====== Examen Parcial - 75.12. Análisis Numérico ======
**Cátedra:** Griggio\\
**Fecha:** Primera Oportunidad - Segundo Cuatrimestre 2007\\
**Día:** 31/10/2007\\
**Tema:** 1
===== Enunciado =====
==== Ejercicio I ====
Dado el siguiente sistema lineal A \cdot x = b y utilizando una grilla numérica de punto flotante de 3 dígitos con redondeo simétrico. Se pide lo siguiente:
\left[ \begin{array}{ccc}
3.13 & 142 & 1 \\
1.6 & 3.2 & 2 \\
4.5 & 7.8 & 3 \end{array} \right]
\left[ \begin{array}{c}
x_{1} \\
x_{2} \\
x_{3} \\
\end{array} \right] =
\left[ \begin{array}{c}
290 \\
14 \\
29.1 \\
\end{array} \right]
- Hallar la solución del sistema mediante el método de Gauss sin pivoteo. Hallar también la factorización LU de la matriz A. (12 puntos)
- Utilizando la factorización hallada en el punto anterior, realizar un paso de refinamiento iterativo. (10 puntos)
- Hallar la solución mediante el método de Gauss con pivoteo parcial por intercambio de filas. (13 puntos)
- Compare las soluciones halladas en los tres puntos anteriores e indique qué método es más eficaz y porqué. La solución real del sistema es (1,2,3). También indique si puede utilizar los resultados de los primeros dos puntos para estimar K(A). ¿Está bien condicionado el sistema? (10 puntos)
==== Ejercicio II ====
Dada la función f(x) = x - 1.9^{-x}, se pide encontrar el cero de f(x) que se encuentra en el intervalo [0;1]:
- Mediante la función de iteración de punto fijo g_{1}(x) = 1.9^{-x}. (15 puntos)
- Mediante el método de Newton-Raphson. (15 puntos)
En ambos casos efectúe los cálculos para llegar al punto fijo respectivo con un error absoluto menor que \varepsilon = 10^{-4}. Verifique si ambas funciones satisfacen las condiciones del Teorema del Punto Fijo. Calcule en ambos casos el orden de convergencia y la constante asintótica del error.
==== Ejercicio III ====
Dadas las siguientes 4 condiciones, se pide hallar el polinomio interpolante de menor grado que las satisface. (25 puntos)
\begin{array}{ccc}
x & f(x) & f'(x) \\
-1 & -2 & - \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & - \end{array}
===== Resolución =====
==== Ejercicio I ====
==== Ejercicio II ====
==== Ejercicio III ====
La tabla de diferencias divididas por el método híbrido entre Newton y Hermite:
\begin{array}{c|c|c|c|c}
x & f(x) & & & \\
\hline
-1 & -2 & & & \\
& & 3 & & \\
0 & 1 & & -3 & \\
& & 0 & & 1 \\
0 & 1 & & -1 & \\
& & -1 & & \\
1 & 0 & & &
\end{array}
P(x) = -2 + 3 (x+1) - 3 x (x+1) + 1 x^2 (x+1) = x^3 - 2x^2 + 1
Verificamos que el polinomio verifique las condiciones:
Derivando obtenemos: P'(x) = 3x^2 - 4x
P(-1) = -2
P(0) = 1
P(1) = 0
P'(0) = 0
Como vemos, satisface las cuatro condiciones pedidas.
Nota: Como el polinomio interpolador es único, aunque se resuelva por otro método (por ejemplo, Lagrange) debemos obtener el mismo resultado.
P(x) = x^3 - 2 x^2 + 1
===== Discusión =====
Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá