====== Examen Parcial - 75.12. Análisis Numérico ====== **Cátedra:** Morelli\\ **Fecha:** Primera Oportunidad - Primer Cuatrimestre 2006\\ **Día:** 23/05/2006 ===== Enunciado ===== ==== Ejercicio 1 ==== Sea el siguiente sistema de ecuaciones no lineales:\\ \left\{ \begin{array}{ccl} f_1(x,y) & = & x^2+y^2-6 \\ f_2(x,y) & = & x \cdot y -2 \end{array}\right. - Desarrollar en forma teórica el método de Newton-Raphson para un sistema de n ecuaciones. - Aplicar el método para resolver el sistema dado. Avanzar un paso partiendo de x_0=2; y_0=1 - Plantear una resolución de punto fijo para el sistema. ==== Ejercicio II ==== Se quiere realizar el siguiente cálculo:\\ F(a,b)=\frac{a^2-\cos{(a\cdot b)}}{2+\mathrm{sen}(a+b)}\\ Se pide: - Obtener el Cp y el Te - Suponiendo que se trabaja con 8 dígitos de precisión, decir cuál debe ser la cota de los errores relativos de a y b para que el resultado tenga 6 dígitos correctos. - Suponiendo que a=1 \pm 0.001 y que b=0.1 \pm 0.00001 y los cálculos se realizane n una grilla con 3 dígitos de precisión. ¿Cuál es la cota del error relativo esperada a F? ==== Ejercicio III ==== Dada la función f(x)=\mathrm{sen}(x). Se pide: - Obtener el polinomio interpolador por el método de Newton en los puntos x=0,\frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2},\frac{3\pi}{2},\pi. - ¿Cuál debería ser el paso h si se desea realizar interpolación lineal con un error menor o igual al producido por el pòlinomio encontrado en el punto anterior? - Plantee todas las consideraciones necesarias y el sistema de ecuaciones resultante (no resuelva) para obtener las splies cúbicas naturales para las abscisas planteadas en el punto 1. - Implemente computacionalmente el método de Newton. ===== Resolución ===== ==== Ejercicio I ==== **Parte 1**\\ Sea F(x_1,x_2,\ldots x_n)=\left[\begin{array}{c} f_1(x_1,x_2,\ldots x_n) \\ \vdots \\ f_n(x_1,x_2,\ldots x_n) \end{array} \right]\\ Si x+\Delta x es la raíz de F(x)=0, x\in \Re^n \Rightarrow \quad F(x+\Delta x)=F(x)+J(x)\Delta x \quad \Rightarrow \quad 0=F(x)+J(x)\Delta x J(x)\Delta x=-F(x) Puede pensarse un sistema iterativo: \left\{ \begin{array}{rcl} J(x^{(k)})\Delta x^{(k+1)} & = & -F(x^{(k)}) \\ x^{(k^+1)} & = & x^{(k)}+\Delta x^{(k+1)} \end{array}\right. Partiendo de un x^{(0)} arbitrario y hasta que \|x^{(k+1)}-x^{(k)}\|=\|\Delta x^{(k+1)}\|<\varepsilon, donde \varepsilon es la precisión que se desea obtener. **Parte 2** F(x,y)=\left[\begin{array}{c} x^2+y^2-6 \\ x\cdot y-2 \end{array} \right]\\ Para hallar la raíz aploco el sistema iterativo de Newton-Rhapson, para lo que debo calcular J(x,y)=\left[\begin{array}{cc} 2x & 2y \\ y & x \end{array} \right]. x^{(0)}=\left[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right] \quad J(x^{(0)})=\left[\begin{array}{cc} 4 & 2 \\ 1 & 2 \end{array} \right] \quad \Rightarrow \quad \left[\begin{array}{cc} 4 & 2 \\ 1 & 2 \end{array} \right]\cdot \Delta x^{(1)}= \left[\begin{array}{c} 2 \\ 1 \end{array} \right] Resolviendo este sistema se obtiene \Delta x^{(1)}= \left[\begin{array}{c} \displaystyle \frac{1}{3} \\ \displaystyle \frac{1}{3} \end{array} \right]. Por lo tanto: x^{(1)}= \left[\begin{array}{c} \displaystyle \frac{7}{3} \\ \displaystyle \frac{4}{3} \end{array} \right] ** Parte 3 ** El sistema a resolver puede expresarse como F(x,y)=0, entonces puedo plantear una solución de punto fijo x^{(k+1)}=x^{(k)}+F(x^{(k)})=0, es decir: \left\{ \begin{array}{rcl} x^{(k+1)} & = & x^{(k)}+(x^{(k)})^2+(y^{(k)})^2-6 \\ y^{(k+1)} & = & y^{(k)}+x^{(k)}y^{(k)}-2 \end{array}\right. Entonces: \Phi(x,y)=\left[\begin{array}{c} x+x^2+y^2-6 \\ y+x\cdot y-2 \end{array}\right] y \Phi es