1 & 1 & 5\end{array}\right)\cdot v=0</tex>\\
<tex>\Rightarrow \left (\begin {array}{ccc} 5 & 0 & 0\\5 & 0 & 0\\-1 & 1 & 5\end{array}\right) F_2-F_1\rightarrow F_2 \left (\begin {array}{ccc} 5 & 0 & 0\\0 & 0 & 0\\-1 & 1 & 5\end{array}\right) F_1\Leftrightarrow {F_3}  \left (\begin {array}{ccc} -1 & 1 & 5\\0 & 0 & 0\\5 & 0 & 0\end{array}\right)\\ F_3+5F_1\rightarrow F_3 \left (\begin {array}{ccc} -1 & 1 & 5\\0 & 0 & 0\\0 & 5 & 25\end{array}\right) \Rightarrow \left (\begin {array}{ccc} -1 & 1 & 5\\0 & 1 & 5\\0 & 0 & 0\end{array}\right)</tex>\\
Busco <tex>(x,y,z)/ \{</tex> <tex> -x+y+5z=0\Rightarrow x=0\\y+5z=0\Rightarrow y=-5z </tex>\\
<tex>\Rightarrow (x,y,z)=z(0,-5,1)</tex> <tex>z\in R </tex>\\
<tex>\Rightarrow S_{-2}=<(0,-5,1)></tex>\\
Efectivamente tengo una base de autovectores <tex>\{(1,1,0),(0,0,1),(0,-5,1)\}</tex>\\
<tex>f</tex> es diagonalizable. 
 
===== Discusión =====

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