====== Parcialito - 70.03. Medios de Representación "A" - XX/05/2007 ====== **Cátedra:** 002 — Botet - Sande - Vergez.\\ **Fecha:** 1° (y única) Oportunidad - 1° Cuatrimestre 2007\\ **Día:** XX/04/2007 ===== Enunciado ===== ==== Punto I ==== \\ **Datos:** \alpha(\alpha_1,\alpha_2),\ P(P',P'').\\ \\ **Hallar:** distancia\ (d)\ de\ P\ a\ \alpha.\\ \\ {{:materias:70:03:2_i_2.zip|Hoja de Datos y Resolución }} HAY UN ERROR en la resolución((se ha girado con radio PI'' en lugar de hacerlo con radio PI'.)), alguien corríjalo por favor.\\ \\ \\ ==== Punto II ==== \\ **Datos:** \alpha(\alpha_1 \equiv \alpha_2),\ r(r',r'').\\ \\ **Hallar:** \acute a ngulo\ \eta\ entre\ \alpha\ y\ r.\\ \\ \\ ==== Punto III ==== \\ **Datos:** a(a',a''),\ P(P',P'').\\ \\ **Hallar:** distancia\ (d)\ de\ P\ a\ a.\\ \\ \\ ===== Resolución ===== ==== Punto I ==== \\ {{:materias:70:03:2_i_2.zip|Hoja de Datos y Resolución }} HAY UN ERROR en la resolución((se ha girado con radio PI'' en lugar de hacerlo con radio PI'.)), alguien corríjalo por favor.\\ Para empezar, debemos hacer lo que se llama //determinar la magnitud// que se quiere obtener. Esto es, en este caso, encontrar el segmento de la normal n del plano que se quiere en verdadera magnitud. Para ello es necesario, en principio, encontrar las proyecciones del punto I intersección de n con \alpha. Bueno, en realidad primero deberíamos trazar las proyecciones de n: n' se traza perpendicular a \alpha_1 y pasante por P'; n'' se traza perpendicular a \alpha_2 y pasante por P''. Ahora sí, estamos en condiciones de hallar \alpha \cap n, para lo cual usaremos un cómodo y muy conveniente plano \rho, proyectante sobre el ortográfico, y tal que su traza \rho_2 sea coincidente con n''((claro, porque si no, no contendría a n.)). La recta i''_{\alpha \rho} también coincide con n'', y en la intersección de esa con \alpha_2 tenemos V''_i, al cual bajamos hasta la línea de tierra para encontrar V'_i. Unimos este con la intersección de \alpha_1 con \rho_1 y tenemos i'_{\alpha \rho}. La intersección entre esta y n' me define I', icnografía del punto I que buscamos. Su ortografía I'' se obtiene levantando una vertical desde I' hasta n''. Hemos entonces //determinado la magnitud//. Ahora queremos ese segmento, el \overline{PI} en verdadera magnitud. Para ello giraremos la recta n según un eje perpendicular a \Pi_1 y pasante por P: con centro en P' y extremo en I' trazamos un arco de circunferencia y lo intersectamos con una horizontal pasante por P'. Así encontramos I'_g, y a I''_g lo encontramos en la intersección de una vertical trazada por I'_g con una horizontal trazada por I''. Podemos trazar entonces tanto n'_g como n''_g. Y es sobre esta última que podemos medir la longitud del segmento \overline{I''_gP''_g}, que es la distancia (d) que nos pedían. \\ \\ ==== Punto II ==== \\ {{ materias:70:70:03:parcialito2_ii.png?200}}\\ Como se hace habitualmente en este tipo de ejercicios, lo que se busca en realidad es el ángulo entre la normal n del plano y la recta dada. Así que es esto precisamente lo que haremos. Nos ahorramos, con este método, encontrar la intersección entre el plano y la recta. Tracemos entonces la normal al plano, que es cualquiera que intersecte a r.