====== 70.03 Medios de Representación "A" - Trabajo Práctico - Empalmes ====== **Período:** 1er Cuatrimestre 2007 **Alumno:** García Mendive, Iñaki ===== Lámina ===== **Datos:** (ver [[http://wiki.foros-fiuba.com.ar/_media/materias:70:03:datos_(empalmes).jpg|hoja de datos]])\\ \\ //Recomendación para hacer el trazado definitivo en esta lámina:// a los fines de lograr un trazado definitivo del mismo tono y grosor en toda la lámina, conviene priorizar ciertos elementos sobre otros. Por empezar, en las circunferencias resulta más difícil lograr un trazado uniforme que en las rectas. Por ello, siempre conviene trazar primero las circunferencias, y una vez que éstas han sido bien delineadas, proceder a trazar las rectas. En cuanto a cuáles circunferencias trazar primero y cuáles después, no es indistinto: resultan particularmente difíciles las circunferencias de radios menores, por ello es juicioso trazarlas primero a éstas que a las de radios mayores.\\ \\ ===Resolución:=== {{ materias:70:70:03:1c_1.png?200}}\\ - **Tangentes a una circunferencia:** tenemos el punto P, y a una distancia d=90\, mm de él, el punto O_1, centro de una circunferencia c de radio R_1=30\, mm. Para encontrar las tangentes a esta circunferencia por P debemos trazar otra circunferencia c_m, de radio r=45\, mm cuyo centro es el punto medio del segmento \overline{P O_1}. Los puntos I y F donde ambas circunferencias se cortan son los puntos de tangencia que buscábamos. Por cada uno de ellos, y por P, trazamos las dos tangentes que necesitábamos.\\ Este método se justifica por el //teorema del arco capaz//, también conocido como el //teorema del ángulo inscrito// o //[[http://es.wikipedia.org/wiki/Teorema_de_Tales|teorema de tales]]//. Sucintamente, y a los efectos prácticos de este ejercicio, el teorema dice: dados dos puntos (O_1 y P) diametralmente opuestos de una circunferencia (c_m), los dos segmentos que unen a estos dos puntos con un tercero de la circunferencia forman 90^\circ. Ahora bien, ¿cómo sabemos qué tercer punto de la circunferencia c_m tomar, de manera de obtener las tangentes a c? Pues bien, los segmentos \overline{O_1 I} y \overline{O_1 F} son radios de c, y simultáneamente I y F pertenecen a c_m: por tanto, los segmentos \overline{P I} y \overline{P F} resultan //normales// respectivamente a \overline{O_1 I} y a \overline{O_1 F}, siendo por ello //tangentes// a la circunferencia c dada. - **Tangentes exteriores:** tenemos el punto O_1, centro de una circunferencia c_1 de radio R_1=30\, mm; y a una distancia d=90\, mm de él, el punto O_2, centro de otra circunferencia c_2, de radio R_2=15\, mm. Ahora imaginemos lo siguiente: que el radio R_1 y el radio R_2 comienzan a decrecer a igual velocidad, hasta que uno de ellos (en este caso, R_2) se hace cero. El otro (R_1) resulta la diferencia entre ambos radios. ¿En qué se han convertido esas dos tangentes exteriores que buscábamos? Bueno, si uno lo mira fijo, puede notar una cierta similitud entre éste ejercicio y el anterior: O_2 se ha convertido en análogo del P, y el O_1 (valga la redundancia) en análogo del O_1. ¿Qué podemos concluir, entonces? Que las tangentes que buscamos son //paralelas// a estas otras dos tangentes. Más aún, conocemos el método para encontrar estas otras dos tangentes que han resultado del decrecimiento de los radios. Encontrémolas, pues. Volviendo al dibujo, tracemos, con centro en O_1 una circunferencia c_3 de radio igual |R_2-R_1| (que viene siendo igual a R_2). Luego, trazamos otra circunferencia c_m, con centro en el punto medio de \overline{O_1 O_2} y radio r=45\, mm. La intersección de estas dos circunferencias nos define dos puntos de tangencia de c_3 (llamémoslos I y F, como a los del ejercicio anterior) ((No están nominados en el dibujo.)). Si ahora prolongamos el segmento \overline{O_1 I} y el \overline{O_1 F} hasta c_1 tenemos los puntos de tangencia de