====== 70.03 Medios de Representación "A" - Trabajo Práctico - Hélice & Helicoide ====== **Período:** 1er Cuatrimestre 2007\\ \\ **Alumno:** García Mendive, Iñaki\\ ===== Lámina ===== \\ **Datos:** * r=15\, mm, radio del cilindro que contiene a la hélice. * p=70\, mm, altura del cilindro y paso de la hélice.\\ \\ {{ materias:70:70:03:11b_2.jpg?200|Armado del Helicoide a partir de su desarrollo}} {{ materias:70:70:03:11b_3.jpg?200|Armado del Helicoide a partir de su desarrollo}} {{ materias:70:70:03:11b_4.jpg?200|Armado del Helicoide a partir de su desarrollo}}\\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ \\ ===Resolución=== {{ materias:70:70:03:11a_1.png?200}} - **Hallar las proyecciones icnográfica y ortográfica de la hélice:** A este fin debemos primero trazar los correspondientes contornos aparentes del cilindro que la contiene. En icnografía, a 72\, mm de la fundamental y a 125\, mm del margen derecho de la lámina, ubicamos el centro de una circunferencia c de radio r=15\, mm. Circunferencia que será simultáneamente contorno aparente icnográfico del cilindro y de la hélice. En ortografía dibujamos un réctángulo de alto p=70\, mm y de ancho igual a 2r.\\ Para hallar la ortografía de la //hélice//: dividimos a la circunferencia en icnografía en un cierto número de partes iguales (ocho, en este caso), y al paso (la altura del cilindro) en ortografía en el mismo número de partes iguales. Las icnografías 0', 1', 2', … 8' de los puntos de la hélice se encuentran sobre c en las marcas de división efectuadas. El punto en ortografía (0'', 1'', 2'', … 8'') que le corresponde a cada uno de ellos se encuentra levantando por 0', 1', 2', … 8' una vertical hasta cortar respectivamente a la fundamental, a la primera línea con la que se dividió al cilindro, a la segunda línea, … a la octava línea (que es la última, y es por ello también parte del contorno aparente ortográfico del cilindro). La unión de los puntos 0'', 1'', 2'', … 8'' así obtenidos resulta en una sinusoide. Nótese que, por quedar detrás del cilindro, la fracción de curva comprendida entre 2'' y 6'' es invisible, mientras que el resto es visible. - **Hallar las proyecciones en planta y en elevación del helicoide:** El helicoide desarrollable está formado por la unión de las tangentes a la hélice en cada uno de sus puntos. Nosotros, naturalmente, no trazaremos todas esas tangentes, sino que nos avocaremos a dibujar las que corresponden a los puntos 0, 1, 2, … 8 cuyas proyecciones acabamos de obtener.\\ Primero trabajaremos en planta: para esto es convieniente saber que la traza del helicoide sobre el icnográfico es la [[http://mathworld.wolfram.com/Involute.html|involuta]] o desarrollante de la circunferencia c,((Una curva tal que c es el lugar de las sucesivas posiciones de su centro de curvatura. Para más información al respecto ver el parágrafo 11 (página 19) del Tomo II de //Geometría Descriptiva// del Ingeniero Di Lorenzo.)) lo que implica que la longitud de la icnografía de cada tangente tg_1', tg_2', … tg_8' será igual al arco de c comprendido entre 0' y el punto 1', 2' … 8' en cuestión. Así, por ejemplo, la longitud de tg_3' es igual al arco de c comprendido entre 0' y 3'. Uniendo los extremos de cada una de las tangentes, tenemos la curva, traza icnográfica del helicoide desarrollable.\\ Y para encontrar la ortografía tg_1'', tg_2'' … tg_8'' de cada tangente se levanta por el extremo de cada tg_1', tg_2' … tg_8' (es decir, por cada H_{tg_1}', H_{tg_2}' … H_{tg_8}') una vertical hasta cortar a la fundamental en H_{tg_1}'', H_{tg_2}'' … H_{tg_8}'', respectivamente. Uniendo H_{tg_1}'', H_{tg_2}'' … H_{tg_8}'' con el correspondiente punto 1'', 2'' … 8'' se obtiene la ortografía buscada para cada tangente. Así, por ejemplo para tg_6'' se levanta por el extremo de tg_6' (por la traza icnográfica H'_{tg_6}) una vertical (que coincide con tg_6') hasta cortar a la fundamental en H''_{tg_6}, punto que unimos con 6'' para obtener tg_6'' (que es coincidente con el lateral izquierdo del contorno aparente ortográfico del cilindro). Nótese que el ángulo \beta (ángulo que forman tangentes a la hélice con el plano de la base del cilindro (que en este caso es \Pi_1)) se aprecia en verdadera magnitud tanto en tg_4'' como en tg_8''. Verifíquese también que tg_3'' sea paralela a tg_5''.