====== Examen Final - 75.12. Análisis Numérico I - 28/07/08 ======

**Cátedra:** Tarela\\ 
**Fecha:** ? Oportunidad - 1º Cuatrimestre 2008\\ 
**Día:** 28/07/2008

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===== Enunciado =====

==== Problema 1 ====
Para un población aislada, en la que se propaga una enfermedad contagiosa, el numero de personas <tex>z</tex>
que al tiempo <tex>t</tex> se separa del resto por aislamiento se describe como: <tex>\frac{dz}{dt} = q \cdot[m-z-x_0 \cdot e^{\left(-\frac{k \cdot z}{q}\right)}]</tex> con <tex>q, k</tex> constantes mayores que cero,<tex>m</tex> poblacion total,<tex>x_0</tex> cantidad de personas vulnerables y <tex>t</tex> en días.\\ 
a) discretizar usando Euler explicito y analizar estabilidad del sistema\\ 
b) Para el caso <tex>m = 100.000</tex>, <tex>x_0 = 99.000</tex>, <tex>q = 2.10^{-6}</tex> y <tex>k = 0,3</tex> encontrar el numero de individuos al cabo de 30 días.

<note>
Ayuda: Considerar <tex>r<<1</tex> de forma que <tex>e^{-x(1+r)} = e^{-x} . (1-rx)</tex>
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==== Problema 2 ====
Para la integral doble, hallar en forma exacta el error cometido al resolverla mediante cuadratura de Gauss con 2 puntos: <tex>I = \int_0^1 {\int_0^1 {x^2 y + xy^2 } dx} dy</tex>

Para ello determine los coeficientes y puntos de Gauss. Explica el resultado\\ 
Sugerencia: integre en una dirección y luego en otra.

==== Pregunta 1 ====
Explique 3 métodos numéricos de distinto orden de convergencia para resolver una ecuación no lineal. 
Enumere ventajas y desventajas relativas entre ellos.

==== Pregunta 2 ====
Explique la principal motivación que llevo al desarrollo de métodos multipaso para resolver una EDO. 

===== Resolución =====

<!-- ==== Punto I ==== ... -->

**Punto I**

<tex>u_{n+1} = u_n + h q \left[ m - u_n - x_0 e^{ \frac{-k u_n}{q} } \right] </tex>

<tex>u_{n+1} + \epsilon_{n+1} = u_n + e_n + h q \left[ m - u_n - \epsilon_n - x_0 e^{ \frac{-k}{q}(u_n + \epsilon_n) } \right] </tex>

<tex>u_{n+1} + \epsilon_{n+1} = u_n + e_n + h q \left[ m - u_n - \epsilon_n - x_0 e^{\frac{-k u_n}{q}(1 + \frac{\epsilon_n}{u_n}) } \right] </tex>

<tex>u_{n+1} + \epsilon_{n+1} = u_n + e_n + h q \left[ m - u_n -\epsilon_n - x_0 e^{ \frac{-k u_n}{q} } (1 + \frac{\epsilon_n}{u_n}) \right] </tex>

<tex>u_{n+1} + \epsilon_{n+1} = u_n + hq \left[ m - u_n - x_0 e^{ \frac{-k u_n}{q} } \right] + \epsilon_n + h q \left[ -\epsilon_n + x_0 \frac{\epsilon_n k}{q} e^{ \frac{-k u_n}{q} } \right] </tex>

<tex>\epsilon_{n+1} = \epsilon_n \left( 1 - h q + h k x_0 e^{ \frac{-k u_n}{q} } \right) </tex>

<tex>\lvert 1 - h q + h k x_0 e^{ \frac{-k u_n}{q} } \rvert < 1 </tex>

<tex>-1 < 1 - h q + h k x_0 e^{ \frac{-k u_n}{q} } < 1 </tex>

<tex>-2 < - h q + h k x_0 e^{ \frac{-k u_n}{q} } < 0 </tex>

<tex>-2 < h \left( k x_0 e^{ \frac{-k u_n}{q} } - q \right) < 0 </tex>

<tex> 0 < h \left( q - k x_0 e^{ \frac{-k u_n}{q} } \right) < 2 </tex>

<tex>0 < h < \frac{2}{q - k x_0 e^{ \frac{-k u_n}{q} } } </tex>

<tex>k x_0 e^{\frac{-k u_n}{q}} \to 0 </tex>

<tex>0 < h < \frac{2}{q} </tex>
===== Discusión =====

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Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.
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