((No nos debe asustar para nada el hecho de que \alpha_1 \equiv \alpha_2: esto no significa para nada que el plano \alpha esté en una posición muy peculiar. De hecho, si uno releva el plano \Pi_1 (que, recordemos, se ha abatido sobre el \Pi_2), y se imagina el plano \alpha con sus trazas así como las indica el dibujo, no aparenta estar en ninguna posición demasiado interesante.)) Trazamos entonces n'' perpendicular a \alpha_2, y bajemos el punto I'' donde corte a r'', mediante una vertical, a r', para por allí (I') trazar n' ortogonal a \alpha_1. Acabamos de //determinar la magnitud//. Para //llevar la verdadera magnitud//, que es el paso siguiente, vamos a abatir las dos rectas en cuestión sobre un plano \omega(\omega_{1\infty},\omega_2) horizontal, que por comodidad (y nada más que por eso) haremos pasar por la intersección entre n'' y \alpha_2. Nuestro eje de abatimiento e coincide en ortografía con \omega_2, y su icnografía se determina fácilmente, bajando el punto de intersección de e''\equiv \omega_2 con n'' a n', y bajando el punto de intersección de e''\equiv \omega_2 con r'' a r'. Trazamos por I' una paralela y una perpendicular a e'. Sobre la paralela medimos la diferencia de alturas entre e''\equiv \omega_2 y I'' y encontramos ((I)). Con el compás clavado en la intersección de la susodicha perpendicular con e', y el extremo en ((I)), giramos hasta cortar (más allá de e') a la perpendicular (valga la repetición), y encontramos entonces (I). Uniéndolo con los puntos de intersección de e' con n', y de e' con r' (que permanecieron inmóviles durante el abatimiento), obtenemos respectivamente (n) y (r). El ángulo agudo (\varphi) entre ellas es el buscado, y para encontrar el \eta que nos pedían, simplemente restamos \varphi a un ángulo recto. \\ \\ ==== Punto III ==== \\ {{ materias:70:70:03:parcialito2_iii.png?200}}\\ En este ejercicio los pasos a seguir son los siguientes: fabricarse un plano \alpha perpendicular a a y que contenga a P, encontrar el punto I intersección de a con \alpha, unir I con P, y llevar la verdadera magnitud (d) del segmento \overline{IP}. Para lo primero, vamos a trazar una horizontal h, cuya ortografía h'' paralela a la línea de tierra pase por P'', y cuya icnografía h' perpendicular a a' pase por P'. Acto seguido, trazamos una frental f, cuya icnografía f' paralela a la línea de tierra pase por P', y cuya ortografía f'' perpendicular a a'' pase por P''. Queda así rápidamente definido el plano \alpha que buscábamos. Para lo segundo, que es en realidad la parte más engorrosa de todo el ejercicio, vamos a usar un plano proyectante sobre el ortográfico \tau. La traza ortográfica \tau_2 de \tau la hacemos coincidir con a'': nombramos 1'' a la intersección de \tau_2 con f'', y 2'' a la intersección de \tau_2 con h''. Bajamos 1'' y 2'' mediante verticales, a f' y h' respectivamente. Uniendo 1' con 2' tenemos i'_{\alpha \tau}, cuya intersección con a' nos da la icnografía I' del punto I que buscábamos. Su ortografía I'' se encuentra en la intersección de una vertical trazada por I' con a''. Hemos //determinado entonces la magnitud//, si unimos a I' con P', y a I'' con P''.((El plano \gamma (sobre el icnográfico) y la recta de su intersección con \alpha son innecesarios, en principio, pero pueden servir de control, de que el punto I hallado sea el correcto.)) Para esta última parte giraremos la recta a en torno de un eje e(e'\equiv I',e''_\infty) pasante por I, para ello clavamos el compás en I' y colocando su extremo en P' trazamos un arco que corte a una horizontal trazada por I'. Allí encontramos P'_g. P''_g se encuentra en la intersección de una horizontal trazada por P'' con una vertical trazada por P'_g. Uniendo I''_g\equiv I'' con P''_g tenemos la verdadera magnitud (d) del segmento \overline{IP}, que es lo que nos habían pedido. \\ \\ ===== Discusión ===== Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.