====== 70.03 Medios de Representación "A" - Ejercicio - Cuerpos y Secciones Planas ====== **Período:** 1er Cuatrimestre 2007 **Curso:** 002 — Botet - Sande - Vergez. ===== Ejercicio ===== ====Enunciado==== **Datos:** \alpha(\alpha_1, \alpha_2),\ \beta(\beta_1, \beta_2). O'',\ O \in \alpha(\alpha_1, \alpha_2). O es centro de la base de un cilindro recto, R = 3 cm, h = 10 cm. **Hallar:** Cilindro. Sección con \beta. ====Resolución==== {{ materias:70:70:03:Cilindro_1.png?200}} - **Encontrar **\mathbf{O'}**:** se traza una horizontal h que pertenezca a \alpha y tal que h'' pase por O''. O' se encuentra en la intersección de h' con una vertical trazada por O''. - **Trazar las elipses que son base del cilindro:** sobre la horizontal, en ambos sentidos desde O', se mide el radio R dado. Se determinan así A' y B', extremos del diámetro mayor de la elipse. Para encontrar el diámetro menor, determinado por los puntos C' y D', se procede como sigue. Eligiéndose \alpha_1 como eje de abatimiento, se traza una perpendicular a h' por O', que será a su vez la traza icnográfica m' de la recta de máxima pendiente m del plano \alpha. Se abate O' y con centro en (O) se traza una circunferencia de radio R. Los puntos (C) y (D) se hallan en la intersección de la circunferencia con (m), abatimiento de la recta de máxima pendiente del plano \alpha. Para encontrar C' y D', se relevan((lo contrario de 'se abaten', o de 'se rebaten')) (C) y (D), respectivamente. Los puntos (A) y (B) se hallan, por supuesto, en la intersección de paralelas a (m) trazadas desde A y B, respectivamente (si no es así, evidentemente se ha cometido un error). Alternativamente, para encontrar C' y D', también se puede medir sobre \overline{H'_m((O))} el radio R, con lo cual se obtiene ((D)). Para hallar D' se interseca a m' con una paralela a h' trazada por ((D)). La posición de C' es inmediata ya que \overline{O'D'}=\overline{O'C'}. Así encontrados A', B', C' y D', se puede trazar la elipse de diámetros perpendiculares, icnografía de la circunferencia base del cilindro.\\ Para hallar la traza ortográfica de dicha circunferencia se levantan verticales desde A' y B', y se encuentra su intersección con h'' (recordar que A y B pertenecen a h). Acto seguido, se encuentra m'', levantando una vertical desde H'_m (intersección de \alpha_1 con m') hasta la línea fundamental – lo que da H''_m – y otra vertical, desde V'_m (intersección de la línea de tierra con m') hasta \alpha_2 – lo que da V''_m. Se levantan entonces dos verticales más, esta vez desde C' y desde D', para encontrar, en su intersección con m'', C'' y D'', respectivamente. Quedan así determinados los dos diámetros conjugados, mayor y menor, de la elipse. - **Hallar las trazas del eje del cilindro y las dos elipses restantes:** se trazan n' y n'', respectivamente perpendiculares a \alpha_1 y a \alpha_2 y pasantes por O' y O''. Para obtener la verdadera magnitud del eje en icnografía, se procede a girar la recta n en torno de un eje de giro e (e', e'') perpendicular al plano ortográfico y que pasa por O. Se elige para ello un punto cualquiera de n, llamémoslo (en un rapto de originalidad) P: se marcan P' y P'' sobre n' y n'' respectivamente. Se traza, con centro en O'' y extremo en P'', un arco de circunferencia en sentido antihorario, de manera que n''_g resulte paralela a la línea de tierra. En la intersección de una vertical trazada desde P''_g y una horizontal trazada desde P' se encuentra P'g, determinándose (junto con O'\equiv O'g) n'_g. Ahora, sobre n'_g se mide la altura h dada, y se marca el punto E'_g. Levantando una vertical por dicho punto se encuentra E''_g sobre n''_g. Ahora se procede a girar en sentido horario, con centro en O''\equiv O''_g y extremo en E''_g, hasta encontrar E'' en la intersección del arco con n''. Se baja una vertical desde este punto hasta n' para encontrar E'. Queda así determinado el eje del cilindro.