====== Examen Parcial - 62.15. Física IIID - 22/09/2008 ======

**Cátedra:** María Alejandra Aguirre/002\\ 
**Fecha:** Primera Oportunidad - (Segundo Cuatrimestre) 2008\\ 
**Día:** 22/09/2008

===== Enunciado =====

<!-- ==== Punto I ==== ... -->
==== Punto I ====
Se irradia un metal de función trabajo <tex>\phi_e</tex> con radiación de <tex>2mW</tex> de potencia, emitida por un gas de átomos cuyos electrones decaen de un nivel con <tex>E_2 = -4eV</tex> a otro con <tex>E_1 = -14eV</tex>. El potencial de frenado del flujo fotoeléctrico es <tex>V_f = 6V</tex>. Determinar:
  - El rango de energía cinética que poseen los fotoelectrones.
  - La función de trabajo <tex>\phi_e</tex>.
  - La intensidad de corriente si el rendimiento fotoeléctrico es <tex>0,8</tex>.

<!-- ==== Punto II ==== ... -->
==== Punto II ====
En un microscopio electrónico los electrones son acelerados mediante un voltaje <tex>V_0</tex> a fin de obtener una longitud de onda adecuada para detectar objetos pequeños. La longitud de onda debe ser menor que el tamaño del objeto. Si se quiere observar un virus, derivar la expresión para el voltaje <tex>V_0</tex> requerido a fin de obtener una longitud de onda de de Broglie 1000 veces más pequeña que <tex>d</tex>, el tamaño del virus (suponer el movimiento del electrón como no relativista).

<!-- ==== Punto III ==== ... -->
==== Punto III ====
Una partícula responde a una función de onda cuya parte espacial (<tex>\psi(x)</tex>) se esquematiza en la figura.
  - Indicar cualitativamente la relación entre la energía <tex>E</tex> con la que incide la partícula y la energía potencial <tex>E_p(x)</tex>. Esquematizar ambas indicando de qué dirección incide la partícula. Justificar.
  - Escribir la función de onda para todo x y todo t. (Durante el parcial se explico que no se pedía resolver el sistema de ecuaciones, que había que dejar la función expresada en función de constantes y plantear las ecuaciones que surgen de las condiciones de contorno)
  - Encontrar una expresión general para la probabilidad <tex>P</tex> de encontrar a la partícula en la región <tex>x>L</tex>.

{{:materias:62:15:graficopunto3.jpg|:materias:62:15:graficopunto3.jpg}}

<!-- ==== Punto IV ==== ... -->
==== Punto IV ====
La emisión de radiación en un átomo se puede estimular por medio de una fuente de radiación o por bombardeo con electrones. Si un gas de hidrógeno (<tex>H</tex>) se encuentra en su estado fundamental:
  - Explicar detalladamente lo que ocurre cuando incide radiación de <tex>1000</tex>Å sobre los átomos de <tex>H</tex> y calcule las líneas de emisión que se observan. Hacer un diagrama de todas las transiciones involucradas.
  - Idem si se incide con electrones de igual energía que la radiación del punto anterior.

===== Resolución =====

<!-- ==== Punto I ==== ... -->
==== Punto I ====
== 1) ==
 Para calcular el rango de energía cinética hay que calcular la máxima, ya que la mínima es <tex>0</tex>.

<tex>E_c^{max,e^-} = e*V_f = 6eV</tex> Por lo tanto el rango de energías es <tex>[0,6]eV</tex>.

== 2) ==
 Cuando se produce el efecto fotoeléctrico se cumple la siguiente relación <tex>E^{\nu} = E_c^{e^-} + \phi_e + Q (calor)</tex>. Cuando se desprenden electrones del borde de la superficie, no se pierde energía disipada en forma de calor, por lo que la energía cinética es la máxima. Aplicando esto último y despejando de la ecuación queda <tex>\phi_e = E^{\nu} - E_c^{max,e^-}</tex>, donde <tex>E^{\nu} = |E_1 - E_2| = 10eV</tex> y <tex>E_c^{max,e^-}</tex> es la calculada en el punto anterior.

Entonces <tex>\phi_e = 10eV - 6eV = 4eV</tex>.

== 3) ==
 Lo que se pide calcular es la corriente, es decir "carga por unidad de tiempo", que como son electrones es igual a "número de e-'s por unidad de tiempo"*<tex>q_e</tex>

Por otro lado, "número de e-'s por unidad de tiempo" <tex>= 0,8</tex>*"número de fotones por unidad de tiempo".

Además, <tex>P = 2mW</tex> = "cantidad de energía por unidad de tiempo" = "número de fotones por unidad de tiempo"*<tex>E^{\nu}</tex>, donde <tex>E^{\nu} = 10eV</tex> como se calculó en el punto anterior.

