====== Examen Final - 64.01. Estabilidad I A - 31 de Julio de 2008 ====== **Cátedra:** indistinta\\ **Fecha:** 3° Oportunidad - Invierno 2008\\ **Día:** 31/07/2008 Lo único que falta resolver son las ecuaciones diferenciales para barras de eje curvo, pero eso no es tan urgente porque está en la teórica de Fioravanti. ===== Enunciado ===== ==== Punto Práctico ==== unset key unset xzeroaxis unset yzeroaxis unset x2zeroaxis unset y2zeroaxis unset border set size square 1 unset xtics unset ytics set label 1 "20 cm" at 0,-12 center set parametric plot [0:pi/3] 10*cos(t),10*sin(t) lt -1, 10*cos(t+4*pi/3),10*sin(t+4*pi/3) lt -1, 10*cos(t+2*pi/3),10*sin(t+2*pi/3) lt -1, (20*3*t/pi-10)*cos(pi/3),(20*3*t/pi-10)*sin(pi/3) lt -1, (20*3*t/pi-10)*cos(2*pi/3),(20*3*t/pi-10)*sin(2*pi/3) lt -1, (20*3*t/pi-10)*cos(pi),(20*3*t/pi-10)*sin(pi) lt -1 , (22*3*t/pi-11),-11 lt -1, -10,(-2*3*t/pi-10) lt -1, 10,(-2*3*t/pi-10) lt -1, (-2*3*t/pi-9),(-2*3*t/pi-10) lt -1, (-2*3*t/pi+11),(-2*3*t/pi-10) lt -1 Para la figura dada, se pide: - Encontrar los momentos principales de inercia baricéntricos. - Trazar la circunferencia de Mohr para el baricentro. - Explicar cuáles son los ejes principales de inercia baricéntricos. Nota: Se sugiere observar bien la figura antes de empezar a calcular cualquier cosa.\\ //Aclaración: Los ángulos son todos iguales a 60°.// //Tiempo asignado a este ejercicio: 30 min, máximo 45 min. Es corregido en el momento por Fioravanti: el que lo tiene bien puede seguir con la parte teórica; el que no, vuelve el jueves siguiente.\\ La hoja del examen se entrega a cambio de la libreta firmada (o sea, con autorización para rendir coloquio), **sin excepción**.\\ Además de la figura propiamente dicha, se provee al alumno de las tablas de Área, Baricentro, Momentos de segundo orden baricéntricos y Momentos de segundo orden para las siguientes figuras: // * Círculo. * Semicírculo. * Cuarto de círculo. * Sector circular de amplitud 2\alpha. ==== Punto Teórico ==== - Reticulados: - Hipótesis básicas del modelo - Métodos de análisis. - Método de resolución matricial. - Ecuaciones diferenciales para barras de eje curvo. //A mí en el examen no me pareció que fuera así (para mí es poco claro el enunciado), pero con “métodos de análisis” se refiere a los distintos métodos de //resolución//.\\ El examen teórico fue oral, a pesar de que había habido muchos inscriptos esa fecha (lo que pasó es que ya con el práctico había volado la mitad (o más) de los inscriptos).\\ Las consignas están escritas en el pizarrón, y una vez que Fioravanti te dice que aprobaste el práctico, te ponés a desarrollar los temas por escrito. Cada tanto los profesores preguntan si alguien ya terminó, y se disponen a tomarle el oral.