====== Examen Parcial - 70.03. Medios de Representación "A" - 29/06/2007 ====== **Cátedra:** Curso 002 — Botet – Sande – Vergez\\ **Fecha:** 1° Oportunidad - 1° Cuatrimestre 2007\\ **Día:** 29/06/2007\\ ===== Enunciado ===== \\ **Datos:**\\ \\ \mbox{Piramide apoyada en } \alpha(\alpha_1, \alpha_2), \mbox{ base cuadrada.}\\ (\overline{AB}):\mbox{ lado base}.\\ (h)=3(\overline{AB}).\\ {{:materias:70:03:parcial_datos_.zip|Hoja de Datos (en formato dwg) }}\\ \\ **Hallar:**\\ \\ \mbox{Proyecciones de la piramide. Visibilidad}.\\ \mbox{Seccion con }\beta.\\ \\ ===== Resolución ===== {{ materias:70:03:parcial_1.png?200}} \\ \\ - **Hallar la icnografía de** \overline{\mathbf{AB}}**:** Para ello prolongamos el segmento \overline{AB} hasta la línea de tierra, y bajamos ese punto (H''_{AB}) hasta \alpha_1 para hallar H'_{AB}. Necesitamos otro punto de la icnografía. Entonces trazamos una horizontal del plano pasante por A (h_A), y en la intersección de h'_A con una vertical trazada por A'' tenemos A'. Por allí, y partiendo de H'_{AB}, trazamos \overline{AB}, sobre la cual encontramos B' del mismo modo que lo hicmos para A'. - **Hallar la icnografía del cuadrado que es base de la pirámide:** Para ello haremos uso de un abatimiento de \overline{AB}sobre el icnográfico, eligiendo como eje a h'_A. A' coincidirá pues con (A). En cuanto a B, medimos su altura respecto de h_A, en definitiva, la de B'' respecto de h''_A. Luego, para encontrar ((O)), medimos dicha distancia sobre h''_A y a partir de B' en uno cualquiera de los dos sentidos posibles. Trazamos una perpendicular a h'_A pasante por B', y en la intersección de ambas clavamos el compás. Con extremo en ((O)), trazamos un arco de circunferencia, hasta cortar a esa perpendicular más allá de h'_A. Hemos encontrado (B), y uniéndolo con (A)\equiv A' obtenemos \overline{(AB)}. Ahora sólo debemos trazar un cuadrado de lado (\overline{AB}). Para relevar \overline{(DB)}, lo prolongamos hasta el eje, y por esta intersección y por B' trazamos \overline{D'B'} hasta que intersecte a una perpendicular al eje pasante por (D). Acabamos de encontrar D', y para terminar con esta parte de la resolución, trazamos otra perpendicular a h'_A, pero pasante por (C), y trazamos también una paralela a \overline{A'B'} pasante por D'. En la intersección de ambas tenemos C', y podemos por fin completar con segmentos la icnografía de la base de la pirámide. Si hasta ahora hemos hecho todo correctamente, \overline{B'D'} debería ser paralela a \overline{A'C'}.((Nótese pues que podríamos haber procedido al revés, haber trazado una paralela a \overline{B'D'} por D', y hacer este control con ayuda de una paralela a \overline{A'B'})) - **Hallar la ortografía del cuadrado que es base de la pirámide:** Para subir C' utilizamos una frental f_C perteneciente a \alpha y pasante por C, y en la intersección de f''_C con una vertical trazada por C' hallamos C''.((Después de tantas escrituras y borradas, al final olvidé poner nomenclatura a C'', pero creo que aún se notan las marcas de escrituras anteriores.)) Para subir D' hacemos uso de una horizontal h_D perteneciente a \alpha y pasante por D, y en la intersección de h''_D con una vertical trazada por D' hallamos D''. Completamos la ortografía con segmentos, controlando que \overline{A''B''} sea paralelo a \overline{C''D''}, y que \overline{A''C''} sea paralelo a \overline{B''D''}. Como en la próxima sección habremos de necesitar al centro O de la base piramidal, antes de terminar ésta, lo hallaremos: trazamos dos diagonales del cuadrilátero A''B''C''D'' y