De esta última ecuación se obtiene "número de fotones por unidad de tiempo" <tex>= \frac{2mW}{10eV*1,602176*10^{-19}\frac{J}{eV}} = 1,2483*10^{15}\frac{1}{seg}</tex>

"número de e-'s por unidad de tiempo" <tex>= 0,8*1,2483*10^{15}\frac{1}{seg} = 9,9864*10^{14}\frac{1}{seg}</tex>

Por último <tex>i = 9,9864*10^{14}\frac{1}{seg}*1,602176*10^{-19}C = 1,6*10^{-4}A</tex>

<!-- ==== Punto II ==== ... -->
==== Punto II ====
Por un lado, la energía cinética de los e-'s al aplicar un potencial de aceleración <tex>V_0</tex> es <tex>E_c^{e^-} = e*V_0</tex>.

Por otro lado, <tex>E_c^{e^-} = \frac{p^2}{2m}</tex> y por de Broglie, <tex>p = \frac{h}{\lambda}</tex>.

Reemplazando <tex>p</tex> e igualando las expresiones, se tiene <tex>e*V_0 = \frac{h^2}{2m\lambda^2}</tex>.

Ahora, se quiere <tex>\lambda = \frac{d}{1000}</tex>, entonces <tex>e*V_0 = \frac{h^2*1000^2}{2*m*d^2}</tex> y de esta expresión se despeja <tex>V_0 = \frac{h^2*1000^2}{2*e*m*d^2}</tex>

<!-- ==== Punto III ==== ... -->
==== Punto III ====
== 1) ==
En el gráfico de la función de onda se pueden ver los siguientes puntos:
  - En la región II la función de onda es exponencial lo que indica efecto túnel <tex>\rightarrow E_{p_2} > E</tex>.
  - Además el máximo en esta región se encuentra en <tex>x = 0 \rightarrow</tex> La partícula incide desde la izquierda.
  - En las regiones I y III se tiene una onda <tex>\rightarrow E_{p_1} < E</tex> y <tex>E_{p_3} < E</tex>.
  - Durante el parcial se aclaró que <tex>\lambda</tex> en las regiones I y III era el mismo. Como <tex>\lambda</tex> depende de <tex>E - E_p</tex> <tex>\rightarrow E_{p_1} = E_{p_3}</tex>.

Juntando todos esos puntos:

{{:materias:62:15:punto3a.jpg|:materias:62:15:punto3a.jpg}}

== 2) ==
En primer lugar, <tex>E = h\nu</tex> es constante en todas las regiones, por lo que <tex>\nu_1 = \nu_2 = \nu_3 = \nu = \frac{h}{E}</tex> y <tex>\omega = 2*\pi*\nu</tex>.

Región I) <tex>E - E_{p_1} > 0</tex> <tex>\rightarrow</tex> <tex>\alpha = \pm \frac{i2\pi\sqrt{2m(E-E_{p_1})}}{h}</tex> es un número complejo, <tex>k_1 = \frac{2\pi\sqrt{2m(E-E_{p_1})}}{h}</tex> y <tex>\lambda_1 = \frac{2\pi}{k_1}</tex>.

<tex>\chi_1(x) = Ae^{ik_1x} + Be^{-ik_1x}</tex>. Como la partícula se mueve de izquierda a derecha, al llegar a <tex>x = 0</tex> parte de la onda puede rebotar, entonces <tex>A y B \not= 0</tex>

Región II) <tex>E - E_{p_2} < 0</tex> <tex>\rightarrow</tex> <tex>\alpha = \pm \frac{i2\pi\sqrt{2m(E-E_{p_2})}}{h}</tex> es un número real, <tex>k_2 = \frac{2\pi\sqrt{2m(E_{p_2}-E)}}{h}</tex> y <tex>\lambda_2 = \frac{2\pi}{k_2}</tex>.

<tex>\chi_2(x) = Ce^{k_2x} + De^{-k_2x}</tex>. Como la región es acotada, ninguna de las dos exponenciales diverge dentro de la región 2, entonces <tex>C y D \not= 0</tex>.

Región III) <tex>E - E_{p_3} > 0</tex> <tex>\rightarrow</tex> <tex>\alpha = \pm \frac{i2\pi\sqrt{2m(E-E_{p_3})}}{h}</tex> es un número complejo, <tex>k_3 = \frac{2\pi\sqrt{2m(E-E_{p_3})}}{h}</tex> y <tex>\lambda_3 = \frac{2\pi}{k_3}</tex>.

<tex>\chi_1(x) = Fe^{ik_3x} + Ge^{-ik_3x}</tex>. Como la partícula ya no puede rebotar porque no se producen mas cambios de potencial <tex>G = 0</tex>.