// ===== Resolución ===== ==== Punto Práctico ==== === 1 === Los momentos pedidos, J_{xG} y J_{yG}, surgen de considerar la siguiente subfigura 1:\\ unset key #set xzeroaxis #set yzeroaxis #set xlabel "+x" #set ylabel "+y" set label 2 "yG" at 1.5,10 right set label 3 "xG" at 10,-0.5 unset x2zeroaxis unset y2zeroaxis unset border set size square 1 unset xtics unset ytics set label 4 "Subfigura 1" at -7.5,7.5 center set parametric plot [0:pi/3] -10*cos(t+pi/3),-10*sin(t+pi/3) lt -1, -(10*3*t/pi)*cos(pi/3),-(10*3*t/pi)*sin(pi/3) lt -1, -(10*3*t/pi)*cos(2*pi/3),-(10*3*t/pi)*sin(2*pi/3) lt -1, (20*3*t/pi-10)*cos(pi),(20*3*t/pi-10)*sin(pi) lt -1, (20*3*t/pi-10)*cos(pi/2),(20*3*t/pi-10)*sin(pi/2) lt -1 cuyos momentos J_{x1} y J_{y1} respecto de los ejes xG e yG((Los ejes xG e yG son ejes baricéntricos de la figura //entera//, no de estas subfiguras parciales que estamos considerando.)) dibujados salen de la [[http://materias.fi.uba.ar/6401/Archivos/Tabla%20de%20caracteristicas%20geometricas%20de%20algunas%20figuras.zip|tabla adjunta]], y valen: * J_{x1} = \frac{r^4}{4} \left(\alpha + \frac{\sen (2\alpha)}{2} \right)=2391.53 \, \mathrm{cm^4}. * J_{y1} = \frac{r^4}{4} \left(\alpha - \frac{\sen (2\alpha)}{2} \right)=226.47 \, \mathrm{cm^4}. Ojo que \alpha=0.52=30^\circ, pues según la tabla es la mitad de la amplitud del sector circular.\\ \\ Seguidamente, consideramos la subfigura 2:\\ unset key #set xzeroaxis #set yzeroaxis #set xlabel "+x" #set ylabel "+y" set label 2 "yG" at 1.5,9.5 right set label 3 "xG" at 10,-0.5 unset x2zeroaxis unset y2zeroaxis unset border set size square 1 unset xtics unset ytics set label 4 "Subfigura 2" at -5,5 center set parametric plot [0:pi/3] 10*cos(3*t),10*sin(3*t) lt -1, (20*3*t/pi-10)*cos(pi),(20*3*t/pi-10)*sin(pi) lt -1 , (20*3*t/pi-10)*cos(pi/2),(20*3*t/pi-10)*sin(pi/2) lt -1 cuyos momentos J_{x2} y J_{y2} respecto de los ejes xG e yG((Los ejes xG e yG son ejes baricéntricos de la figura //entera//, no de estas subfiguras parciales que estamos considerando.)) dibujados salen de la [[http://materias.fi.uba.ar/6401/Archivos/Tabla%20de%20caracteristicas%20geometricas%20de%20algunas%20figuras.zip|tabla adjunta]], y valen: * J_{x2}=\frac{\pi r^4}{8}=3926.99 \, \mathrm{cm^4}. * J_{y2}=\frac{\pi r^4}{8}=3926.99 \, \mathrm{cm^4}. Finalmente, los momentos pedidos se encuentran sumando los de la subfigura 1 a los de la subfigura 2, y luego restando al resultado los de la subfigura 1, puesto que no queremos un semicírculo más un sector circular, sino que al semicírculo le debemos restar otro sector circular igual al primero, para así obtener aquel símbolo radiactivo: * J_{xG}=J_{x1}+J_{x2}-J_{x1}=J_{x2}=3926.99 \, \mathrm{cm^4}. * J_{yG}=J_{y1}+J_{y2}-J_{y1}=J_{y2}=3926.99 \, \mathrm{cm^4}. === 2 === Este punto es en extremo sencillo, pues como los ejes xG e yG son baricéntricos y principales de inercia, el polo P de la circunferencia de Mohr coincide con su centro C, pues J_{xyG}=0 y J_{xG}=J_{yG}. Con lo cual: unset key #set xzeroaxis #set yzeroaxis #set xlabel "+x" #set ylabel "+y" set label 2 "yG" at -.85,.95 right set label 3 "xG" at 1.05,-0.05 unset x2zeroaxis unset y2zeroaxis unset border set size square 1 unset xtics unset ytics set label 4 "P" at 0.03,0.06 set label 7 "C" at -0.055,0.06 set label 5 "JyG" at -0.5,-0.65 center set label 6 "JxG" at 0.5,-0.65 center set parametric plot [0:2*pi] cos(t),sin(t) lt -1, -1,sin(t) lt -1, cos(t),0 lt -1, (t/pi-1),-0.6 lt -1, 0,-(0.05*t/pi+0.55) lt -1, 1,-(0.05*t/pi+0.55) lt -1, 0,-(0.05*t/pi-0.05) lt -1 === 3 === Los ejes xG e yG son ejes principales de inercia baricéntricos pues: * Son conjugados de inercia: J_{xyG}=0 pues, por razones de simetría, el J_{xy} del sector 1 que está en el cuarto de plano +x,+y se compensa con el J_{xy} del 2 que está en el plano -x,+y, y similarmente el J_{xy} del sector 3 que está en el semiplano -x,-y se compensa con el J_{xy} del 4 que está en el semiplano +x,-y. * Son perpendiculares. * El baricentro se encuentra en G por razones de simetría. unset key #set xzeroaxis #set yzeroaxis #set xlabel "+x" #set ylabel "+y" set label 2 "yG" at 1.5,10 right set label 3 "xG" at 10,-0.5 unset x2zeroaxis unset y2zeroaxis unset border set size square 1 unset xtics unset ytics set label 4 "G" at 0.8,0.5 center set label 5 "1" at 6,4 center set label 6 "2" at -6,4 center set label 7 "3" at -2,-7 center set label 8 "4" at 2,-7 center set parametric plot [0:pi/3] 10*cos(t),10*sin(t) lt -1, 10*cos(t+4*pi/3),10*sin(t+4*pi/3) lt -1, 10*cos(t+2*pi/3),10*sin(t+2*pi/3) lt -1, (20*3*t/pi-10)*cos(pi/3),(20*3*t/pi-10)*sin(pi/3) lt -1, (20*3*t/pi-10)*cos(2*pi/3),(20*3*t/pi-10)*sin(2*pi/3) lt -1, (20*3*t/pi-10)*cos(pi),(20*3*t/pi-10)*sin(pi) lt -1, (20*3*t/pi-10)*cos(pi/2),(20*3*t/pi-10)*sin(pi/2) lt -1 ==== Punto Teórico ==== === 1 === - Hipótesis básicas del modelo: * Barras de eje recto. * Articulaciones en los extremos. * Cargas concentradas en los apoyos. - Métodos de análisis: * Por nodos. * Por Ritter/secciones. * Por trabajos virtuales. - Método de resolución matricial: //Aclaración: esta resolución es para reticulados planos. Se puede ampliar fácilmente al espacio tridimensional, pero no tengo ganas de desarrollarlo. Además, si lo planteás para el plano está bien, no creo que te lo pidan para reticulados en 3D. // Para cada nodo se plantean 2 (dos) ecuaciones de equilibrio((¿Por qué dos y no tres? Porque se trata de un sistema de fuerzas concurrentes en el plano. Podés pensarlo también así: un punto en el plano tiene dos grados de libertad. Ergo, para asegurar su inmovilidad hace falta imponer sólo dos condiciones: cada ecuación sintetiza una de dichas condiciones.)), en las cuales intervienen (en general): * Reacciones de Vínculo (si hubiera). * Fuerzas externas (si las hubiera). * Fuerzas de las barras (producto del esfuerzo interno axil). Por otro lado, dependiendo de la disposición de los ejes (que, por comodidad, se elige una sola vez y se mantiene para todos los nodos considerados), en el caso más general cada una de estas fuerzas estará multiplicada por un \sen \alpha o por un \cos \alpha (donde \alpha es el argumento de la fuerza considerada). Luego de plantear las 2v ecuaciones((v es el número de nodos o vértices de la estructura reticulada que nos ocupa.)), podemos plantear una matriz G de esta pinta: G = \underbrace{\left( \begin{array}{ccccccc} \cos \alpha_i & 1 & 0 & \cdots & 1 & \sen \alpha_{R2} & 0\\ \sen \alpha_i & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cos \alpha_{R2} & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \sen \alpha_k & \cdots & 0 & 0 & \sen \alpha_{R3} \end{array} \right)}_{\begin{array}{ccccccc} \phantom{\cos} N_i & N_j & \phantom{\cos} N_k & \cdots & R_1 & \phantom{\cos} R_2 & \phantom{\cos} R_3 \end{array}} \begin{array}{c} x\\ y\\ x\\ \vdots\\ y \end{array} donde las filas corresponden a las ecuaciones de proyección sobre los ejes x e y de cada nodo \mathrm{I, II, III,} \ldots, N,((N es el número de nodos, v el número de vértices: uso ambos indistintamente.)) y las columnas corresponden a los esfuerzos en las barras N_1, \ldots, N_b((b es el número de barras.)) y a las reacciones de vínculo R_1, R_2, R_3.\\ La cantidad de filas de G es 2v, y la de columnas es la cantidad de barras b más la cantidad de reacciones de vínculo externo r. La condición necesaria para que un reticulado plano sea isostático es que r=2v-b, con lo cual G termina teniendo b+2v-b=2v columnas: G \in \mathbf{R}^{2v \times 2v}. Ahora, consideramos un vector incógnita, que con toda originalidad llamamos x, y que contiene sólo esto: \left( \begin{array}{c} N_1\\ N_2\\ \vdots\\ N_b \\ \hline R_1\\ R_2\\ R_3 \end{array} \right), que son justamente las incógnitas de nuestro problema. El número de filas de x es igual a la cantidad de barras b más la cantidad de reacciones de vínculo externo r. La condición necesaria para que un reticulado plano sea isostático es que r=2v-b, con lo cual x termina teniendo b+2v-b=2v filas: x \in \mathbf{R}^{2v \times 1}. Por último, tenemos un vector P con las cargas exteriores multiplicadas por los senos y cosenos correspondientes, para cada ecuación de nodo: \left( \begin{array}{c} P_1 \cos \left(\alpha_{P_1}\right) \\ P_1 \sen \left(\alpha_{P_1}\right) + P_2\\ P_3\\ 0 \\ \vdots \\ -P_{n-1}+P_n \cos\left(\alpha_{P_n}\right)\\ P_n \sen\left(\alpha_{P_n}\right) \end{array} \right). P \in \mathbf{R}^{2v \times 1} pues hay tantas filas como ecuaciones planteadas (2v). Finalmente nos queda:\\ \begin{array}{rcl} G x + P &=& 0\\ G x &=& -P\\ \underbrace{\left( \begin{array}{ccccccc} \cos \alpha_i & 1 & 0 & \cdots & 1 & \sen \alpha_{R2} & 0\\ \sen \alpha_i & 0 & 0 & \cdots & 0 & \cos \alpha_{R2} & 0\\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots & \vdots\\ 0 & 0 & \sen \alpha_k & \cdots & 0 & 0 & \sen \alpha_{R3} \end{array} \right)}_{\in \mathbf{R}^{2v \times 2v}} \underbrace{\left( \begin{array}{c} N_1\\ N_2\\ \vdots\\ N_b \\ \hline R_1\\ R_2\\ R_3 \end{array} \right)}_{\in \mathbf{R}^{2v \times 1}} &=& \underbrace{\left( \begin{array}{c} P_1 \cos \left(\alpha_{P_1}\right) \\ P_1 \sen \left(\alpha_{P_1}\right) + P_2\\ P_3\\ 0 \\ \vdots \\ -P_{n-1}+P_n \cos\left(\alpha_{P_n}\right)\\ P_n \sen\left(\alpha_{P_n}\right) \end{array} \right)}_{\in \mathbf{R}^{2v \times 1}} \end{array} Vemos que G es siempre cuadrada, pero ¿es inversible? Lo será si todas sus filas son linealmente independientes, es decir, si las 2v ecuaciones planteadas lo son. Y ello ocurrirá, precisamente, cuando además de cumplirse la condición necesaria r=2v-b, se cumpla la condición suficiente para la isostaticidad de reticulados planos: que no exista vinculación aparente. Vemos pues que, si la matriz G es inversible, la estructura es isostática((Tanto por vínculo externo como por vínculo interno.)) y podemos plantear x = - G^{-1} P. ===== Discusión ===== Si ves algo que te parece incorrecto en la resolución y no te animás a cambiarlo, dejá tu comentario acá.