====== Examen Parcial - 27. Álgebra I - 30/06/2006 ======
**Sede:** Ciudad Universitaria/Turno Mañana\\
**Fecha:** Segundo Parcial, Primera Oportunidad - 1° Cuatrimestre 2006\\
**Día:** 30/06/2006
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===== Enunciado =====
==== Punto I ====
\mbox{Sean } \mathbf{S}=\{\mathbf{x}\in\mathbf{R}^4/x_1+x_3+x_4=0\} \mbox{ y }\\
\mathbf{T}=\langle(-1,1,1,1);(1,1,2,0);(0,1,0,1)\rangle
\mbox{Definir, si es posible, una transformacion lineal }f:\mathbf{R}^4\rightarrow\mathbf{R}^4\mbox{ que verifique simultaneamente}
- f(\mathbf{S})=f(\mathbf{T})
- \dim{(\mathop{\mathrm{Nu}}{f})}=1
\mbox{Deteminar la dimension de} f(\mathbf{T})
==== Punto II ====
\mbox{Sean } B=\{\mathbf{v_1};\mathbf{v_2};\mathbf{v_3}\} \mbox{ y } B'=\{\mathbf{v_1}+\mathbf{v_2};\mathbf{v_2}+\mathbf{v_3};\mathbf{v_1}+\mathbf{v_3}\}\mbox{ bases de un espacio vectorial }\mathbf{V};\\
f:\mathbf{V}\rightarrow\mathbf{V}\mbox{ la transformacion lineal tal que }\\
M_{BB'}(f)= \left(
\begin{array}{ccc}
1 & a & 3 \\
3 & 1 & -1 \\
-1 & 0 & 1 \\
\end{array}
\right)\\
\mbox{ y } \mathbf{v}=\mathbf{v_1}+5\mathbf{v_2}\mbox{.}\\
\mbox{Determinar } a \in \mathbf{R} \mbox{ tal que } \dim{(\mathop{\mathrm{Im}}f)}=2 \mbox{, y para el }a\mbox{ hallado decidir si } \mathbf{v} \in \mathop{\mathrm{Im}}f\mbox{.}
==== Punto III ====
\mbox{Hallar todas las raices de }P(x)=x^4-6x^3+8x^2+12x-20\mbox{ sabiendo que la suma de sus raices reales es igual a cero}
==== Punto IV ====
\mbox{Sean }B=\{(1,1,0);(1,0,1);(0,1,0)\} \mbox{ y } f:\mathbf{R}^3\rightarrow\mathbf{R}^3 \mbox{ la transformacion lineal tal que } M_{BE}(f)= \left(
\begin{array}{ccc}
4 & 5 & -1 \\
4 & 2 & 2 \\
-1 & 1 & 1 \\
\end{array}
\right) \mbox{. Decidir si }f\mbox{ es diagonalizable.}
===== Resolución =====
==== Punto I ====
==== Punto II ====
==== Punto III ====
==== Punto IV ====
===== Discusión =====
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