La función <tex>\psi(x)</tex> va a estar dividida en 3 regiones y en cada una <tex>\phi_i(x) = \chi_i(x)*e^{-i\omega t}</tex>

__Condiciones de contorno:__

<tex>\phi_1(0) = \phi_2(0) \Rightarrow \chi_1(0) = \chi_2(0) \Rightarrow A + B = C + D</tex>

<tex>\phi_2(L) = \phi_3(L) \Rightarrow \chi_2(L) = \chi_3(L) \Rightarrow Ce^{k_2L} + De^{-k_2L} = Fe^{ik_3L}</tex>

<tex>\frac{d \phi_1 (x)}{dx}(0) = \frac{d \phi_1 (x)}{dx}(0) \Rightarrow \chi_1'(0) = \chi_2'(0) \Rightarrow Aik_1 - Bik_1 = Ck_2 - Dk_2</tex>

<tex>\frac{d \phi_2 (x)}{dx}(L) = \frac{d \phi_3 (x)}{dx}(L) \Rightarrow \chi_2'(L) = \chi_3'(L) \Rightarrow Ck_2e^{k_2L} - Dk_2e^{-k_2L} = Fik_3e^{ik_3L}</tex>

<tex>\int_{-\infty}^{\infty} \phi(x)dx = 1</tex>

== 3) ==
<tex>P(L<x<\infty) = \int_L^{\infty} |\phi_3(x,t)|^2dx = \int_L^{\infty} |\chi_3(x)|^2dx = |F|^2\int_L^{\infty} 1dx</tex>
Esta integral no converge.

<tex>P(L<x<x_0) = |F|^2\int_L^{x_0} 1dx = |F|^2(x_0 - L) </tex>

<!-- ==== Punto IV ==== ... -->
==== Punto IV ====
== 1) ==
Al incidir con radiación en un gas, los fotones pueden excitar a los átomos (de <tex>H</tex> en este caso) si poseen la cantidad de energía necesaria. Si se produce la excitación, al cabo de un tiempo los e-'s van a volver al estado fundamental, emitiendose fotones de distintas longitudes de onda según el tipo de salto que se produzca.

Para excitar a un átomo, el fotón debe perder toda su energía, si no no hay interacción. Los niveles de energía para un átomo de <tex>H</tex> están dados por <tex>E_n = -13,6eV*\frac{1}{n^2}</tex>:

{{:materias:62:15:punto4niveles.jpg|:materias:62:15:punto4niveles.jpg}}

Los fotones tienen <tex>E^{\nu} = h\nu = \frac{h*c}{\lambda} = \frac{1,23984*10^4}{1000}eV = 12,4eV</tex>. Entonces, para que se excite un átomo de <tex>H</tex> que se encuentra inicialmente en el estado fundamental, debe existir un nivel con energía tal que <tex>E_n - E_1 = 12,4eV</tex>, es decir, un nivel con energía <tex>E_n = 12,4eV + E_1 = 12,4eV + (-13,6eV) = -1,2eV</tex>. Pero en el esquema se ve que no hay ningún nivel con esta energía, por lo que **no se excita el gas** y **no se emiten fotones**.

== 2) ==
A diferencia de los fotones, cuando se bombardea con e-'s estos si pueden perder parte de su energía cinética, por lo que existe una probabilidad de que se produzcan todos los saltos que requieran menor energía que la que poseen el e-.

De esta forma los posibles saltos que puede realizar el e- del nivel fundamental son a n=2 (<tex>\Delta E = 10,2eV</tex>) y n=3 (<tex>\Delta E = 12,09eV</tex>). Para n=4 se requieren 12,75eV entonces este salto no es posible.

Como el átomo va a pasar a un estado excitado, va a caer nuevamente al estado fundamental, emitiendo un fotón. Las posibles caídas son:
{{:materias:62:15:punto4bsaltos.jpg|:materias:62:15:punto4bsaltos.jpg}}

Si el e- pasó al nivel n=3, puede caer directamente a n=1 o primero caer a n=2 y luego a n=1. Si pasó a n=2 al ser excitado, sólo puede caer a n=1. En cada salto se emite un fotón con <tex>\lambda = \frac{hc}{\Delta E}</tex>

Entonces, las posibles lineas de emisión son 3:

<tex>\lambda_1 = \frac{hc}{\Delta E_{n=3,n=2}} = \frac{1,2398*10^4}{1,89}</tex>Å<tex> = 6560</tex>Å

<tex>\lambda_2 = \frac{hc}{\Delta E_{n=3,n=1}} = \frac{1,2398*10^4}{12,09}</tex>Å<tex> = 1025,5</tex>Å

<tex>\lambda_3 = \frac{hc}{\Delta E_{n=2,n=1}} = \frac{1,2398*10^4}{10,2}</tex>Å<tex> = 1215,5</tex>Å

===== Discusión =====