\\ En lo que a visiblidad concierne, en icnografía todo el helicoide es visible. En ortografía, en cambio, las porciones del mismo que se encuentran detrás del cilindro (a saber, ciertos segmentos de tg_3, tg_4 y tg_5) son invisibles y se dibujan por ello en línea de trazos. Es importante remarcar lo siguiente: hay ciertas partes del //cilindro// que en ortografía son invisibles pues están precedidas por el helicoide. La primera, que no es muy difícil de notar, está tapada por la parte del helicoide limitada por la tangente en 0 y la tangente en 2. A pesar de esto, la porción de contorno aparente ortográfico del cilindro afectada no se dibuja en línea de trazos pues coincide con tg_2''. Es así que esta primera región invisible no presenta mayor relevancia. En cuanto a la segunda parte que nos ocupa, ésta es tapada por una mínima fracción del helicoide: la limitada por la tangente en 6 por y la tangente en 8. Es así que el segmento del lateral izquierdo del contorno aparente ortográfico del cilindro que comienza en 6'' y termina en su intersección con tg_8'' es invisible y lo dibujamos por ello en línea de trazos (en la lámina resuelta ni ha sido dibujado en línea de trazos, ha sido dejado en trazado previo). - **Hallar la evoluta de la hélice:** Para esto debemos hallar el radio de curvatura \rho de la hélice, que es constante para cada punto de la misma. A tal fin utilizaremos un método gráfico que consiste en lo siguiente: por la esquina inferior derecha del rectángulo, que es el contorno aparente ortográfico del cilindro, trazamos una paralela l a tg_4'' tal que el ángulo formado entre l y la fundamental (f) sea \beta. Donde l corta a la ortografía e'' del eje e del cilindro le trazamos una perpendicular p hasta cortar a la fundamental. El segmento limitado por l \cap f y por p \cap f tiene la longitud \rho buscada. Este radio, visto así en verdadera magnitud, corresponde a los puntos 2 y 6 de la hélice, por lo que si llevamos un segmento de longitud \rho a la izquierda de 2'' y a la derecha de 6'' tenemos la ortografía K_2'' y K_6'' del centro de curvatura de cada uno de los dos puntos. ¿Cómo encontramos el centro de curvatura para cada punto restante? Pues bien, hallemos primero las icnografías K_2' y K_6': bajamos por K_2'' y por K_6'' respectivamente una vertical hasta cortar a \overline{6'2'}. La icnografía de la evoluta ((Lugar de los sucesivos centros de curvatura de la hélice.)) será una circunferencia de radio \rho - r, concéntrica con la icnografía de la hélice. Subiendo por cada K_0', K_1' … K_8' una vertical hasta cortar respectivamente a la fundamental f, a la primera línea de división, … a la última línea, tenemos las ortografías K_0'', K_1'' … K_8'' de los centros de curvatura que buscábamos. Unidas estas ortografías se obtiene una sinusoide invertida y de menor amplitud que la original. La proyección vertical de la evoluta es enteramente invisible pues se encuentra dentro del cilindro. - **Hallar el Triedro de Frenet en el punto 3:** primero hallaremos las trazas del plano \omega osculador de la hélice: éste está determinado por la tangente (tg_3) y por la normal principal (n_p). A la tangente ya la tenemos pues es parte del helicoide. La normal principal, de las infinitas normales a la hélice en 3 (que forman un plano normal), es aquella que contiene al centro de curvatura K_3. n_p será por ello horizontal, cuyas trazas V'_{n_p} y V''_{n_p} se encuentran fácilmente. En cuanto a su visibilidad, n_p' es invisible desde 7' hasta su intersección con tg_8' pues en ese tramo está debajo del helicoide; por otra parte, el segmento de n_p'' donde n_p se encuentra dentro y/o detrás del cilindro también es invisible (en icnografía los puntos que limitan este segmento son 7' y 2'). Ahora que tenemos las dos proyecciones de estas dos rectas, dibujemos las trazas de \omega: \omega_1 pasa por el extremo de tg_3' (donde tg_3 corta a \Pi_1) y es paralela a n_p'. A \omega_2 lo trazamos por donde \omega_1 corta a la fundamental y por V''_{n_p}. Gracias a que hemos obtenido las trazas del osculador, podemos ahora trazar b' y b'', proyecciones de la binormal que le es ortogonal. Así, por 3' trazamos b' \perp \omega_1 coincidente con tg_3'. Acto seguido, por 3'' trazamos b'' \perp \omega_2, con la ayuda de la cual encontramos H'_b. b'' es invisible desde H''_b hasta donde corta al contorno aparente del cilindro.\\ Ahora que tenemos las tres rectas que definen al triedro, sólo resta encontrar los dos planos tangente y normal. Empecemos por el tangente \tau: será proyectante sobre el icnográfico pues las dos rectas tg_3 y b que lo determinan se proyectan coincidentemente en icnografía. Así, será \tau_1 \equiv tg_3' \equiv b', y \tau_2 perpendicular a la fundamental, trazada por donde \tau_1 corta a la línea de tierra. En cuanto al plano normal \nu (determinado por n_p y b), su traza horizontal \nu_1 será paralela a n_p' y pasará por H'_b. nu_2 pasará por donde nu_1 corta a la fundamental y por V''_{n_p}. Queda así concluido el trazado del triedro de Frenet y con esto, el de la lámina. ===== Discusión ===== Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.