\\ Por E' se traza una paralela a h' y sobre ella, en ambos sentidos, se mide la distancia O'A', determinándose el diámetro mayor de la tercera elipse, de extremos W' y X'. Se traza también por E' una paralela a m', midiéndose en ambos sentidos sobre la misma la distancia \overline{O'C'}, para determinar así el diámetro menor, cuyos extremos son Y' y Z'. Esta elipse resulta idéntica a la primera por ser paralelos los dos planos que forman, uno la base, y otro el extremo, del cilindro.\\ Para hallar la cuarta elipse, ortografía de la circunferencia extremo del cilindro, se procede de manera similar: por E'' se traza una paralela a h'', y se lleva sobre ella el segmento \overline{A''O''B''}, encontrándose su diámetro mayor \overline{W''E''X''}. Se traza luego por aquel punto también una paralela a m'', llevándose sobre esta el segmento \overline{C''O''D''}, quedando determinado el diámetro menor \overline{Y''E''Z''}. Si hasta ahora se ha hecho lo correcto, bajándose verticales desde W'', X'', Y'' y Z'' se deben encontrar W', X', Y' y Z', respectivamente. Esta cuarta elipse debe ser idéntica a la segunda, análogamente a lo sucedido con la tercera y la primera. - **Completar el cuerpo:** una vez trazadas las cuatro elipses, se completa el contorno aparente del cuerpo con líneas paralelas a n' (en icnografía) y n'' (en ortografía), tangentes a dichas curvas. Los puntos de tangencia en ortografía de estas líneas se fijan por la intersección con las elipses segunda y cuarta de un segmento normal a n'' pasante por O'' y E'', respectivamente. Dichos puntos son R'', S'', T'' y U''. Determinemos ahora la visibilidad.\\ En ortografía, el contorno aparente lo forma la unión de: el arco T''W''U'', las dos paralelas a n'' tangentes a las elipses segunda y cuarta, y el arco R''B''S''. Si el arco T''X''U'' es visible, debe observarse en icnografía que X' se encuentra delante de n' (tomando como punto de referencia al O'_\infty). Idéntica consideración es válida para el arco R''A''S''. Resulta entonces que el primero es visible (y se dibuja por tanto en línea llena) y el segundo no lo es (y se dibuja por lo tanto en línea de trazos).\\ En cuanto a la icnografía, el contorno aparente lo forma la unión de: el arco W'Z'X', las dos paralelas a n' tangentes a las elipses primera y tercera, y el arco A'C'B'. Si el arco W'Y'X' es visible, debe observarse en ortografía que Y' está arriba de n'' (tomando como punto de referencia al O''_\infty). Idéntica consideración es válida para el arco A'D'B'. Resulta entonces que el primero es visible (y se dibuja en línea llena), y el segundo no (dibujándose en línea de trazos). Quedan así completas las dos proyecciones del cuerpo. - **Sección con **\mathbf{\beta}**:** Siendo \beta un plano proyectante sobre \Pi_1, la icnografía de su intersección con el cilindro será una línea coincidente con \beta_1. Los puntos en ortografía, intersección de ambas superficies, pueden ser fácilmente encontrados levantando verticales desde sus correspondientes en icnografía (todos estos últimos se encontrarán, por supuesto, sobre \beta_1). En este caso, la intersección resulta ser un cuadrilátero curvilíneo (el IJKL), siendo I''L'' y J''K'' arcos elípticos, por ser \beta_1 no paralelo a n'. ===== Discusión ===== Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.