====== Examen Final - 75.12. Analisis Numérico I ======

**Cátedra:** Griggio-Navarro\\ 
**Fecha:** Primera Oportunidad - Primer Cuatrimestre 2007\\ 
**Día:** 18/07/2007

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===== Enunciado =====

==== Punto I ==== 
<tex>
\begin{array}{c|ccccccccc}
x    &  1.0  &  1.1  &  1.2  &  1.3  &  1.4  &  1.5  &  1.6  &  1.7  &  1.8  \\
\hline
f(x) & 1.543 & 1.669 & 1.811 & 1.971 & 2.151 & 2.352 & 2.577 & 2.828 & 3.107  \end{array}
</tex>

  - Estimar <tex>I = \int_{1}^{1.8} f(x) \, dx</tex> mediante la fórmula de trapecios con <tex>h = 0.4</tex>, <tex>h = 0.2</tex>, <tex>h = 0.1</tex>.
  - La función tabulada es <tex>\cosh x = \dfrac{ {e}^{x} + {e}^{-x} }{2}</tex>. Cuáles son los errores de <tex>h = 0.4</tex>, <tex>h = 0.2</tex>, <tex>h = 0.1</tex>. Comparar los errores dividiendo previamente por <tex>h^2</tex>.

==== Punto II ====

Dada la ecuación diferencial de segundo orden:\\ \\ <tex> \dfrac{ {\partial}^{2} y }{ \partial {t}^{2} } = f \left( t , y , \frac{\partial y}{\partial t} \right) </tex> con <tex>y(t_{0}) = y_{0}</tex>, <tex>y'(t_{0}) = v_{0}</tex>

  - Escribir el sistema de ecuaciones diferenciales (SED) de primer orden equivalente.
  - Discretizar el SED aplicando el siguiente esquema predictor-corrector, generalizado convenientemente:\\ <tex>w^{*}_{n+1} = w_{n} + h \cdot f(t_{n},w_{n})</tex>\\ <tex>w_{n+1} = w_{n} + h \cdot f(t_{n+1},w^{*}_{n+1})</tex>\\
  - Escribir el algoritmo que implemente lo obtenido en el punto anterior.
  - Plantear la discretización obtenida anteriormente para el siguiente problema y estimar <tex>y(0.2)</tex> usando <tex>h = 0.1</tex>:\\ <tex>y'' = - y (1 + y^2)</tex> con <tex>y(0) = 1</tex>, <tex>y'(0) = 0</tex>

===== Resolución =====

==== Punto I ==== 

Fórmula de Trapecios Compuesto:

<tex>T(h) = \frac{h}{2} \cdot \left( f(x_{0}) + 2 \cdot \sum\limits_{i=1}^{n-1} f(x_{i}) + f(x_{n}) \right)</tex>

Pasamos a calcular en particular para <tex>h = 0.4</tex>, <tex>h = 0.2</tex>, <tex>h = 0.1</tex>.

<tex>T(h = 0.4) = \frac{0.4}{2} \cdot ( 1.543 + 2 \cdot 2.1251 + 3.107 ) = 1.7904</tex>

<tex>T(h = 0.2) = \frac{0.2}{2} \cdot ( 1.543 + 2 \cdot 6.539 + 3.107 ) = 1.7724</tex>

<tex>T(h = 0.1) = \frac{0.1}{2} \cdot ( 1.543 + 2 \cdot 15.359 + 3.107 ) = 1.7684</tex>

El error de la fórmula de trapecios compuesto es:

<tex> \vert E_{T} \vert <= \frac{b-a}{12} \cdot h^{2} \cdot M_{2} </tex>

Lo que falta para poder hacer las comparaciones es una cota para la derivada segunda: <tex>M_{2}</tex>

Derivamos dos veces la función: <tex>\cosh '' = \senh ' = cosh</tex>

En particular la cota de la derivada segunda es la cota de la función en el intervalo, que se puede ver que es el valor máximo es el último valor de la tabla. Entonces <tex>M_{2} = f(1.8) = 3.107</tex> y lo reemplazamos en la fórmula del error:

<tex> \vert E_{T} \vert <= \frac{1.8-1.0}{12} \cdot h^{2} \cdot 3.107 = 0.20713 \cdot h^{2} </tex>

El error de trapecios depende del cuadrado del paso <tex>h</tex>, pero al dividir por esta expresión, obtenemos la misma relación para todo <tex>h</tex>. Luego, si dividimos por <tex>h^{2}</tex> nos queda:

<tex> \dfrac{\vert E_{T} \vert}{h^{2}} <= 0.20713 </tex>

En particular, los errores para los pasos calculados son:

Para <tex>h = 0.1</tex>, <tex> \vert E_{T} \vert <= 2.0713 \cdot 10^{-3} </tex>

Para <tex>h = 0.2</tex>, <tex> \vert E_{T} \vert <= 8.2853 \cdot 10^{-3} </tex>

Para <tex>h = 0.4</tex>, <tex> \vert E_{T} \vert <= 0.0331413 </tex>

Como dato adicional, el valor real de la integral es: <tex>1.766973094</tex>.

==== Punto II ==== 

===== Discusión =====

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