=====Exámen Final - 75.12 Análisis Numérico I=====
**Cátedra:** Cavaliere - Tarela \\
**Fecha:** Segundo cuatrimestre, 2013 \\
**Día:** 18/12/2013 \\

=====Enunciado=====
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=====Resolución=====

====Problema 1====
===Parte a)===
Se plantea el cambio de siguiente cambio de variable:

<tex>
v=\frac{d\theta}{dt} \Rightarrow v'=\frac{d^2\theta}{dt^2} \\
v'(0)=0
</tex>

Aplicamos este cambio a la ecucación original, quedando el sistema:

<tex>\theta '=v \\
v'=-\frac{g}{L}\theta</tex>

Antes de aplicar Euler como se pide, hay que recordar que

<tex>
\frac{d\theta}{dt}=f_\theta (\theta_n ,v_n,t_n) \\
\frac{dv}{dt}=f_v (\theta_n ,v_n,t_n)
</tex>

Dicho esto, discretizamos las funciones aplicando Euler:

<tex>
\begin{array}{rcl} 
 \displaystyle v_{n+1} & = & \displaystyle v_n + \Delta x \cdot f_v (\theta_n ,v_n,t_n) \\ 
 & = & \displaystyle v_n + \Delta x \cdot(-\frac{g}{L} \theta_n) \\  
 & = & \displaystyle v_n - \Delta x \cdot \frac{g}{L} \theta_n \\ 
\end{array}
\\
\\
\begin{array}{rcl} 
 \displaystyle \theta_{n+1} & = & \displaystyle \theta_n + \Delta x \cdot f_\theta (\theta_n ,v_n,t_n) \\ 
 & = & \displaystyle \theta_n + \Delta x \cdot v_n \\  
\end{array}
</tex>

En donde, sin olvidarnos las condiciones iniciales, se cumple que

<tex>
\theta(0)=\theta_0=\frac{\pi}{20} \\
v'(0)=v_0=0
</tex>

===Parte b)===
Si aplicamos un paso de <tex>\Delta x = 0.05</tex> podemos tener una decente aproximación en el séptimo paso.
El valor de la derivada en dicho paso es <tex> v_7 = \frac{d\theta}{dt}(0.35) = -0.8329 </tex> \\

==NOTA:==
Con un paso <tex> \Delta x = 0.025 </tex> la derivada se conoce en el paso catorce y da <tex> v_{14} = \frac{d\theta}{dt}(0.35) = -0.7662 </tex> \\
La solución analítica del problema es <tex> \theta(t) = \frac{\pi}{20} \cos(2\sqrt{5} \cdot t) </tex> \\
y la derivada evaluada en <tex> t = \frac{\pi}{4\sqrt{5}} \cong 0.351 </tex> da <tex> -0.7025 </tex>