la misma. Ahora, trazando dos segmentos, respectivamente paralelos a \overline{O_1 I} y a \overline{O_1 F}, por 0_2 tenemos los otros dos puntos de tangencia que necesitábamos, sobre la segunda circunferencia (c_2). Podemos ahora, finalmente, trazar las tangentes exteriores que buscábamos. - **Tangentes interiores:** tenemos el punto O_1, centro de una circunferencia c_1 de radio R_1=15\, mm; y a una distancia d=90\, mm de él, el punto O_2, centro de otra circunferencia c_2, de radio R_2=30\, mm. El procedimiento en este caso es análogo al aplicado en los casos anteriores, aunque en éste quizá eso no sea tan explícitamente así. Para empezar, usemos nuestra imaginación nuevamente, como en la vez anterior: queremos las //tangentes interiores// a ambas circunferencias. Por ello, imaginemos que el radio de la primera circunferencia __decrece __ con la misma rapidez con la que el radio de la segunda circunferencia __crece __, hasta que la aquélla se convierte en un punto. El problema se habría reducido (como habíamos imaginado en el caso anterior) entonces a resolver el primer ejercicio, y las tangentes que buscamos no son sino paralelas a estas dos nuevas tangentes: tangentes a una circunferencia de radio igual a 45\, mm que pasan por el punto O_1. Hallémoslas: tracemos esa circunferencia c_3 de centro O_2 y radio 45\, mm, y otra c_m, con centro en el punto medio de \overline{O_1 O_2} y radio también igual a 45\, mm. Los puntos de intersección entre ambas (llamémoslos, en un rapto de inspiración, I y F) ((No están nominados en el dibujo.)) serán (junto con O_1) los puntos de paso de dos tangentes a la circunferencia c_3. Paralelas respectivamente a esas dos tangentes serán las que buscábamos en un principio. Donde los segmentos \overline{O_2 I} y \overline{O_2 F} cortan a la circunferencia c_2 tenemos los puntos de tangencia a la misma. Para c_1: trazamos una paralela a \overline{O_1 I} por O_1, pero //del otro lado// del segmento \overline{O_1 O_2} (mirando la lámina terminada se entiende mejor esta última frase). Del mismo modo se traslada una paralela a \overline{O_2 F}. Las intersecciones de estos dos últimos segmentos con c_1 determinan los dos puntos de tangencia que nos restaban. - **Tres curvas:** tenemos el punto O_1, centro de una circunferencia c_1 de radio R_1=30\, mm; y a una distancia d=95\, mm de él, el punto O_2, centro de otra circunferencia c_2, de radio R_2=40\, mm. El objetivo ahora es hallar el centro de una circunferencia c_e que sea simultáneamente tangente a c_1 y a c_2. Sabemos, por lo pronto, que el radio de dicha circunferencia c_e es R_e=15\, mm. Este problema, no lo es tanto quizás, es más bien un ejercicio pues su resolución, como se verá, es harto sencilla. Tracemos, con centro en O_1, una nueva circunferencia c_{1+} de radio R_1+R_e=45\, mm; y con centro en O_2, otra nueva circunferencia c_{2+} de radio R_2+R_e=55\, mm. Los dos puntos que pertenecen a c_{1+} \cap c_{2+} son las dos posibles soluciones a este ejercicio. - **Curva y rectas:** este último ejercicio no presenta mayores dificultades en cuanto a su resolución. Se tienen dos rectas, inclinadas 60^\circ una respecto de la otra, y se las quiere empalmar mediante un arco de circunferencia de radio R_e=30\,mm. Para ello, a cada una de las dos rectas se le traza una paralela a una distancia igual al radio R_e=30\, mm dado. La intersección de estas dos paralelas da el punto O_e buscado, centro de la circunferencia c_e cuyo arco buscamos. Lo que nos falta, encontrar los puntos de tangencia de c_e para así delimitar el arco, no es difícil: por O_e tracemos una normal a cada paralela. Donde las normales cortan a las rectas originales correspondientes, se tienen los dos puntos de tangencia buscados, y se pueden empalmar con suma belleza y gracia las susodichas rectas. ===== Discusión ===== Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.