en su intersección encontramos O''. Por él bajamos una vertical hasta que intersecte a la diagonal \overline{A'D'} y entonces encontramos a O'. - **Completar la Pirámide:** Primero debemos trazar la normal n(n',n'') al plano \alpha pasante por O(O',O''). Una vez hecho esto, tenemos que hacer una de tres cosas (abatir, girar o cambiar de planos) para poder medir sobre n la altura que es 3(\overline{AB}). Por comodidad, giraremos la normal en torno a un eje perpendicular al plano icnográfico: primero, elegimos un punto P(P',P'') cualquiera perteneciente a n, y con extremo en P', apoyando el compás en O', trazamos un arco de circunferencia en sentido horario hasta intersectar a una horizontal trazada por O'. Esta horizontal es, en realidad, n'_g, y la intersección que acabamos de encontrar viene siendo P'_g. Por este punto levantamos una vertical, y por P'' una horizontal: donde se intersectan está P''_g. Uniendo este punto con O'' tenemos n''_g. Sobre ella encontramos V''_g, a una distancia 3(\overline{AB}) de O'', siendo V el vértice de la pirámide. A V'' se lo encuentra simplemente en la intersección de n'' con una horizontal trazada por V''_g. A V' se lo encuentra también facilmente, en consecuencia, en la intersección de n' con una vertical trazada por V''.((A modo de control se puede trazar una vertical por V''_g hasta cortar a n'_g, luego un arco de circunferencia con centro en O' y extremo en V' hasta cortar a n'_g, y ver que ambas intersecciones coincidan.)) Ahora que tenemos V', la icnografía de la pirámide se puede competar uniéndolo con A',\ B',\ C'\ y\ D'. Y ahora que tenemos V'', la ortografía piramidal se puede completar uniéndolo con A'',\ B'',\ C''\ y\ D''.\\ En lo que a **visibilidad** respecta, los contornos aparentes icnográfico y ortográfico son desde ya visibles: \overline{V'D'},\ \overline{D'C'},\ \overline{C'B'}\ y\ \overline{B'V'}, y \overline{A''V''},\ \overline{V''D''},\ \overline{D''B''}\ y\ \overline{B''A''}. Los únicos segmentos conflictivos son entonces: (en icnografía) \overline{V'A'},\ \overline{A'C'}\ y\ \overline{A'B'}, y (en ortografía) \overline{V''C''},\ \overline{C''A''}\ y\ \overline{C''D''}. Para la icnografía es preciso observar que: si la elevación de A es mayor que la de D, A' será visible, y viceversa. Concluimos entonces (con sólo mirar la ortografía) que A' es invisible. Para la ortografía es menester observar que: si el alejamiento de C es mayor que el de B, C'' será visible, y viceversa. Concluimos entonces (con sólo mirar la icnografía) que C'' es invisible. Si hasta ahora hemos hecho todo bien, nuestra nota es un 4 (cuatro). - **Obtener la sección con **\mathbf{\beta}**:** Como \beta es paralelo al plano ortográfico, //id est//, proyectante sobre el icnográfico, la icnografía de la sección coincidirá con \beta_1 y será un segmento limitado por \overline{V'B'} y por \overline{V'C'}. A las intersecciones de ese segmento con \overline{V'A'},\ \overline{V'B'},\ \overline{V'C'}\ y\ \overline{V'D'} las podemos subir a \overline{V''A''},\ \overline{V''B''},\ \overline{V''C''}\ y\ \overline{V''D''}, respectivamente, obteniendo el cuadrilátero que es ortografía de la sección de la pirámide con el plano \beta dado. En lo que respecta a la **visibilidad** del mismo, \overline{1''2''}\ y\ \overline{1''3''} no serán visibles pues se encuentran sobre caras invisibles del cuerpo en cuestión, mientras que (por una razón análoga) sí son visibles los segmentos \overline{4''2''}\ y\ \overline{4''3''}. ===== Discusión ===== Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.