====== Parcial - 66.74. Señales y Sistemas ======
**Cátedra:** Todas\\
**Fecha:** 2da Oportunidad - 1er Cuatrimestre 2007\\
**Día:** 11/06/2007\\
===== Enunciado =====
==== Punto I ====
Sea un sistema LTI cuya respuesta al impulso es una dada h_0(t), y que para una entrada particular x_0(t) (acotada) su salida es y_0(t) como se muestra en el siguiente gráfico:\\
set xlabel "t"
set dummy t
unset xtics
unset ytics
set xtics (1)
set ytics (0, "A" 1)
plot [0:4][0:2] ((t<1)? t:1) title"y0(t)"
A continuación se da unl listado de casos de entradas, x(t), y sistemas LTI determinados por su correspondiente respuesta al impulso, h(t):
- x(t) = 2 x_0(t); h(t) = h_0(t).
- x(t) = x_0(t) - x_0(t - 2); h(t) = h_0(t).
- x(t) = x_0(t - 2); h(t) = h_0(t + 1).
- x(t) = 2 x_0(-t); h(t) = h_0(t).
- x(t) = 2 x_0(-t); h(t) = h_0(-t).
- x(t) = x_0(t) \cos(\pi t); h(t) = h_0(t).
- x(t) = x_0(t) e^{j\pi t}; h(t) = h_0(t) e^{j \pi t}.\\
Se pide para cada uno de los casos anteriores, determinar si hay información suficiente para encontrar la salida y(t) correspondiente, y en caso de que la haya, graficar dicha salida, indicando sus valores relevantes.
==== Punto II ====
Cuando la entrada a un sistema LTI causal es:
x(n) = -\frac{1}{3}\left( \frac{1}{2} \right)^n u(n) - \frac{4}{3} 2^n u(-n-1)
la transformada Z de la salida es:
Y(z) = \frac{1+z^{-1}}{(1-z^{-1})\left(1- \frac{1}{2}z^{-1}\right)(1-2z^{-1})}
- ¿Cuál es la región de covergencia de Y(z)?
- Encontrar la respuesta al impulso h(n)= z^{-1}\left\{\frac{Y(z)}{X(z)}\right\} del sistema. ¿Es estable?
- Encontrar la ecuación en diferencias que representa a este sistema indicando la condición inicial.
==== Punto III ====
La señal x(t) = a_0 + a_l cos(\omega_0 t) + a_2 cos(2\omega_0 t) es muestreada con una frecuencia de muestreo dada por \omega_s = \omega_0, obteniéndose de este modo una señal de tiempo discreto x_d(n).
- Encuentre la expresión de x_d(n) y de su tranformada de Fouríer, X_d(\Omega). Graficar el espectro encontrado, indicando puntos relevantes y amplítudes. ¿Es x_d(n) periódica (justifique su respuesta)?
- Sea ahora x_v(n) = x_d(n) para n = 0 ,\dots ,4 y 0 en el resto. Se obtiene la DFT de 5 puntos de dicha señal, obteniéndose X_v(k) =[5 \ 2 \ 3 \ a \ b].Encontrar los valores de a , b y de a_0, a_1 y a_2·
==== Resolución ====
==== Punto I ====
**1.** x(t) = 2 x_0(t); h(t) = h_0(t)\Rightarrow y(t)=x(t)*h(t)= 2x_0(t)*h_0(t)=2y_0(t)
set xlabel "t"
set dummy t
unset xtics
unset ytics
set xtics (1)
set ytics (0, "2A" 1)
plot [0:4][0:2] ((t<1)? t:1) title"y(t)=2y0(t)"
**2.** x(t) = x_0(t) - x_0(t - 2); h(t) = h_0(t)
y(t) = x(t)*h(t)= (x_0(t) - x_0(t - 2))*h_0(t)=x_0(t)*h_0(t) - x_0(t)*\delta(t-2)*h_0(t)
y(t) = y_0(t) - y_0(t)*\delta(t-2)= y_0(t) - y_0(t-2)
set xlabel "t"
set dummy t
unset xtics
unset ytics
set xtics (1 , 3)
set ytics (0, "A" 1)
plot [0:4][0:2] ((t<1)? t:((t>1&&t<3)? 1:4-t)) title"y(t)=y0(t) - y0(t-2)"
**3.** x(t) = x_0(t - 2); h(t) = h_0(t + 1).
y(t) = x(t)*h(t)= x_0(t - 2)*h_0(t+1)=x_0(t)*\delta(t-2)*h_0(t)*\delta(t+1)
y(t) = x_0(t)*h_0(t)*\delta(t-1)= y_0(t-1)
set xlabel "t"
set dummy t
unset xtics
unset ytics
set xtics (2)
set ytics (0, "A" 1)
plot [0:4][0:2] ((t<1)? 0:((t>1&&t<2)? (t-1):1)) title"y(t)=y0(t-1)"
**4.** x(t) = 2 x_0(-t); h(t) = h_0(t).
Es este caso para encontrar y(t) se deberían conocer x_0(t) e y_0(y).
**5.** x(t) = 2 x_0(-t); h(t) = h_0(-t).
Y(\omega)=X(\omega)H(\omega)= 2X_0(-\omega)H_0(-\omega)
Sea \omega_1=-\omega: Y(\omega)=2X_0(\omega_1)H_0(\omega_1)=2Y_0(\omega_1)=2Y_0(-\omega)
\Longrightarrow y(t)=2y_0(-t)
set xlabel "t"
set dummy t
unset xtics
unset ytics
set xtics (1)
set ytics (0, "2A" 1)
plot [0:4][0:2] ((t<1)? 1:(2-t)) title"y(t)=2y0(-t)"
**6.** x(t) = x_0(t) \cos(\pi t); h(t) = h_0(t).
Y(\omega)=X(\omega)H(\omega)=
\frac{1}{2\pi}\{X_0(\omega)*[\pi(\delta(\omega-\pi)+\delta(\omega+\pi))]\}H_0(\omega)
Y(\omega)=\frac{1}{2}(X_0(\omega-\pi)+X_0(\omega+\pi))H_0(\omega)=\frac{1}{2}(X_0(\omega-\pi)H_0(\omega)+X_0(\omega+\pi)H_0(\omega))
Antitransformando:
y(t)=\frac{1}{2}\left(e^{j\pi t}x_0(t)h_0(t)+e^{-j\pi t}x_0(t)h_0(t)\right)=y_0(t)\left(\frac{e^{j\pi t}+e^{-j\pi t}}{2}\right)=y_0(t)cos(\pi t)
set xlabel "t"
set dummy t
unset xtics
unset ytics
set samples 100
set xtics (1)
set ytics ("-A" -1,0, "A" 1)
plot [0:4][-2:2] ((t<1)? (t*cos(pi*t)):cos(pi*t)) title"y(t)=y0(t)cos(pi t)"
**7.** x(t) = x_0(t) e^{j\pi t}; h(t) = h_0(t) e^{j \pi t}.\\
Es este caso para encontrar y(t) se deberían conocer x_0(t) e y_0(y).
===== Discusión =====
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