====== 70.03 Medios de Representación "A" - Trabajo Práctico - Problemas de Magnitud ====== **Período:** 1er Cuatrimestre 2007\\ \\ **Alumno:** García Mendive, Iñaki\\ ===== Lámina ===== ===Resolución=== {{ materias:70:70:03:4d_1.png?200}} - **Hallar la icnografía de la cubierta:** Para ello, empecemos por trazar la icnografía de la base, tal como nos indican (dos puntos de la misma deben estar contenidos en una recta paralela a la fundamental). Una vez hecho esto, dibujemos las alturas de este triángulo de la base: donde se corten estará O'. Ahora vemos, sin embargo, que no podemos completar la icnografía tan simplemente, pues no conocemos las distancias \overline{O'F'} = \overline{O'E'} = \overline{O'D'}. Debemos recurrir, pues, a una proyección auxiliar: imaginemos que seccionamos a la cubierta laminar con un plano vertical, según los segmentos \overline{OC} y OD. Imaginemos que de las dos partes de la cubierta, nos quedamos con la que contiene a los puntos E y B (que en icnografía, sería la mitad //de la derecha//), y proyectémosla desde un punto impropio en la dirección \overrightarrow{AB} sobre un plano perpendicular a la fundamental((Para entender mejor la operatoria mencionada, así como la que sigue, ver el trazado auxiliar a la derecha de la icnografía en la lámina terminada.)). En primer lugar, veamos que tanto C''_1 como B''_1\equiv A''_1 se localizan sobre la nueva fundamental [1] en una paralela a \overline{A'B'} trazada por los puntos en cuestión. Por otro lado, notamos que, en esta nueva ortografía, veríamos a los segmentos \overline{C''_1 O''_1} y \overline{D''_1 O''_1} en verdadera magnitud. Pero entonces no es difícil encontrar O''_1: tomamos la distancia \overline{OC} de la [[http://wiki.foros-fiuba.com.ar/materias:70:03:tp4d_002_20070601_1|hoja de datos]], que será el radio de un arco de circunferencia que trazaremos con centro en C''_1. Donde este arco corte a la perpendicular a [1] trazada por O' estará O''_1. Para encontrar D''_1 trazamos, con centro en O''_1 un arco de circunferencia de radio \overline{OD} (que también obtenemos de la hoja de datos). Observemos ahora, que el ángulo \widehat{ODB} (o \widehat{ODA}, para el caso es lo mismo) es recto, y que así se verá en la nueva ortografía: porque O'D' es paralela a [1] (es frental para la nueva ortografía) y \overline{DB} no es perpendicular al plano de proyección auxiliar (o sea, no es perpendicular a la fundamental original)((Para más detalles sobre la proyección ortogonal de un ángulo recto, ver: di Lorenzo, Eduardo Oscar, //Geometría Descriptiva, tomo I//, página 61 (parágrafo 29).)). En síntesis, sabemos la longitud de \overline{O''_1 D''_1} y que \widehat{O''_1 D''_1 B''_1}=90^\circ. Esto es suficiente para determinar a D''_1: trazamos el segmento \overline{B''_1 O''_1} y por su punto medio dibujamos una semicircunferencia de radio \frac{\overline{B''_1 O''_1}}{2}. Donde esta corte al arco antes trazado, estará D''_1, y uniéndolo con O''_1 y con B''_1 vemos que efectivamente el susodicho ángulo es recto((Esta es una aplicación del //teorema del arco capaz//. Más información al respecto [[http://wiki.foros-fiuba.com.ar/materias:70:03:tp1b|aquí]].)). Ahora, finalmente, podemos completar la icnografía de la cubierta laminar, trazando por el D''_1 recién encontrado una perpendicular a [1] hasta cortar a \overline{C'O'}. Tracemos ahora, para terminar, una circunferencia de centro O' y radio \overline{O'D'}: donde ésta corte a la prolongación de \overline{A'O'} tendremos a E', y donde corte a la prolongación de \overline{B'O'} tendremos a F' (para que esto último qeude más claro, ver lámina). Notar que tanto \overline{B'E'} como \overline{A'F'} **no** son perpendiculares a la fundamental original (o lo que es lo mismo, **no** son paralelos a [1]). Para terminar la proyección auxiliar, encontremos E''_1\equiv F''_1: trazamos una perpendicular a [1] por E' ó por F' y la cortamos