====== Examen Final - 75.12. Analisis Numérico I - 01/08/2007 ======

**Cátedra:** Griggio-Navarro / 3\\ 
**Fecha:** Tercera Oportunidad - Primer Cuatrimestre 2007\\ 
**Día:** 01/08/2007

<note important>
Esta página está incompleta; podés ayudar completando el material.
</note>

===== Enunciado =====

==== Punto I ==== 
<tex>
y'' = -3y'- 2y +6t + 9\\
y(0)=3 \qquad y'(0)=-1\\
\\
W_{n+1} = W_n + hf(t_n,W_n)
</tex>

=== Parte A ===
Transformar la ecuación en un sistema de ecuaciones diferenciales de primer orden.\\
=== Parte B ===
Discretizar las ecuaciones obtenidas en la //Parte A// mediante el método de //Euler// convenientemente generalizado.\\
=== Parte C ===
Estudiar la estabilidad del sistema.\\

==== Punto II ====
<tex>
I = \int_1^7 \ln x \, dx
</tex>
=== Parte A ===
Evaluar //I// usando el método de //Simpson compuesto// con un error menor a 0,005.
=== Parte B ===
Calcular el valor exacto de //I// y comparar con el resultado de la //Parte A// y verificar que el error es menor a 0,005.

==== Punto III ====
Se desea interpolar con //spline cúbica natural// una función con 4 nodos. Explicar cuáles son las incógnitas y ecuaciones que completan el problema.


===== Resolución =====

==== Punto II ====
=== Parte A ===
La fórmula del error de discretización para el método es: <tex>\left| {\frac{{ - h^4  \cdot \left( {b - a} \right)}}{{180}} \cdot f^{(IV)} \left( \xi  \right)} \right|</tex>.\\ 
Como <tex>f^{(IV)} \left( x \right) = \frac{{ - 6}}{{x^4 }}</tex>, resulta <tex>f^{(IV)} \left( \xi  \right) \le \frac{{ - 6}}{{1^4 }} =  - 6</tex> ya que 1 ≤ ξ ≤ 7.\\ 
Pidiendo que <tex>\Delta  = \left| {\frac{{ - h^4  \cdot \left( {7 - 1} \right)}}{{180}} \cdot f^{(IV)} \left( \xi  \right)} \right| = \left| {\frac{{ - h^4  \cdot \left( {7 - 1} \right)}}{{180}} \cdot \frac{{ - 6}}{{\xi ^4 }}} \right| = \frac{{h^4 }}{5} \cdot \left| {\frac{1}{{\xi ^4 }}} \right|</tex> resulte <tex>\Delta  \le \frac{{h^4 }}{5} \cdot \left| {\frac{1}{{1^4 }}} \right| \le \frac{{h^4 }}{5} \le 0,005</tex> y despreciando los errores de redondeo frente a los de truncamiento se puede despejar el paso //h//, que resulta //h//≤0,3976353643.\\ 
Usando paso //h//=0,3 es <tex>n = \frac{{b - a}}{h} = \frac{{7 - 1}}{{0,3}} = 20</tex>.\\ 
Calculando según la fórmula de //Simpson compuesto// <tex>I \approx \frac{h}{3}\left[ {f\left( {x_0 } \right) + 4 \cdot \sum\limits_{k = 0}^{\frac{n}{2} - 1} {f\left( {x_{2k + 1} } \right)}  + 2 \cdot \sum\limits_{k = 1}^{\frac{n}{2} - 1} {f\left( {x_{2k} } \right)}  + f\left( {x_n } \right)} \right]</tex>, donde <tex>f\left( x \right) = \ln x</tex> resulta <tex>I \approx {\rm{7}}{\rm{,621290594}}</tex>.\\ 

=== Parte B ===
En forma exacta es: <tex> I = \int_1^7 {\ln x\,dx}  = \left. {\left[ {x\ln x - x} \right]} \right|_1^7  = 7 \cdot \ln 7 - 6 = {\rm{7}}{\rm{,621371043}}</tex>.\\ 
Se comprueba que resulta una diferencia recién en el 4º dígito decimal.

===== Discusión =====

<note warning>
Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.
</note>