====== 70.03 Medios de Representación "A" - Trabajo Práctico - Intersecciones ====== **Período:** 1er Cuatrimestre 2007\\ \\ **Alumno:** García Mendive, Iñaki\\ ===== Lámina ===== **Datos:**\\ \\ {{:materias:70:03:3a-datos.png?100 |Hoja de Datos}}\\ \\ === Resolución === {{ materias:70:70:03:3a_1.png?200}}\\ - **Hallar la recta **i** de intersección entre **\alpha** y **\beta**:** Para encontrar un primer punto I_1 de i, empecemos por usar un plano \rho proyectante sobre el ortográfico. El mismo corta a \beta según i_{\beta \rho}, definida por A y 1; y a \alpha según i_{\alpha \rho}, definida por 2 y 3. i''_{\beta \rho}\equiv \rho_2,((No es casual: justamente por eso hemos elegido a \rho proyectante.)) por lo cual fácilmente determinamos 1'' y, bajando por éste una vertical hasta \overline{B'C'}, tenemos 1'. Por 1' y A' trazamos, con suma facilidad, i'_{\beta \rho}. En el caso de \alpha, también se da que i''_{\alpha \rho}((No es casual: justamente por eso hemos elegido a \rho proyectante.)), con lo cual ubicamos fácilmente a 2'' y a 3'' y, bajando por cada uno una vertical hasta a' y b' respectivamente, encontramos 2' y 3', por los cuales trazamos i'_{\alpha \rho}. i'_{\beta \rho} \cap i'_{\alpha \rho} = I'_1, y subiendo por éste una vertical hasta cortar a \rho_2 \equiv i''_{\alpha \rho} \equiv i''_{\beta \rho} encontramos I''_1.\\ Para encontrar otro punto, I_2 de i empleamos un plano \tau, el cual — en un arrebato de fiaca total — no sólo hemos elegido proyectante (sobre el icnográfico), sino que además hemos hecho coincidir su traza \tau_1 con \overline{A'C'}. Como consecuencia de esto, i_{\beta \tau} \equiv \overline{AC},((Sepa disculpar, lector, hay un error en la nomenclatura de i''_{\beta \tau}: en vez de ello, está escrito i''_{\beta \iota}.)) y sólo nos resta encontrar entonces i''_{\alpha \tau} (recordar que i'_{\alpha \tau} \equiv \tau_1). Subiendo una vertical por 4' y por 5' se encuentran respectivamente 4'' y 5'' sobre a'' y b''. Por estos dos se traza i''_{\alpha \tau}. i''_{\alpha \tau} \cap i''_{\beta \tau} = I''_2, así que bajando por éste una vertical hasta \tau_1 \equiv i'_{\alpha \tau} \equiv i'_{\beta \tau} encontramos I'_2.\\ Uniendo I'_1 con I'_2 tenemos i' y uniendo I''_1 con I''_2 tenemos i''. - **Hallar el punto **L** de intersección entre **\beta** y **r**:** Para esto utilizaremos un plano proyectante, que por arte de birlibirloque lo elegiremos sobre el ortográfico, siendo entonces i''_{\beta \phi} \equiv \phi_2 \equiv r''. \phi debe proyectar a r((en este caso lo hace sobre \Pi_2.)) porque el método de resolución que empleamos en este caso es: encontrar la recta intersección entre ambos planos, y luego el punto que es intersección entre las dos rectas en cuestión. Para empezar, \phi_2 corta a \overline{A''B''} en 1'' y a \overline{C''D''} en 2''. Bajando estos puntos respectivamente a \overline{A'B'} y a \overline{C'D'} tenemos 1' y 2', por los cuales trazamos i'_{\beta \phi}. La intersección de ésta con r' da L', y subiendo por éste una vertical hasta r' se trova L'', con lo cual queda solucionado el problema.\\ Queda evaluar la visibilidad: para ello empleamos el método de los puntos dobles, como ya hemos hecho [[http://wiki.foros-fiuba.com.ar/materias:70:03:tp2d_002_20070601_1|aquí]] (una lámina dedicada casi completamente al tema de la visibilidad de las proyecciones). Puntos tales como el 1'' y el 2'', en los cuales se cortan //las ortografías// r'' y \overline{A''B''} ó respectivamente \overline{C''D''}. Si, bajando una vertical por 1'', miramos la icnografía notamos que el alejamiento de \overline{AB} es mayor que el de r, (y lógicamente, si bajamos una vertical por 2'' y miramos la icnografía, vemos que sucede lo contrario): podemos así determinar la visibilidad en ortografía. Para hacer lo propio en la primera proyección, debemos elegir otro par de puntos dobles: aquellos en donde se cortan //las icnografías// \overline{A'D'} y \overline{B'C'} con r'.\\ Nótese que, en este ejercicio, para estar seguros que los cuatro puntos dados sean coplanares, deben ser paralelas entre sí //por lo menos dos// de las cuatro rectas dadas. Caso contrario, habría que verificar si ellas forman realmente un plano. - **Hallar la recta **i** de intersección entre **\alpha** y **\beta**:** Por la similitud entre éste ejercicio y el primero (y no sólo de nombre), omito la explicación de la resolución del mismo. Advierto, sin embargo, un error en la nomenclatura: donde dice i'_{\beta o} debería rezar i'_{\beta \rho}.\\ En lo que a visibilidad concierne, dada la similitud (quizás no tan aparente en primera instancia) con el ejercicio anterior, nos limitaremos a exponer el caso de la ortografía. Elegimos el punto doble 1'': bajando por él una vertical hasta cortar a \overline{M'P'} y a \overline{A'C'}. La idea es determinar si, para ése punto, \overline{MP} se encuentra //delante de// \overline{AC} o viceversa. Como se observa en icnografía, es la segunda opción: dibujamos entonces \overline{M'P'} en trazo discontinuo desde 1'' hasta i''_{\alpha \beta}, y en consecuencia en trazo continuo de i''_{\alpha \beta} en adelante. Lógicamente (trate de visualizar la ortografía de los planos y cómo se intersecan), \overline{N''P''} también debe dibujarse en trazo discontinuo entre 2'' y i''_{\alpha \beta} (por supuesto que esto se puede comprobar efectuando un procedimiento análogo al recién aplicado para el caso de \overline{M''P''}). Observamos también que por todo esto B'' debe ser invisible y así también los segmentos involucrados de \overline{B''A''} y \overline{B''C''}. Cabe aclarar: el estar ciertos segmentos de las proyecciones de i_{\alpha \beta} dibujados en línea de trazos **no** responde a temas de visibilidad. \\ //Sobre temas de intersección de planos, ver el Apéndice al primer tomo del libro //Geometría Descriptiva// del Ingeniero Eduardo Oscar di Lorenzo.// ===== Discusión ===== Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.