con una paralela a [1] trazada por D''_1. Estos dos puntos coincidentes nos serán útiles para encontrar \varphi. - **Hallar la ortografía de la cubierta:** Como primer paso, localicemos la ortografía de los puntos A, B y C trazando por A', B' y C' perpendiculares a la fundamental hasta cortarla: allí se localizan respectivamente A'', B'' y C''. En cuanto a O'', éste se halla sobre una perpendicular a la fundmaental trazada por O', siendo la elevación de O la distancia de O''_1 a [1]. D'' se localiza sobre la misma perpendicular que O'', y su distancia a la fundamental es la distancia de D''_1 a [1]. Como F y E tienen la misma elevación que D, si por D'' trazamos una paralela a la fundamental y la cortamos con perpendiculares a la misma trazadas por E' y por F' obtenemos respectivamente a E'' y a F''. - **Hallar la tercera proyección de la cubierta:** Para esto, tracemos por O'', D'', E'' y por F'' paralelas a la fundamental (las últimas tres son coincidentes entre sí). Ahora, tracemos también paralelas a la fundamental por O', A', B', C', D', E' y F' hasta cortar a [1], y con centro en C''_1 ((donde se cortan la fundamental original y [1].)) y extremo en cada una de esas intersecciones, trazamos un cuarto de circunferencia en sentido antihorario, para trasladar esas intersecciones a la línea de tierra original. Por los puntos que correspondan a E, a F y a D levantamos verticales que corten a la paralela a la fundamental trazada por D'', para encontrar allí a E'''\equiv F'''. Por el punto correspondiente a O levantamos una vertical hasta cortar a la paralela a la fundamental trazada por O'', para encontrar a O'''. C'''\equiv C''_1 y A'''\equiv B''' se encuentran sobre la fundamental. - **Hallar el ángulo **\omega** entre planos **ODA** y **ODB**:** Resolver este ítem no es tan difícil como quizás parezca a primera vista. Basta darse cuenta que \overline{AB}=\overline{AD}=\overline{DB}\overline{A'B'}=7.5 \, m, o sea que el triángulo \triangle ABD es idéntico al triángulo \triangle A'B'C' que es la base de la cubierta laminar. Y como el ángulo \omega buscado es, en definitiva, el formado por \overline{AD} y \overline{DB} ((Por ser \overline{OD} (recta de intersección de los dos planos) perpendicular a ambas.)), \omega es también el ángulo \widehat{A'C'B'}. - **Hallar el ángulo **\varphi** entre planos **OCE** y **OC**:** Para encontrar este ángulo, similarmente a lo hecho en el segundo ítem de [[http://wiki.foros-fiuba.com.ar/materias:70:03:tp4b_002_20070511_1|ésta lámina]], vamos a hacer un cambio de plano de proyección hasta tener a la recta \overline{CO} (intersección de los dos planos) perpendicular al icnográfico. Primero, notemos que en el cambio de planos ya hecho para el primer ítem, la antedicha recta está en posición frental, con lo cual sólo nos resta la mitad del trabajo: lograr posicionarla como recta de punta. Para ello elegimos una fundamental [2] perpendicular a \overline{C''_1 O''_1}. Seguidamente, sobre una prolongación de \overline{C''_1 O''_1} y a partir de [2] llevamos la distancia de O' a [1] (que es igual a la distancia de C' a [1]), encontrando con esto a O'_2\equiv C'_2. Para localizar a E'_2 y a F'_2 se procede de forma similar: se traza por E''_1\equiv F''_1 una paralela a \overline{C''_1 O''_1}, y a partir de [2] se miden respectivamente la distancia de E' a [1] y de F' a [1]. \varphi es el ángulo que forman \overline{E'_2 O'_2\equiv C'_2} y \overline{F'_2 O'_2\equiv C'_2}. //En cuanto a la visibilidad en cada una de las proyecciones, ésta se puede obtener mediante el //método de los puntos dobles//, explicado detalladamente para [[http://wiki.foros-fiuba.com.ar/materias:70:03:tp2d_002_20070601_1|esta lámina]], y ejemplificado sucintamente en el tercer ítem de [[http://wiki.foros-fiuba.com.ar/materias:70:03:tp3a_002_20070608_1|esta otra lámina]].// ===== Discusión ===== Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.