====== Coloquio - 66.74. Señales y Sistemas ====== **Cátedra:** Todas\\ **Día:** 30/07/2007\\ ===== Enunciado ===== ==== Punto I ==== Una señal x(n) = u(n) es la entrada de un sistema LTI estable cuya función de sistema viene dada por H(z) = \frac{1}{1 - \frac{3}{4}z^{-l} + \frac{1}{8}z^{-2}} Si y(n) es la salida de dicho sistema, se pide - Encontrar y(n)\mbox{ para } n = 0,1,2. Debe especificar los valores numéricos. - Se plantea como alternativa para encontrar y(n) en los valores pedidos, utilizar DFT, siguiendo los siguientes pasos: en primer lugar se muestrea H(z) sobre el círculo unitario en 3 puntos equiespaciados, y con ellos se forma el vector W(k)\mbox{ con } k = 0,1,2. Luego se multiplica W(k) por la DFT de x_2(n) = x(n)\mbox{ para } n = 0,1,2 Y 0 para otro n. De dicho producto se obtiene la secuencia G(k). Finalmente se hace la IDFT de G(k) obteniéndose una secuencia que denominamos g(n). Indicar si se cumple que y(n) = g(n)\mbox{, para } n = 0,1,2. En caso de ser cierto justifique adecuadamente por qué, y si no lo es indique un procedimiento que solamente use el algoritmo de cálculo de DFT/IDFT para obtener y(n)\mbox{ en } n = 0,1,2. En ese caso indique mediante un diagrama en bloques cada DFT/IDFT que utilice, indicando claramente los vectores y el tamaño de estos, así como de la cantidad de puntos de DFT usada en cada bloque. ==== Punto II ==== Se definen dos sistemas. El primero, sistema 1, definido por la figura. Asuma que dicho sistema es causal, que N_o = 10 Y que K = 0,5. El segundo, sistema 2, viene definido por la cascada de un sistema LTI causal cuya función de sistema viene dada por \displaystyle H(z) =\frac{0.5}{1 + 0.5z^{-1}} seguido de un bloque de sobremuestreo por un factor N_o = 10. {{:materias:66:74:col30-07-07_fig1.png}} - Encuentre la expresión analítica cerrada y mínima de la respuesta impulsiva de ambos sistemfls. - Determine la expresión mínima de la salida de ambos sistemas ante la entrada x(n) = cos\left(\frac{\pi}{5}n\right). - En base a los resultados obtenidos, establezca una conclusión sobre la posible equivalencia entre ambos sistemas. ==== Punto III ==== Para convertir una señal senoidal x(t) = A\,cos(\omega_0 t) en una señal constante de amplitud A, se implementa el siguiente sistema discreto: la señal x(t) es muestreada con un período de muestreo T_s obteniéndose la señal discreta \displaystyle x_d(n) = \left. x(t)\right|_{t=nT_s} se la eleva al cuadrado, y se la pasa por un filtro pasabajos cuyo espectro periódico se muestra en la figura siguiente entre -\pi y \pi. {{:materias:66:74:col30-07-07_fig2.png}} Si las frecuencias posibles de la señal están dentro de un rango de \omega_1 = 2\pi 2000 \leq \omega_0 \leq \omega_2 = 2\pi 4000, determinar si existe un período de muestreo T_s tal que toda otra componente del espectro de salida que no corresponda a la señal constante de amplitud A, caiga en la zona de mayor atenuación del filtro H(\Omega). ===== Resolución ===== ==== Punto I ==== ===== Discusión ===== Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.