la función de punto fijo tal que \Phi(R)=R donde R \mbox{ es la ra\'iz de } F(x)=0 y \displaystyle \lim_{k\rightarrow\infty}\Phi(x^{(k)})=R. ====Ejercicio III==== **Parte 1** Interpolar por los puntos: \begin{array}{||c|c|c|c|c|c||} \hline \hline x & 0 & \frac{\pi}{4} & \frac{\pi}{2} & \pi & \frac{3\pi}{2} \\ \hline f(x) & 0 & 0.7071 & 1 & 0 & -1 \\ \hline \hline \end{array} P_4(x)=a_1+a_2(x-0)+a_3(x-0)(x-\frac{\pi}{4})+a_4(x-0)(x-\frac{\pi}{4})(x-\frac{\pi}{2})+a_5(x-0)(x-\frac{\pi}{4}) (x-\frac{\pi}{2})(x-\pi) Tabla de diferencias divididas: \begin{array}{c|c|c|c|c|c|} x & 1 & 2 & 3 & 4 & 5 \\ \hline 0 & 0 & & & & \\ & & 0.9003 & & & \\ \frac{\pi}{4} & 0.7071 & &-0.3358 & & \\ & & 0.3729 & & -0.02948 & \\ \frac{\pi}{2} & 1 & & -0.4284 & & 0.02941 \\ & & -0.6366 & & 0.1091 & \\ \pi & 0 & & 0 & & \\ & & -0.6366 & & & \\ \frac{3\pi}{2} & -1 & & & & \\ \hline \end{array} Entonces: P_4(x)=0.4003 x - 0.3358 x(x-\frac{\pi}{4})-0.02948 x(x-\frac{\pi}{4})(x-\frac{\pi}{2})+0.02941 x(x-\frac{\pi}{4})(x-\frac{\pi}{2})(x-\pi) **Parte 2** Primero debemos acotar el error de P_4(x) f(x)-P_4(x)=\frac{f^{(5)}(\xi)}{5!}x(x-\frac{\pi}{4})(x-\frac{\pi}{2})(x-\pi)(x-3\frac{\pi}{2}) f(x)=\mathrm{sen}(x) \quad f^{(5)}(x)=\cos{(x)} \leq 1 \left| f(x)-P_4(x) \right| \leq \frac{1}{5!} \left( \frac{3}{2}\pi \right) \left( \frac{5}{4}\pi \right) \pi \pi \left( \frac{3}{2}\pi \right)=\frac{45}{5! 16}\pi^5\leq 7.173 Para interpolación lineal en un intervalo de paso h \left| f(x)-P_1(x) \right| \leq \frac{\left| f^{(2)}(\xi) \right| }{2!}\left| (x-x_0)(x-x_0-h)\right| \leq \frac{1}{2!} \left(\frac{2 x_0 +h}{2}\right)=\frac{x_0}{2}+\frac{h}{4} haciendo: \frac{x_0}{2}+\frac{h}{4}\leq 7.1723 \Rightarrow h \leq 28.7 Un paso tan grande es inconsistente, pero esto surge de la acotación grosera de \left| f(x)-P_4(x) \right| que fue realizada sin el debido análisis. **Parte 3** s(x)= \left\{ \begin{array}{ccr} s_1(x)=a_1+b_1 x +c_1 x^2 +d_1 x^3 & \quad & x \in \left[ 0,\frac{\pi}{4} \right) \\ s_2(x)=a_2+b_2 x +c_2 x^2 +d_2 x^3 & \quad & x \in \left[ \frac{\pi}{4},\frac{\pi}{2} \right) \\ s_3(x)=a_3+b_3 x +c_3 x^2 +d_3 x^3 & \quad & x \in \left[ \frac{\pi}{2},\pi \right) \\ s_4(x)=a_4+b_4 x +c_4 x^2 +d_4 x^3 & \quad & x \in \left[ \pi,3\frac{\pi}{2} \right) \end{array} \right. Planteo las ecuaciones de continuidad: \begin{array}{lclclcl} s_1(0) & = & f(0) & \quad & s_1(\frac{\pi}{4}) & = & f(\frac{\pi}{4}) \\ s_2(\frac{\pi}{4}) & = & f(\frac{\pi}{4}) & \quad & s_2(\frac{\pi}{2}) & = & f(\frac{\pi}{2}) \\ s_3(\frac{\pi}{2}) & = & f(\frac{\pi}{2}) & \quad & s_3(\pi) & = & f(\pi) \\ s_4(\pi) & = & f(\pi) & \quad & s_4(3\frac{\pi}{2}) & = & f(3\frac{\pi}{2}) \end{array} Y para las derivadas primeras: \begin{array}{rcl} {s'}_1(\frac{\pi}{4}) & = & {s'}_2(\frac{\pi}{4}) \\ {s'}_2(\frac{\pi}{2}) & = & {s'}_3(\frac{\pi}{2}) \\ {s'}_3(\pi) & = & {s'}_4(\pi) \end{array} Y derivadas segundas: \begin{array}{rcl} {s''}_1(\frac{\pi}{4}) & = & {s''}_2(\frac{\pi}{4}) \\ {s''}_2(\frac{\pi}{2}) & = & {s''}_3(\frac{\pi}{2}) \\ {s''}_3(\pi) & = & {s''}_4(\pi) \end{array} Y la condición de spline natural: \begin{array}{rcl} {s''}_1(0) & = & 0 \\ {s''}_4(3\frac{\pi}{2}) & = & 0 \end{array} **Parte 4** Realizar un algoritmo que obtenga los a_i del polinomio interpolador de Newton en un vector N. LEER X, Y, n PARA i=1...n A(i,1)=Y(i) FIN PARA i PARA j=2...n PARA i=j..n A(i,j)=(A(i,j-1)-A(i-1,j-1))/(X(i)-X(i-j+1)) FIN PARA i FIN PARA j PARA k=1...n N(k)=A(k,k) IMPRIMIR 'a_',k,'=',N(k) FIN PARA k FIN ===== Discusión ===== Falta pasar\\ Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá o mándame un mail [[gaston_k264@hotmail.com|GK]]